带有潜伏期传染病动力学模型研究

　硕士学位论文带有潜伏期的传染病动力学模型的研究D y n am i c a 1 Model o f Infectious Diseaseswith the IncubationPeriod作者姓名：堂琨学科、专业： 运签堂量控剑途堂县.指导教师：完成日期：兰州交通大学Lanzhou J iaotongUnivers i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 ,除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含获得兰啊变通太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文屮作了明确的说明并 表示了谢意。学位论文作者签名：名掘签字日期：别弓年多月 日 学位论文版权使用授权书

　本学位论文作者完全了解兰飆童通太堂有关保留、使用学位论文的规定。特授权兰 啊童通太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和磁盘。

　（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：

　席司九签字日期：2 口侈年/月E t导师签名：签字日期：囊骗日矽哆年乡月 兰州交通大学硕士学位论文摘要

　本文对几类带有潜伏期的传染病动力学模型进行了研究，主要针对SE I R这类传 染病模型进行定性分析。运用微分方程稳定性理论、泛函微分方程理论和分支理论 ,研究了传染病模型的动力学行为，包括平衡点的存在性、平衡点的稳定性和系统 的持续生存性。还应用Ma t 1 a b软件，对模型的动力学行为进行了数值模拟。

　具体工作如下：

　1、 研究了带有饱和发生率和饱和恢复率的S E I R传染病模型模型。获得了决定 疾病传播的关键参数基木再牛数，各类平衡点存在的条件阈值；利用中心流行定理 证明了地方病平衡点的局部渐近稳定性；利用第二加性复合矩阵证明了地方病平衡 点的全局渐近稳定性的充分条件；最后对系统的稳定性行为进行数值模拟。对文献

　【1 ）自9—E作进行了推广。

　2、 研究了带有治疗项和潜伏期的S E I R传染病模型。得到了判断疾病灭绝和持 续牛存的基木再牛数；对不同条件下各类平衡点存在的条件阈值进行了讨论；判断 出了平衡点稳定性的条件；最后进行了数值模拟。对文献（2 1中治疗项的加入进 行了推广。

　h e s i s stud p i d e m i c d y ncubation he q u a 1 i t ai e s several c namicsmodel periodandma tive a n a 1 y s ilasses o f:w i t hn 1 y focuses o n ;fo『t h e S E I R3、 研究亍一类更具有一般性的连续接种和疾病发生率的S E I R S传染病模型。

　分析给出了决定疾病传播的关键参数基本再生数；求出了无病平衡点和地方病平衡 点，并且应用Routh. Hurwi tz矩阵判别条件和L a s a 1 1 e不变原 理判断出无病平衡点和地方病平衡点的稳定性；证明了模型的一致持续生存性，并 对其进行了数值模拟。关键词：潜伏期；基本再生数；稳定性；数值模拟论文类型

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　get the conditions for the stabilityof e q u i 1 ibriumpoints. Final ly, w e carry o n thenumerical simulation. The r e s u 1 t s o f this part generalize t h e m a i n r e s u 1 t s o f (2) . The S E I R S epidemicmodel w i t h cont inuous vaccinationo which i s m o r e general, i s s tu died. W e get the reproduct ion number that determines disease destroy and disease survivecont inuous ly, the disease, free e q u i 1 i b r i u m a n d e n d e m i c e q u i 1 i b r i u m o f

　di s e a s e . The stabilityof the disease, f ree equi 1 ibriumand endemic e q u i 1 i b r i u m a r e determined b y usingRouth. Hurwitzmatrix discriminant conditions andLasalle invariant principle. Final 1 y , uniform continu ous s u r v i v a b i lityo f model i s proved and its numerical simulation i s alsocarriedout. Keywords： Incubat ion Period； Basic Reproduc tion

　N u m b e r； S t a b i 1 i t y； Mathemat i c M o d e 1 -I I-兰州交通大学硕士学位论文目录摘

　要

　Abstract

　3

　1

　3

　1

　3

　1

　3

　1

　4

　2

　4

　2

　III绪论

　1传染病研究的重要性

　…?1

　2传染病动力学模型研究的国内外现状

　2

　3本文的研究工作

　3 2预备知识

　.?5

　1传染病动力学屮的基本概念

　5

　2数学中的基本概念和定理

　3带有饱和发生率和恢复率的S E I R传染病模型 1 0

　1模型

　2慕本再生数

　3平衡点的存在性及其性态分析

　2

　4数值模拟

　9 4带有治疗项的S E I R传染病模型 2 1

　1模型

　2平衡点的存在性……

　2

　3平衡点的稳定性分析

　5

　4数值模拟

　9 5具有连续接种的S E I R S传染病模型

　 3 1

　5?1模型

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　5?2基本再生数

　3 2

　5?3平衡点及其性态分析 j

　—3 3

　5?4数值模拟

　3 8 6结论与讨论

　 4 0

　6 ? 1结｛仑

　一 4 2? 谢?…:

　一 4 2

　?

　3攻读学位期间的研究成果 ..~4 6兰州交通大学硕士学位论文1绪论1?1传染病研究的重要性 世界著名的数学家I a n

　Stewart教授曾经预测，生物数学是2 1世纪最有进展的科学领域之一，作 为牛物数学这样一个交叉学科而言，传染病动力学无疑成为其中一个重要的科学分 支。随着人们生活水平的不断提升，科技信息发展迅速，与此同时，地球人类面临 的环境恶化问题不断加速，自然灾害屡见不鲜，各种疾病的流行和蔓延也都给人类 生存和社会发展造成了极大的威胁。然而，无论是环境的恶化，还是自然灾害的增 加，它们都不会突然的爆发，而是一个逐渐形成、循序渐进积累的过程或者是一个 慢化的过程，对人类社会牛活和发展的影响不具有突发性。传染病作为危及人类身 体健康的重要因素之一，它对于人类生活和发展的影响不仅具有类似于环境恶化的 渐进性，而且具有不确定的突发性，对人类的生活和发展产生明显的影响。

　近年来，传染病的全球流行趋势仍然十分严峻。虽然许多传染病的发病率，甚至传 染率都明显下降，但是传染病依旧对全人类的健康构成了主要的威胁。自2 0世纪 7 0年代以来，大约3 0多种新发传染病不时的对人们的牛活产牛影响，这其中不 乏大规模爆发流行的传染病，这类传染病的特点是使数以千计的人在短期内摧患和 大量死亡。随着我国对传染病预防和控制的更加深入，多年来并没有发生霍乱、鼠 疫、登革热等恶性传染病，更没有死灰复燃的现象出现，但是我们仍然不能忽视对 传染病的研究。历史告诉我们，无论是公元2世纪至公元1 8世纪，传染病的流行 给世界人类牛存带来无可预料的灾难，还是1 9世纪，恶性传染病流行到中国给我 国人民带来不可避免的灾难，亦或是进入2 0世纪，由于疯牛病的传播每年英国损 失的七亿多英镑收入，由于艾滋病的传播使非洲国家近乎崩溃等。传染病的流行对 社会进步和经济发展带来的灾难，都表明

　了传染病的流行是无时无刻不存在的，对于传染病的研究、预防和控制是每时每刻 都不能停止的。

　传染病不仅对人类及其物种的生存和健康构成了巨大的影响，还对人类社会的进步 和经济的发展构成了巨大的威胁和阻碍。进入2 0世纪，人类在传染病的控制和消 灭等方面加大力度，取得了辉煌成果，而我国也未停止前进的脚步，在宣传上采取 了 一系列

　的有效措施，对传染病的防控、防治等工作提出更高要求，与此同时，国家适时提 出了持续发展与和谐发展政策，把传染病的控制对社会进步和经济的发展推到重要

　主要研究传染病传播模型随时间的变化 传染病是继续传播述是逐渐消失，传染 这种平衡态是否稳定？是动态平衡还是 从而对疾病做岀可靠性的预测、有效性位置上来。从而清醒的认识到，人类社会要想稳定健康的发展进步，要想高效预防 和控制传染病的传播，了解传染病的发病机理和传染规律，进行传染病动力学模型 的研究，是必不可少的，从现实发展规律角度出发，将传染病传播模型与实际情况 有机结合是不可或缺 带有潜伏期的传染病动力学模型的研究的。

　趋势，包括种群是持续生存述是走向灭绝， 病的传播以及种群的规模是否具有平衡态， 静态平衡？对其进行理论研究和数值模拟，

　主要研究传染病传播模型随时间的变化 传染病是继续传播述是逐渐消失，传染 这种平衡态是否稳定？是动态平衡还是 从而对疾病做岀可靠性的预测、有效性

　随着人类社会科技水平的不断发展，医疗环境、治疗水平和卫牛设施条件的明显改 善，为传染病的防控工作作出突出贡献。例如，2 0世纪8 0年代，我国有效控制 了诸如天花、霍论等曾经疯狂肆虐全球的传染性疾病。但是，在世界上一些贫穷国 家以及发展中国家，还不时会岀现传染病的流行，就在此时，禽流感H 7N9病毒 已致使我国2人罹难并伴随规模性发展。发达国家对传染病的侵害也是无可避免的 ,不久前大规模的流感在美国全国肆虐，如不及时控制，会在北美地区的许多国家 中大规模蔓延。无论何时何地，通过建立传染病数学模型，预测传染流行规律，揭 示发展变化趋势，对传播流行的原因和关键因素进行分析，成为研究传染病传播的 重点。这也为形成最优预防和控制传染病传播的策略奠定基础。确切的说，传染病 动力学模型的建立以及对其进行动力学的分析与研究，在2 0世纪初就已经开始崛 起。起初，H a m e『通过构造一个离散时间模型，对麻疹的反复流行趋势进行了 分析。公共卫生学博士Ro s s建立并研究数学微分方程模型，讨论蚊子与人群间 疟疾的传播动态。随后，K e rma c k和McKendric k构造了著名的S I R、S I S仓室模型，同时提岀区分疾病流行与否的“阈值理论”，为传染病动力 学的研究奠定了基础。随着舱室模型对传染病研究的应用，传染病动力学的研究开 始蓬勃发展。

　进入2 0世纪末期，各国学者在传染病动力学领域的研究进展迅速，大量的数学模 型犹如雨后春笋，它们被用于分析各种各样的传染病问题。这些数学模型大多仅针 对传染病的一般流行规律。一方面，从传染病的传播机理分析，讨论内容包括直接 接触传播、虫媒间接传播、垂直传播等传染方式【3-5],以及是否忽略因病死 亡率（6 , 7 1 ,种群个体的增长规律【81,是否考虑潜伏期的传染【9 — 12 1 ,是否考虑脉冲接种【13】，是否对病人进行隔离【1 4 一 1

　6 1 ,是否考虑因病或因接种而获得永久免疫力【1 7彤】，是否考虑暂吋免疫力 的丧失【2 0之2 1等诸多因素。另一方面，从模型的理论研究分析，讨论内容主 要集屮在对基本再生数的求解，无病平衡点和地方病平衡点的存在阈值，无病平衡 点和地方病平衡点的稳定性，特别是导致地方病平衡点的平衡位置的稳定性，周期 解的存在性和稳定性，疾病的持续生存性以及是否存在分岔点等动力学性态。早期 的传染病模型大多将种群理想化为常数或者近似常数迁入，这在某些条件下是可行 的，而实际应用中，无论人类的规模述是动物的数量总是随着外界环境的变化而改 变，因此传染病模型对总人口具有种群动力学的研究是

　兰州交通大学硕士学位论文合理的。常见的种群动力学行为主要针对易感者仓室的 常数迁入，种群指数增长，种群Logistic型增长【2 3, 2 4】等。另外 ,对于某些传染性疾病，不仅受到当前状况的影响，还会依赖过去的状态，对此用 时滞微分方程描述传染变化的过程更为切合实际。此外，医疗条件、环境卫生等外 界条件对疾病流行的影响也是不可忽视的。从数学理论上看，这类'模型的研究难 度更大，但是具有更高的研究价值。目前，传染病模型的研究己经取得许

　多成果，形成了极限方程理论，构造L y a p u n o v函数理论，矩阵理论；分岔

　理论，中心

　流形理论，单调系统理论等有效的研究方法。所研究传染病的种类各种各样，文【 2 5 J详细

　阐述了传染病动力学的建模思想。迄今为止，国内外对于传染病动力学的研究仍然 作为

　重点，沿用了 19 9 1年A n d e r s o n和M a y提出的经典方法，通过建立常 微分方程组分析传

　染病动力学模型，主要致力于S I R, SIRS, S I S传染病模型的研究。研究 发现，这些流

　行病动力学模型大都涉及单个种群，总是假设种群独立存在，并不符合自然规律， 自然

　界卡种群并非单独存在，而口种群会主动采取措施避免感染疾病，同吋也可能在某 个庙

　染时期已经具有传染能力。因此，我们有必要在种群动力学模型的基础上考虑某些 现实

　因素对疾病传染的影响，或者在流行病学的基础上考虑种群间相互作用的影响。这 是—k

　个新的研究方向，研究目的在于，一方面探讨了疾病流行对生态环境的影响，另一 方面

　对通过改善环境来控制疾病流行进行思考。目前对这方面的研究工作愈加重视，研 究内容愈加实际。1。

　3本文的研究工作

　本文介绍了三类带有潜伏期的传染病模型，对其稳定性进行了研究，并口进行了数 值模拟。文章主要分为五部分。

　第一章，绪论部分，介绍了一些传染病动力学的相关背景知识，主要介绍了传染病 研究的重要性，传染病动力学模型研究的国内外现状。对木文的研究工作进行总结 舊二章，对本文涉及到的传染病动力学的基本概念和数学理论中，所包含的定义和 定理进行了介绍。

　第三章到第五章是本文的重点，是我对传染病动力学模型的重点研究。

　第三章，主要介绍了带有饱和发牛率和恢复率的S E I R传染病模型，利用变量替 扌奂

　讨论了平衡点的存在性，给出了决定疾病传播的关键参数基本再生数，对存在平衡 点的稳定性进行了重点研究，最后进行了数值模拟。

　第四章，主要讨论了一类带有治疗项的SE I R传染病模型，对平衡点的存在阂值 进

　行了讨论，求得了决定疾病灭绝和持续生存的基本再生数，还对存在平衡点的稳定 性进行了分析讨论，同时进行了数值模拟。

　带有潜伏期的传染病动力学模型的研究

　第五章，主要对一类具有连续接种的SE I RS传染病模型进行了研究，得到了关 于疾病的基木再牛数，并对平衡点进行了讨论求解，同时对存在平衡点的性态进行 了分析，进行了数值模拟。

　第六章，结论与讨论，主要概括了本文所研究的传染病模型的主要结果和控制传染 病传播的可行性策略，以及对建立模型不妥之处的改进意见i

　本文研究的是传染病动力学模型屮带有潜伏期的传染病模型，是传染病动力学近几 年的重点讨论类型，文中釆用的方法及研究成果对于研究以及控制预防传染病的传 播具有一定的指导意义。兰州交通大学硕士学位论文2预备知识

　本章阐述了本文主要涉及到的一些传染病动力学的基本概念，数学中的定义和定理 等。利用这些结果讨论几个具有实际应用背景的传染病系统的动力学行为。2?1 传染病动力学中的基本概念

　通常传染病是通过人与人相互接触感染进行传播的。单位时间内感染个体与他人接 触的次数称为接触率(contact

　rate)。它与环境中的总人1 2数有关，总人1 2数一般用IV表示，记作U ( N 1 o如果被接触者为易感者，在某种程度上会造成感染，设每次接触传染的概率 为属，一个感染个体的传染能力用f 1 o U (N)表示，称之为有效接触率(a d equatecontact

　rate .),它表示一个感染个体传染易感个体的能力，反映了感染个体的活动 能力、环境条件以及病毒强弱等因素。总人口中包括易感者和染病者，除此之外免 疫者和潜伏者也是不能忽视的。当感染个体与非易感者接触吋是不会发生传染的， 则易感者S在总人口N中所占的比例是导，从而，每一个感染个体平均对易感者的 有效接触率，即每一个感染个体平均对易感者的传染率为P o V (N)寺。所以， 在单位时间f内，一个易感个体被所有染病个体传染的数量，表示为屁u (IV,万 s (两0 , ( f ),即疾病的发生率(inc idence )为

　P o V (IV)器砸)。

　通常情况下，当环境中的种群总人数较多时，一个已感染个体与其他人接触的次数 越多，接触率与环境内的总人口数成正比，即U=kN。因此在t时刻的有效接触 率为

　P o k N = p N ,有效接触率在人口总数IV中所占的比例为11 =屈尼，称为有效率 系数或传染率系数，也就是本文第四、五章中所用的传染率II。则r吋刻在单位吋 间内新病人的感染数量也就是疾病的发生率为一

　f i N ( r ,丽 s (0 砸)=刚)m)

　带有潜伏期的传染病动力学模型的研究所以当有效接触率为P N时，发牛率为II出 ,这种发生率称为双线性发生率(bi 1 inearincidence),即本 文第四、五章采用的发生率形式。

　在现实生活中，由于地域的限制或环境的制约或者种群数量规模非常大的时候，单 位时间内一个已感染个体能接触他人的数量是有限的。这种情况下，通常假定接触 率用常数七表示，有效接触率用llr_Po k表示，所以疾病的发生率为I导，，被 称为标准发生率(standard

　incidence),作为发生率的极端形式一般很少采用。介于双线性发生率 与标准发生率之间还有一种可能更符合实际的饱和发生率(saturated

　incidence),通常表示为u (IV) = i a石N万，饱和发生率是近几年 传染病研究的重点，木文第三章借用饱和发牛率的传染情况。根据发牛率形式的不 同，传染病动力学研究的复杂程度就有所不同。

　对于传染病动力学模型都会存在一个R,它被称为基本再生数。它表示种群处于稳 定状态并且种群均为易感个体时，染病个体侵入，染病个体在患病期间平均传染易 感个体的数量。所以，R=1是判断疾病消亡与否的关键阈值。当R<1时，一个 染病个体在患病期间传染易感个体的最大数量小于1 ,这时疾病呈消亡趋势；当R >1时，疾病始终存在，最终形成地方病。所以，专家学者最初对传染病模型的研 究方向都是寻找疾病的基本再生数。2. 2数学中的基本概念和定理 考虑一般的二维系统j拈尸(w) (2. 1)【夕=0 (x, Y)

　把二维系统屮的(石，y)看作二维平面上的点，称这种平面为相平面，(x, Y )为相点，相点的轨迹为相轨线。定义2. 2. 1 H2 1

　设(％, Y o )是系统(2?1 )的平衡点。如果对(％。，Y o )的任一邻域u ,

　存在（％0, Yo）的一个屈于U的邻域U,使系统（2. 1）的每一条轨线（x（ f ）,少（f ））,若有（x （ o ） , j , （ o ） ） eu,则对一切 f > 0 ,有（

　x （ f ） , y （ f ） ） eu,就称平衡点（X o , Y o ）是稳定的；否则就称为不 稳定的。如果（％。，Y。）稳定，并且有兰州交通大学硕士学位论文 熙六九就称平衡点（％。，Y。）是渐近稳定的。引理2. 2. 1 （4 2 1 系统（2 . 1 ）的雅可比矩阵/ : 1

　p X F （x o , y o ） e y f （x。，y o ） J |Q，（Xo, Y°）Oy'（Xo ，y。）I的所有特征值都有负实部时，系统（2. 1 ）的平衡点（X o, Y。） 是渐近稳定的。于丁维系统的平衡.