概率论复习材料题

　函授概率论与数理统计复习题 一、填空题 1、已知 P(A)=P(B)=P(C)=25 . 0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15 . 0，则 A、B、C 中至少有一个发生的概率为

　 0.45

　 。

　 2、A、B 互斥且 A=B，则 P(A)=

　0

　 。

　3．把 9 本书任意地放在书架上，其中指定 3 本书放在一起的概率为

　112

　4. 已知( ) 0.6 P A ，( ) 0.8 P B ，则( ) P AB的最大值为 0.6 ，最小值为 0.4。

　5、设某试验成功的概率为 0.5，现独立地进行该试验 3 次，则至少有一次成功的

　概率为

　0.875

　6、 已知( ) 0.6 P A ，( ) 0.8 P B ，则( ) P AB的最大值为

　0.6

　 。

　，最小值为

　 0.4

　。

　7、设 A、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A∣ B )=0.6，则 P(A∪B)=

　0.88

　。

　8、设 X、Y 相互独立， X ~) 3 , 0 ( U,Y 的概率密度为其它 , 00 ,41) (41x ex fx

　 ，则(2 5 3) E X Y   

　-14

　 ， (2 3 4) D X Y   

　147

　 。

　9．设 A、B 为随机事件, P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, 若 P(A|B) =0.5, 则 P(AB) = ____0.5___;

　若 A 与 B 相互独立, 则 P(AB) =

　___0.58______.

　 10.已知( ) 0.5, ( ) 0.6, ( ) 0.2 P A P B P A B   ，则( ) P AB＝

　 0.3

　11．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P{ 1 < X < 3} = ____2/5_______.

　 12．设随机变量 X 的分布函数为 ,2

　 , 1

　 2 1

　, 6 . 01 1

　 , 3 . 01

　 , 0

　 ) (                    xxxxx F

　则 X 的分布律为 _ X

　1  

　1

　2

　p

　3 . 0

　3 . 0

　4 . 0

　__________________

　______ . 13．若离散型随机变量 X 的分布律为

　则常数 a = ____0.3_____; 又 Y = 2X + 3, 则 P{Y > 5} = ____0.5_____ . 14、设 A、B 为随机事件，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8，则 P(A+B)=__ 0.7 __。

　15．设随机变量 X 服从二项分布 b(50, 0.2), 则 E(X) = ___10_____, D(X) = _____8______. 16．设随机变量 X ~ N(0, 1), Y ~ N(1, 3), 且 X 和 Y

　相互独立, 则 D(3X  2Y)=

　 . 17．设随机变量 X 的数学期望 E(X) =  , 方差 D(X) = 

　2 , 则由切比雪夫不等式有 P{|X  

　| < 3 

　}  _____8/9___. 二、选择题 1．设 A, B, C 是三个随机变量，则事件“A, B, C 不多于一个发生” 的逆事件为(

　D

　). (A)

　A, B, C 都发生

　 (B) A, B, C

　至少有一个发生

　(C)

　A, B, C 都不发生

　 (D) A, B, C 至少有两个发生

　2、射击 3 次，事件iA 表示第 I 次命中目标（I=1,2,3），则事件（

　D ）表示恰命中一次。

　（A）3 2 1A A A  

　（B）

　     1 2 3 1 2 1A A A A A A     

　X 1 2 3 p k 0.5 0.2 a

　（C）

　ABC  

　（D）3 2 1 3 2 1 3 2 1A A A A A A A A A  

　3、事件 A ， B 为任意两个事件，则（

　D ）成立。

　（A）

　  A B B A   

　 （B）

　  A B B A   

　（C）

　  A B B A   

　 （D）

　  B A B B A    

　4、设 A 、 B 为两事件，且 A B ，则下列式子正确的是（ A

　）。

　（A）

　    A P B A P  

　 （B）

　    A P AB P 

　（C）

　    B P AB P 

　 （D）

　      A P B P A B P   

　5．设随机变量 X, Y 相互独立,

　与

　分别是 X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y} 分布函数

　为 (

　C

　 ).

　(A) max{ , }

　 (B)

　+

　

　 (C)

　(D)

　或

　 6、如果常数 C 为（B

　）。则函数   x  可以成为一个密度函数。

　（A）任何实数 （B）正数

　（C）1

　（D）任何非零实数 7．对任意两个随机变量 X 和 Y, 若 E(XY) = E(X)E(Y), 则 ( D

　 ).

　(A) X 和 Y 独立

　(B) X 和 Y 不独立

　(C) D(XY) = D(X)D(Y)

　(D) D(X + Y) = D(X) + D(Y)

　8、袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机摸出 4 个球，其中恰有 3个白球的概率为（

　D ）。

　（A）53

　（B）81535

　（C）81533

　（D）485C

　9．设随机变量 X 的概率密度为 f (x), 且满足 f (x) = f (x), F(x) 为 X 的分布函数, 则对任意实数 a, 下列式子中成立的是 (

　 A

　 ).

　(A)

　 (B)

　(C)

　 (D)

　10.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1),则B21} 0 {

　 ) A (      Y X P

　 21} 1 {

　 ) B (      Y X P

　21} 0 {

　 ) C (      Y X P

　 21} 1 {

　 ) D (      Y X P

　11．设 X 1 , X 2 , …, X n

　(n  3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望 

　的无偏估计量的是 (

　 C

　 ). (A) X

　(B) 0.1 (6X 1

　+ 4X 2 )

　 (C)

　 (D) X 1

　+ X 2

　 X 3

　三、计算题 1、一批同一规格的产品由甲厂和乙厂生产，甲厂和乙厂生产的产品分别占 70％和 30％，甲乙两厂的合格率分别为 95％和 90％，现从中任取一只，则（1）它是次品的概率为多少？（2）若为次品，它是甲厂生产的概率为多少？

　解：设 A ‘次品’， B  ‘产品是甲厂生产’ 依题意有：

　% 70 ) (  B P ， % 30 ) (  B P ， % 5 ) | (  B A P ， % 10 ) | (  B A P ，

　（1）

　( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A P B P A B P B P A B   ＝ 065 . 0 % 10 30 % 5 % 70    

　 （2）) ( ) | ( ) ( ) | () ( ) | () | (B P B A P B P B A PB P B A PA B P  

　 5385 . 03 . 0 1 . 0 7 . 0 05 . 07 . 0 05 . 0  

　2、某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45%、35%、20%，各厂商的次品率分别为 4%、2%、5%，现从中任取一件产品，(1) 求这件产品是次品的概率; (2) 若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率?

　解：设 A 事件表示“产品为次品”，B 1 事件表示“是甲厂生产的产品”，B 2 事件表示“是乙厂生产的产品”，B 3 事件表示“是丙厂生产的产品”

　(1) 这件产品是次品的概率: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 1 1B P B A P B P B A P B P B A P A P      

　035 . 0 2 . 0 05 . 0 35 . 0 02 . 0 45 . 0 04 . 0              

　(2) 若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:

　3518035 . 045 . 0 04 . 0) () ( ) () (1 11 A PB P B A PA B P

　 3、用 3 个机床加工同一种零件，零件由 3 个机车加工的概率分别为 0.5, 0.3, 0.2,各机床加工零件的合格率分别为 0.94, 0.9, 0.95,求全部产品中的合格率。

　解：设   任取一件产品为合格品  B

　 产品的事件， 分别表示取到三个车间 ， ，， 3 2 1A A A 则由条件       2 . 0 , 3 . 0 , 5 . 03 2 1   A P A P A P

　      95 . 0 , 90 . 0 , 94 . 03 2 1   A B P A B P A B P

　由全概率公式

　  93 . 0 95 . 0 2 . 0 90 . 0 3 . 0 94 . 0 5 . 0        B P

　4、设连续型随机变量 X 的概率密度为 ，其他        

　 , 0

　 0 , sin) (  x x Ax f

　求 : (1) 常 数 A 的 值 ; (2) 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 F(x); (3) }.2 3{   X P

　解：(1)

　A x x A x x f 2 d sin d ) ( 10             

　 21   A

　(2)

　     xt t f x F d ) ( ) (

　0 d 0 d ) ( ) ( 0                  x xt t t f x F x 时， 当

　) cos 1 (21d sin210d d ) ( ) ( 000x t t t t t f x F xx x                         时， 当  

　1 0d d sin210d d ) ( ) (00                         x xt t t t t t f x F x    时， 当

　所以      xt t f x F d ) ( ) ( =              xx xx, 10 ), cos 1 (210 , 0

　(3) 414121)3( )2( }2 3{                     F F X P

　5、一个袋中共有 10 个球，其中黑球 3 个，白球 7 个，先从袋中先后任取一球（不放回）(1) 求第二次取到黑球的概率; (2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率? 解：设 A 事件表示“第二次取到黑球，B 1 事件表示“第一次取到黑球”，B 2 事件表示“第一次取到白球”，

　(1) 第二次取到黑球的概率: ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1B P B A P B P B A P A P    

　3 . 01079310392         

　(2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率: 923 . 010392) () ( ) () (1 11     A PB P B A PA B P

　 6、设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为

　求:

　(1) 求 X, Y 的边缘概率密度 f X (x), f Y (y), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P{ X + Y  1}

　解：(1)       其它 ， 02 0 ), 2 (21d ) 2 (d ) , ( ) (10x x y y xy y x f x f X

　     其它 ， 01 0 , 2 d ) 2 (d ) , ( ) (20y y x y xx y x f y f Y

　因为 ) , ( ) ( ) ( y x f y f x fY X    ，所以 X 与 Y 是相互独立的.

　(2)

　247d ) 1 )( 2 (21d ) 2 ( d } 1 {1021010         x x x y y x x Y X Px 7、设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为

　求:

　(1) 求 X, Y 的边缘概率密度 f X (x), f Y (y), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P{ X + Y  1}

　解：

　(1)       其它 ， 02 0 ), 2 (21d ) 2 (d ) , ( ) (10x x y y xy y x f x f X

　     其它 ， 01 0 , 2 d ) 2 (d ) , ( ) (20y y x y xx y x f y f Y

　因为 ) , ( ) ( ) ( y x f y f x fY X    ，所以 X 与 Y 是相互独立的.

　(2)

　247d ) 1 )( 2 (21d ) 2 ( d } 1 {1021010         x x x y y x x Y X Px 8 8 、已知连续型随机变量 X X 的密度函数为

　其它

　, 0) , 0 (

　,2) (2a xxx f 

　求（1 1 ）a a ；

　（2 2 ）分布函数 F (x) ；（3 3 ）

　P ( － 0.5 < X < 0.5 ) 。

　解 ：202(1)

　 ( )

　1

　 axf x dx dxa  22 202 0

　 ( ) ( ) 0

　 2

　0

　 ( ) ( )

　( ) ( ) 1

　xx xxx F x f t dtt x x F x f t dt dtx F x f t dt          （ ）当 时，当 时，当 时，22

　0,

　 0

　 ( ) ,

　 0

　 1,

　 xx F x xx    故

　(3) P （- - 0.5<X<0.5 ）

　=F(0.5) — F(- - 0.5)=241

　9 9 、已知连续型随机变量 X X 的分布函数为

　 2

　, 02

　, 1) (2xxxAx F

　求（1 1 ）A A ；

　（2 2 ）密度函数 f (x) ；（3 3 ）

　P (0 ≤

　X ≤

　4 ) 。

　、解：2(1)

　lim ( ) 1 /4 0

　4

　xF x AA  328,

　2

　 ( )

　( )

　 0,

　2xf x F x xx   （ ）

　(3) P （ 0<X<4 ）

　=3/4