大学复变函数课件-洛朗级数

第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式 双边幂级数 设级数 （）
它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；

考虑函数项级数 （）
作代换 则（）即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数， 从而（）在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；

当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域， 此时，称为双边幂级数。

关于双边幂级数的性质，见p185 定理 定理1 （洛朗定理）
设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内 其中， 是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的。

证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。由柯西积分公式 ，其中 现考虑 而沿，，（在上一致收敛）
由于函数沿有界，所以 故当：，其中 展式的唯一性：设 任意取某正整数，在上有界， ，故，展式唯一。

注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。

例1、 求函数分别在圆环1<|z|<2及内的洛朗级数式。

解：如果1<|z|<2，那么利用当时的幂级数展式 我们得 如果，那么同样，我们有 例2、 及在内的洛朗级数展式是：
例3、 在内的洛朗级数展式是：
。

例4、 求函数在圆环1<|z|<3内的洛朗级数展式。

解：由于1<|z|<3，那么利用当时的幂级数展式 我们得 ， 而 所以，有 第二节 解析函数的孤立奇点 1．解析函数的孤立奇点的定义 设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式 其中 是圆。

例如，0是的孤立奇点。

一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式中含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：
⑴如果在的主要部分为，那么我们说是f(z)的可去奇点，这时因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)；

⑵如果在的主要部分是有限多项：我们称是f(z)的阶极点；

⑶如果在的主要部分是无限多项，我们称是f(z)的本性奇点。

例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。

2．孤立奇点的判定 定理1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：
，其中是一个复数。

证明：（必要性）。由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：
因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着。

（充分性）。设在内，f(z)的洛朗级数展式是 由假设，存在着两个正数M及，使得在内， 那么取，使得，我们有 当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇点。

推论1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。

下面研究极点的特征。

设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式：
在这里 则在这里是一个在内解析的函数，并且。反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。

定理2 是f(z)的极点的必要与充分条件是：。

证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，，于是在内解析，不等于零，而且。因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式：
我们有。由于在内，，可以设。由此得，其中在内解析，并且不等于零。于是在内， ， 在这里，在内解析，。因此是f(z)的m阶极点。

推论2设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：，在这里m是一个正整数，是一个不等于0的复数。

关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：
定理3 是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限。

例：0是函数的本性奇点，不难看出不存在。

解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于；

当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；

当z沿虚轴趋近于0时，没有极限。

第三节 解析函数在无穷远点的性质 1．解析函数在无穷远点的性质 设函数f(z)在区域内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：
其中系数由定理5.1中类似的公式确定。

令，按照R>0或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级数展式是：
如果w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。因此 （1）如果当时n=1,2,3,…，，那么是f(z)的可去奇点。

（2）如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。设对于正整数m，，而当n>m时，，那么我们称是f(z)的m阶极点。

（3）如果有无限个整数n>0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。

注解1若为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析；

注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：
定理1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。

推论 设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。

第四节 整函数与亚纯函数 1．整函数的分类 如果f(z)在有限复平面C上解析， 则 那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数在扩充复平面上唯一的孤立奇点。我们按孤立奇点的类型，可以将整函数分类：
定理1 设为整函数 ⑴为的可去奇点（常数）；

⑵为的阶极点 即次多项式；

⑶为的本性奇点无穷多个不等于（此时称为超越整函数）例如：；
；

2．亚纯函数的定义与性质 如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，无其他类型的奇点那么称它为一个亚纯函数。

亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。例如是一个亚纯函数，它有极点。有理函数 也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点（当n>m时）或可去奇点（当时），在这里是复常数，m及n是正整数。

定理1 为有理函数在扩充复平面上，除极点外没有其他类型的奇点。