桂林电子科技大学601高等代数(2015年-A)考研真题

　桂林电子科技大学 2015 年 年 研究生 统一 入学考试试题 题 科目代码：601

　科目名称：

　高等代数 请注意：答案必须写在答题纸上（写在试题上无效）。

　一、（本题 0 10 分）计算 n 阶行列式1 21 21 2......... ......nnnx a aa x aa a x， ( 1,2,..., )i ix a i n   . 题 二、（本题 0 10 分）设1 2, , ,rt t t 是互不相同的数， r n  .证明：1(1, ,..., )ni i it t  ，1,2,..., i r  是线性无关的.

　题 三、（本题 0 10 分）设0 是非齐次线性方程组的一个解，1 2, ,...,t   是其导出组的一个基础解系，若1 0   ，2 0 1     ，…，1 0 t t    .证明：该非齐次线性方程组的任一解 都可以表示成1 1 2 2 1 1...t tu u u         ，其中1 2 1... 1tu u u    . 四、（本题 0 20 分）设 3 阶矩阵1 1 23 3 62 2 4A       ，求：

　（1）

　A 的 Jordan 标准形； （2）

　A 的不变因子、行列式因子及初等因子. 题 五、（本题 20 ）

　分）设2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 4 4 8 f x x x x x x x x x x x x       ，求一个正交线性替换化此二次型为标准形. 题 六、（本题 20 分）设1 2 3 4, , ,     是 4 维线性空间 V 的一组基，且已知 V 上的线性变换  在这组基下的矩阵为

　 2 1 2 25 5 2 13 1 2 11 2 0 1A （1）求  的核与值域，并分别求它们的维数和一组基； （2）求1 (0)V   ，并求其维数和一组基.

　题 七、（本题 20 分）已知2 2P的子空间11 1211 2221 220,ijx xW x x x Px x              和线性变换 2 21 1( ) , ,0 1T TX B X X B X P B        . （1）求 W 的一组基； （2）将  看成 W 上的线性变换，求 W 的一组基，使得  在该基下的矩阵为对角矩阵. 八、（本题 0 20 分）设2 2P的两组基分别为 （A）：1 2 3 41 0 1 1 1 1 1 1, , , ;0 0 0 0 1 0 1 1A A A A                         （B）：1 2 3 41 0 0 1 1 1 1 1, , , .1 1 1 1 1 0 0 1B B B B                         （1）求基(A)到基(B)的过渡矩阵； （2）求在基(A)与基(B)下具有相同坐标的矩阵. 九、 （本题 0 10 ）

　分）设线性空间 V 的两个线性变换  与  满足    ，证明：

　 的值域 ( ) V 与核1 (0)都是  的不变子空间. 十、（本题 0 10 分）证明：当 p 为素数时，2( ) 1 2 ... ( 1)pf x x p x     在有理数域上不可约.