解三角形中三角形解个数问题

　解三角形中三角形解的个数问题

　一、单选题 1．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若3 a  ， 1 b ，120 A  ，则此三角形解的情况为（

　）

　A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 2．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，3A ， 2 a  ，若满足条件的三角形有且只有两个，则边 b 的取值范围为（

　）

　A． 2 4 b  

　B． 3 2 b  

　C．4 323b   D． 2 b 

　3．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知14 b ， 30 A ，使得三角形有两解的条件是（

　）

　A． 7 a 

　B． 7 14 a  

　C． 14 a

　D． 7 a 

　4．在 ABC 中，a，b 分别为内角 A，B 所对的边，b＝5，B＝30°，若ABC 有两解，则 a 的取值范围是（

　）

　A． (2 2,5)

　B． (510) ，

　C． (2,2 2)

　D． (2 2,10)

　5．在 ABC 中， 45 , 2,3 A a b    ，则 B  （

　）

　A． 60

　B． 60 或 120

　C． 45

　D． 135

　6．在 ABC 中，, a x 2, b 4B ，若三角形有两解，则 x 的取值范围为（

　）

　A． (2,) 

　B． (0,2)

　C． (2,2 2)

　D． (2,2 3)

　7．在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（

　）

　A． 10 b ， 45 A  ，70 C  

　B． 60 a ， 48 c ， 60 B 

　C． 8 a ， 5 b ，80 A 

　D． 13 a ， 16 b ， 45 A 

　8．△ ABC 中，若 b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为（

　 ）

　A．无解 B．有一解 C．有两解 D．一解或两解 9．在 ABC 中， 3 a ， 30 A  ，则 b 的取值范围（

　）

　试卷第 2 页，总 2 页 A．  0, 3  B．  0,2 3 

　C．  0,3 2 

　D．   0,6

　10．在 ABC 中， ax ， 1 b ，3B ，若三角形有两解，则 x 的取值范围为（

　）

　A．2 3(1, )3 B．3( ,1)2 C．2 3(0, )3 D．2 3( , )3

　 答案第 1 页，总 5 页 参考答案 1．B 【分析】

　由正弦定理可得sin 1sin2b ABa  ，进而判断解的情况. 【详解】

　因为 3 a  ， 1 b ， 120 A  ， 所以由正弦定理可得，sin 1sin2b ABa  ，所以 30 B   或 150 B   ， 当 30 B   时， 30 C   ，满足题意； 当 150 B   时， 180 A B    ，不能构成三角形，舍去. 综上， 30 B   ，即三角形的解只有一个. 故选：B． 2．C 【分析】

　作出图形（如图），计算出 C 到 A 角另一边的距离32CD b  ，由322b b   可得结论． 【详解】

　如图，作 CD AD  于 D ， ,3AC b CAD   ， 3sin3 2CD b b   ．若有两解，则3223243b b b      ， 故选：C．

　【点睛】

　关键点点睛：本题考查正弦定理解三角形，只有在已知两边和一边对角解三角形时才可能出现两解情形，而这种情形可能通过作图判断，由图也可得出有两解的条件．

　 答案第 2 页，总 5 页 3．B 【分析】

　利用正弦定理列出关系式，将 a，b， sin A 的值代入表示出 sinB ，根据 B 的度数确定出 B的范围，要使三角形有两解确定出 B 的具体范围，利用正弦函数的值域建立不等式求出 a的范围即可． 【详解】

　由正弦定理得：114sin 72sinb ABa a a   ， ∵ 30 A ，∴ 0 150 B ， 要使三角形有两解，得到 30 150 B  ，且 90 B， 即1sin 12B   ，∴1 712 a  ， 解得：

　7 14 a   . 故选：B． 4．B 【分析】

　由正弦定理得，当三角形有两解，则 sin a B b a   得解 【详解】

　因为 ABC 有两解，所以sin30bb a   5 10 a    ， 故选：B. 【点睛】

　三角形有两解，由正弦定理得则 sin a B b a   是解题关键，属于基础题. 5．B 【分析】

　由正弦定理sin sina bA B 即可求出 sinB ，进而求出 B . 【详解】

　由正弦定理可得sin sina bA B ，

　 答案第 3 页，总 5 页 23sin 32sin2 2b ABa   ，   0,π B ，π3B   或2π3. 故选：B. 6．C 【分析】

　由正弦定理分析． 【详解】

　三角形有两解．由正弦定理得 sin a B b a   ，即 sin 24x x  ，解得 22 2 x  ． 故选：C． 【点睛】

　易错点睛：在用正弦定理和余弦定理解三角形时，只有已知两边和一边对角时可能会出现两解的情形．如已知 , , a b B 时，如果 sin a B b a   ，则三角形有两解，其他都只会有一解或无解．在记不住条件时，可以先计算 sin A ，只有 sin (0,1] A ，三角形才有解，当sin (0,1) A 时再判断 A 和 B 的关系，如果 AB  ，则有两解，否则只有一解． 7．D 【分析】

　在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解．根据正弦定理判断． 【详解】

　A：已知两角和一边，三角形确定，只有一解； B：已知两边及夹角用余弦定理，只有一解； C：已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解； D：sin 16sin45 8 2 b A a b    ，有两解． 故选：D. 【点睛】

　 答案第 4 页，总 5 页 本题主要考查三角形解的个数问题，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．三角形解的个数中只有在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解，注意判断方法．属于较易题. 8．C 【解析】

　试题分析：直接利用正弦定理求出角 C 的大小，即可判断三角形解的个数．在△ ABC 中，若 b=6，c=10，B=30°，由正弦定理c b csin 5 3sinsin sin 6 2BCC B b     所以 60°＜C＜120°，C 有两个解，一个锐角，一个钝角；所以三角形有两个解， 故选 C． 考点：解三角形的运用 点评：本题是基础题，考查正弦定理在三角形中的应用，注意角的范围的判定，考查计算能力． 9．D 【分析】

　根据 30 A  即可得出 0 150 B    ，进而得出 0 6sin 6 B   ，而根据正弦定理可得出6sin b B  ，然后即可得出 b 的取值范围. 【详解】

　解：∵ 30 A  ， ∴ 0 150 B    ， 由正弦定理得36sin sin sin30a bA B  ， ∴ 6sin b B  ， ∴ b 的取值范围为   06 ， . 故选：D. 【点睛】

　本题考查正弦定理，考查正弦函数的性质，属于基础题． 10．A 【分析】

　 答案第 5 页，总 5 页 根据正弦定理得到2 3sin3x A  ，再根据三角形有两解得到答案. 【详解】

　根据正弦定理：sin sina bA B ，则1 2 3sin 3sin3xA ，故2 3sin3x A  ， 20,3A    ，三角形有两解，则3sin ,12A    ，即2 31,3x    . 故选：A. 【点睛】

　本题考查了利用正弦定理解决三角形解个数问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.