定积分计算方法

　定积分的计算方法

　 摘要 定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。

　关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法

　Calculation method of definite integral Abstract the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4)

　substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills.

　 Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method

　目录

　目录 .................................................................................................................................................. 2 1 绪论 ............................................................................................................................................... 3 1.1 定积分的定义 ..................................................................................................................... 3 1.2 定积分的性质 ..................................................................................................................... 4 2 常用计算方法 ............................................................................................................................... 5 2.1 定义法 ................................................................................................................................. 5 2.2 牛顿-莱布尼茨公式 ........................................................................................................... 6 2.3 定积分的分部积分法 ......................................................................................................... 7 2.4 定积分的换元积分法 ......................................................................................................... 7 3 简化计算方法 ................................................................................................ 错误! 未定义书签。

　3.1 含参变量的积分 .................................................................................. 错误! 未定义书签。

　3.2 有理积分和可化为有理积分的积分 .................................................. 错误! 未定义书签。

　4 总结 ............................................................................................................................................... 9 致谢 ................................................................................................................................................ 10 参考文献......................................................................................................................................... 10

　1 绪论

　1.1 定积分的定义 定积分就是求函数 f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，如图 1.1 所示。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积 [1] 。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

　 设函数 f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成 n 个子区间[x 0 ,x 1 ], (x 1 ,x 2 ], (x 2 ,x 3 ], …, (x n-1 ,x n ]，其中 x 0 =a，x n =b。可知各区间的长度依次是：△ x 1 =x 1 -x 0 , △ x 2 =x 2 -x 1 , …, △ x n =x n -x n-1 。在每个子区间(x i-1 ,x i ]中任取一点 ξ i （1,2,...,n），作和式

　设 λ=max{△ x 1 , △ x 2 , …, △ x n }（即 λ 是最大的区间长度），则当 λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x) 在区间[a,b]的定积分 [2] ，记为

　其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

　之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。

　根据上述定义，若函数 f(x)在区间[a,b]上可积分，则有 n 等分的特殊分法：

　特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：

　1.2 定积分的性质 性质 1

　dx x gabdx x fabdx x g x fab) ( ) ( )] ( ) ( [    

　 性质 2

　) k ( , ) ( ) ( 为常数 dx x fabk dx x kfab 

　 性质 3

　假设 a a <b<c

　dx x fcbdx x facdx x fab) ( ) ( ) (   

　 性质 4

　如果在区间 [ , ] a b 上，恒有 ) ( ) ( x g x f  , , 则 dx x gabdx x fab) ( ) ( 

　 性质 5

　如果在区间 [ , ] a b 上， 0 ) (  x f , , 则 . 0 ) ( dx x fab(a<b)

　性质 6

　设 M 及 m 分别是函数 ( ) f x 在区间 [ , ] a b 上的最大值及最小值，

　则

　) ( ) ( ) ( a b M dx x faba b m    

　, , ( ) a b < 此性质可用于估计积分值的大致范围[3] 。

　性质 7

　若 若 f(x) 在 [a,b] 上可积，则 ∣ f(x) ∣在 [a,b] 上也可积，

　且 dx x fabdx x fab) ( ) ( 

　 性质 8 8 （积分第一中值定理）

　设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续， g(x) 在 [a,b] 上可积，且在 [a,b] 上不 变号，则在 [a,b] 上至少存在一点 ξ，使得：

　dx x gabf dx x g x fab) ( ) ( ) ( ) (  

　2 常用计算方法 2.1 定义法 定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限。以( )baI f x dx   为例：任意分割,任意选取k 作积分和再取极限。任意分割任意取k 所计算出的 I 值如果全部相同的话，则定积分存在。如果在某种分法或者某种k 的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k 的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在。如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取k 。但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作   , a b 的特殊分法，选取特殊的k ，计算出定积分[4] 。

　第一步：分割. 将区间   , a b 分成 n 个小区间，一般情况下采取等分的形式。b ahn ，那么分割点的坐标为   ,0 a ，   ,0 a h  ，   2 ,0 a h  ......   ( 1) ,0 a n h   ，   ,0 b ，k 在  1 , k kx x任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的k ，即左端点，右端点或者中点。经过分割将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形。我们近似的看作是 n 个小长方形。

　第二步：求和. 计算 n 个小长方形的面积之和，也就是  1nkkf h  。

　第三步：取极限.    0 01 1lim limn nk kh hk kI f h h f       ， 0 h  即 n ，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当 n 趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值。

　例 1、用定义法求定积分10xdx。

　解：因为 ( ) f x x  在   0,1 连续

　所以 ( ) f x x  在   0,1 可积 令1 0 1hn n 

　将   0,1 等分成 n 个小区间，分点的坐标依次为 0 2 ... 1 h h nh     

　取k 是小区间   ( 1) , k h kh  的右端点，即kkh   于是 210( 1) 1lim lim2n nn nxdx khhn       211( 1) 1lim lim2 2 2n nn nnn   

　所以，1012xdx 

　2.2 牛顿- 莱布尼茨公式 牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数 ( ) f x 在区间   , a b 内必须连续。求连续函数 ( ) f x 的定积分只需求出 ( ) f x 的一个原函数，再按照公式计算即可。

　定理：若函数 ( ) f x 在区间   , a b 连续，且 ( ) F x 是 ( ) f x 的原函数，则( ) ( ) ( )baf x dx F b F a  。

　证明：因为 ( ) F x 是 ( ) f x 的原函数，即   , x a b   有" ( )( ) F x f x 

　积分上限函数 ( )xaf t dt也是 ( ) f x 的原函数

　 所以 "( ) ( )xaf t dt f x 

　所以 ( ) ( )xaf t dt F x C  

　令 x a  有 ( ) ( )aaf t dt F a C  即 ( ) C F a  

　 再令 x b  有 ( ) ( ) ( )baf x dx F b F a   我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的。但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便，在理论

　上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义。

　例 1、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分10xdx。

　解：

　原式=1201 12 2x 

　同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算。

　2.3 定积分的分部积分法 公式：函数 ( ) u x ， ( ) v x 在   , a b 有连续导数则( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bbaa au x dv x u x v x v x du x    证明：因为 ( ) u x ， ( ) v x 在   , a b 有连续导函数

　 所以  "" "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x v x u x  

　所以  "" "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bb ba aa au x v x u x v x u x v x v x u x dx u x v x         

　 即" "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bbaa au x v x dx u x v x v x u x dx   

　 或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bbaa au x dv x u x v x v x du x    例 1、求定积分21ln xdx。

　解：2 22 21 11 1ln ln ln 2ln2 0 2ln2 1 xdx x x xd x x        

　2.4 定积分的换元积分法 应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算。一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相应交换积分的上下限，这样可以简化计算。

　公式：若函数 ( ) f x 在区间   , a b 连续，且函数 ( ) x t   在   ,   有连续导数，当t     时，有 ( ) a t b    则：

　   "( ) ( ) ( ) ( ) ( )baf x dx f t t dt f t d t         

　 证明：

　( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x dx F x F b F a   

　       "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t t dt F t F F F b F a           

　 即  "( ) ( ) ( )baf x dx f t t dt    这个公式有两种用法：

　（1）、若计算 ( )baf x dx ○1 、选取合适的变换 ( ) x t   ，由 a,b 通过 ( ) b t   ， ( ) a t   分别解出积分限  与  ； ○2 、把 ( ) x t   代入 ( )baf x dx得到  "( ) ( ) f t t dt ； ○3 、计算. 例1、 计算定积分2 20aa x dx 。

　解：设 sin x a t  有 cos dx a tdt 

　 0 x  时， 0 t  ； x a  时，2t

　222 2 2 2 220 00sin2cos ( )2 2 4aa ta x dx a tdt t a     

　（2）、计算 ( ) g t dt，其中  "( ) ( ) ( ) g t f t t   

　○1 、把 ( ) g t 凑成  "( ) ( ) f t t   的形式； ○2 、检查 ( ) x t   是否连续； ○3 、根据  与  通过 ( ) x t   求出左边的积分限 a,b； ○4 、计算. 例2、 计算定积分1115 4dtt。

　解：令 5 4t x   ，则254xt ，12dt xdx  

　 当 1 t   时， 3 x  ；当 1 t  时， 1 x 

　 所以原式=11331 1 1( ) 12 2x dxx    4 总结 定积分计算中最常用的四种方法，本文通过举例分析定积分的几种计算方法，来体现定积分的计算。定积分的计算类型很多，要熟练地进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握。其实，在实际计算中，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样。定义法一般不常用，计算起来比较困难，所以一般不会用定义法计算。常用的就是其他三种，即牛顿-莱布尼茨公式，分部积分法和换元积分法。

　致谢

　 在老师的悉心指导下我完成了这篇关于定积分的计算方法的论文，感谢老师以以其严谨求实的教学态度、高度的敬业精神和孜孜以求的工作作风对我产生重大影响。在此想对理学院的老师表示真诚的感谢，感谢您们给我这次机会，感谢您们知道与教诲。也感谢在学习过程中陪伴我帮助我的同学们，谢谢你们。

　参考文献 [1] 华东师范大学数学系 编

　数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2002

　 [2] 姚允龙 编

　高等数学与数学分析——方法导引[M]， 上海：复旦大学出版社，1982

　[3] 钱吉林 编

　数学分析题解精粹[M]，武汉：崇文书局，2003

　 [4] 中国科学技术大学高等数学教研室 编

　高等数学导论[M]，合肥：中国科学技术大学出版社，1995