中考数学几何证明题「含答案」

重庆中考（往届）数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 在BG上取BH=AB=CD，连EH， 显然△ABE与△CDE全等，则∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC 又∠BEC=90°=∠BFC，对顶角∠BGE=∠CGF， 故∠FBE=∠DCE， 所以∠ABE=∠FBE 在BF上取BH=AB，连接EH， 由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE与△HBE全等 故∠AEB=∠HEB，AE=EH 而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90° 所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB 故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED 同理，∠DEG=45°=∠HEG EH=AE=ED，EG=EG 故△HEG与△FEG全等，所以HG=DG 即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积；

（2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长；

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；

（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E． （1）求证：AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度数． 8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F． （1）求证：∠DAE=∠DCE；

（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点． （1）求证：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积． 10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；

（1）证明：EF=EA；

（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF． 11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF． （1）求证：EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长． 12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高． （1）求证：AE=GF；

（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积． 13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG． （1）求证：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长． 14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF． （1）求证：AD=BE；

（2）试判断△ABF的形状，并说明理由． 15、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC． （1）求证：AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的长． 16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC． （1）求证：AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的长． 17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC． （1）求证：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE． 18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长． 19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且． （1）求证：BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数． 20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF． （1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长． （2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD． 21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC． （1）求证：DH=（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积． 22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD． （1）求证：△AGE≌△DAB；

（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数． 23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF． （1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；

（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；
若不存在，请说明理由． 24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P． （1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度数． 25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD． （1）求∠ABC的度数；

（2）如果BC=8，求△DBF的面积？ 26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点． （1）求证：△AGD为正三角形；

（2）求EF的长度． 27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F． （1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长． （2）求证：ED=BE+FC． 28、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F． （1）求证：△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长． 29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 求证：
（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积． 30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E． （1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积． 参考答案 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点， ∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE， ∴△BAE≌△CDE， ∴BE=CE；

（2）延长CD和BE的延长线交于H， ∵BF⊥CD，∠HEC=90°， ∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90° ∴∠EBF=∠ECH， 又∠BEC=∠CEH=90°， BE=CE（已证）， ∴△BEG≌△CEH， ∴EG=EH，BG=CH=DH+CD， ∵△BAE≌△CDE（已证）， ∴∠AEB=∠GED， ∠HED=∠AEB， ∴∠GED=∠HED， 又EG=EH（已证），ED=ED， ∴△GED≌△HED， ∴DG=DH， ∴BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长． （1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC；

（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°， ∴AD=DF， ∵DF=DC﹣FC， ∵△EBH≌△GFC， ∴FC=BH=1， ∴AD=4﹣1=3． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积；

（2）求证：BD=EF+CE． （2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE． （1）解：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， ∵DC∥AB， ∴∠DCA=∠CAB， ∴， ∵DC∥AB，AD=BC， ∴∠DAB=∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°， ∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE=90°， ∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°， 在Rt△BCE中，BE=2CE=2，， ∴…（5分）
（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M， ∴四边形FDME是矩形， ∴FE=DM， ∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°， ∴△BME≌△ECB， ∴BM=CE， ∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）
4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图）， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC， ∵EF∥CA，EG∥CA， ∴四边形ACEG是平行四边形， ∴AG=CE， 又∵，AD=BC， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠ECF， 在△CEF和△DGF中， ∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG， ∴△CEF≌△DGF（AAS）， ∴CF=DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∴OF∥BE． （2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形． 证明：∵OF∥CE，EF∥CO， ∴四边形OCEF是平行四边形， ∴EF=OC， 又∵梯形OBEF是等腰梯形， ∴BO=EF， ∴OB=OC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO． ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长；

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． （1）解：连接BD， 由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°， 又∵BF⊥CD， ∴∠DFE=90° 又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF， ∴△GAD≌△EFD， ∴DA=DF， 又∵BD=BD， ∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL）， ∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF 又∵CF=6， ∴BC=， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠BDF=∠CBD， ∴CD=CB=8． （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠E=∠CBF， ∵∠HDF=∠E， ∴∠HDF=∠CBF， 由（1）得，∠ADB=∠CBD， ∴∠HDB=∠HBD， ∴HD=HB， 由（1）得CD=CB， ∴△CDH≌△CBH， ∴∠DCH=∠BCH， ∴∠BCH=∠BCD==． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；

（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图， 在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==， ∴AC=10， ∴BC=8， 在Rt△CDM中，∠D=45°， ∴DM=CM=AB=6， ∴AD=6+8=14， ∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm2）；

（2）证明：过G作GN⊥AD，如图， ∵∠D=45°， ∴△DNG为等腰直角三角形， ∴DN=GN， 又∵AD∥BC， ∴∠BFH=∠FHN， 而∠EFH=∠FHG， ∴∠BFE=∠GHN， ∵EF=GH， ∴Rt△BEF≌Rt△NGH， ∴BE=GN，BF=HN， ∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE． 7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E． （1）求证：AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度数． （1）证明：如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∵DF=CD， ∴AB∥DF． ∵DF=CD， ∴AB=DF． ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AE=DE． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD． ∴∠COD=90°． ∵四边形ABDF是平行四边形， ∴AF∥BD． ∴∠CAF=∠COD=90°． 8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F． （1）求证：∠DAE=∠DCE；

（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （1）证明：在△DAE和△DCE中， ∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角）， ED=DE（公共边）， AE=CE（正方形的四条边长相等）， ∴△DAE≌△DCE （SAS）， ∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；

（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE， ∴AE=EC， ∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；

又∵CG=CE（已知）， ∴∠G=∠CEG（等边对等角）；

而∠CEG=2∠EAC（外角定理）， ∠ECB=2∠CEG（外角定理）， ∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°， ∴∠G=∠CEG=30°；

过点C作CH⊥AG于点H， ∴∠FCH=30°， ∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH， 在直角△FCH中，CH=CF， ∴EG=2×CF=3CF． 9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点． （1）求证：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积． （1）证明：连接PC． ∵ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD． ∵BE=DF， ∴△ABE≌△ADF．（SAS）
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF． ∴∠EAF=∠BAD=90°． ∵P是EF的中点， ∴PA=EF，PC=EF， ∴PA=PC． 又 AD=CD，PD公共， ∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H点． ∵P是EF的中点， ∴PH=EC． 设EC=x． 由（1）知△EAF是等腰直角三角形， ∴∠AEF=45°， ∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°， ∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x． 在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得 x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2． ∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4． ∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5． 10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；

（1）证明：EF=EA；

（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF． （1）证明：
∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE． ∵E为CD的中点， ∴ED=EC． ∴△ADE≌△FCE． ∴EF=EA．（5分）
（2）解：连接GA， ∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠DAB=90°． ∵DG⊥BC， ∴四边形ABGD是矩形． ∴BG=AD，GA=BD． ∵BD=BC， ∴GA=BC． 由（1）得△ADE≌△FCE， ∴AD=FC． ∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA． ∵由（1）得EF=EA， ∴EG⊥AF．（5分）
11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF． （1）求证：EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长． （1）证明：∵△ADF为等边三角形， ∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）
∵AE为公共边 ∴△FAE≌△BAE（4分）
∴EF=EB（5分）
（2）解：如图，连接EC．（6分）
∵在等边三角形△ADF中， ∴FD=FA， ∵∠EAD=∠EDA=15°， ∴ED=EA， ∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）
由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°． ∵∠FAE=∠BAE=75°， ∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°， ∴BE=BA=6． ∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°， ∴∠GEB=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠GBE=30° ∴GE=GB．（8分）
∵点G是BC的中点， ∴EG=CG ∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°， ∴△CEG为等边三角形， ∴∠CEG=60°， ∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）
∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2 ∴CE=， ∴BC=（10分）；

解法二：过C作CQ⊥AB于Q， ∵CQ=AB=AD=6， ∵∠ABC=60°， ∴BC=6÷=4． 12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高． （1）求证：AE=GF；

（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积． （1）证明：∵AB=DC， ∴梯形ABCD为等腰梯形． ∵∠C=60°， ∴∠BAD=∠ADC=120°， 又∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=30°． ∴∠DBC=∠ADB=30°． ∴∠BDC=90°．（1分）
由已知AE⊥BD， ∴AE∥DC．（2分）
又∵AE为等腰三角形ABD的高， ∴E是BD的中点， ∵F是DC的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD． ∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）
∴AE=DF（4分）
∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高， ∴GF=DF，（5分）
∴AE=GF．（6分）
（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°， ∵AE=1， ∴AD=2． 在Rt△DGC中∠C=60°， 并且DC=AD=2， ∴DG=．（8分）
由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2， 又∵DG⊥BC， ∴DG⊥EF， ∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）
13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG． （1）求证：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长． 解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F， ∴∠ABC=∠AFE． ∵AC=AE，∠EAF=∠CAB， ∴△ABC≌△AFE， ∴AB=AF． ∴AE﹣AB=AC﹣AF， 即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC， ∴AF=AC=AE． ∴AG=CG， ∴∠E=30°． ∵∠EAD=90°， ∴∠ADE=60°， ∴∠FAD=∠E=30°， ∴FC=， ∵AD∥BC， ∴∠ACG=∠FAD=30°， ∴CG=2， ∴AG=2． 14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF． （1）求证：AD=BE；

（2）试判断△ABF的形状，并说明理由． （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAD=∠ABC=90°， ∵DE⊥EC， ∴∠AED+∠BEC=90° ∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠BEC=∠ADE， ∵∠DAE=∠EBC，AE=BC， ∴△EAD≌△EBC， ∴AD=BE． （2）答：△ABF是等腰直角三角形． 理由是：延长AF交BC的延长线于M， ∵AD∥BM， ∴∠DAF=∠M， ∵∠AFD=∠CFM，DF=FC， ∴△ADF≌△MFC， ∴AD=CM， ∵AD=BE， ∴BE=CM， ∵AE=BC， ∴AB=BM， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∵△ADF≌△MFC， ∴AF=FM， ∴∠ABC=90°， ∴BF⊥AM，BF=AM=AF， ∴△AFB是等腰直角三角形． 15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC． （1）求证：AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的长． 解答：（1）证明：连接AC， ∵AB∥CD， ∴∠ACD=∠BAC， ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC， ∴∠ACD=∠ACB， ∵AD⊥DC，AE⊥BC， ∴∠D=∠AEC=90°， ∵AC=AC， ∴， ∴△ADC≌△AEC，（AAS）
∴AD=AE；

（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC， 设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8， 在Rt△ABE中∠AEB=90°， 由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2， 解得：x=10， ∴AB=10． 说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分． 16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC． （1）求证：AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的长． （1）证明：∵AD∥CB， ∴∠ADB=∠CBD， 又BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形， 已知E是BD的中点， ∴AE⊥BD． （2）解：延长AE交BC于G， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠GBE， 又∵AE⊥BD（已证）， ∴∠AEB=∠GEB， BE=BE， ∴△ABE≌△GBE， ∴AE=GE，BG=AB=AD， 又F是AC的中点（已知）， 所以由三角形中位线定理得：
EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）
=×（14﹣4）=5． 答：EF的长为5． 17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC． （1）求证：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE． （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC， ∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC， ∴△BCE≌△CAD． ∴CD=BE． （2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5， ∵△BCE≌△CAD， ∴CE=AD=3． ∴AE=AC﹣CE=2． 18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长． 解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）
∵AB⊥AC， ∴∠AED=∠BAC=90度． ∵AD∥BC， ∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度． 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）
在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）
19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且． （1）求证：BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数． 证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF＇=∠BCF+∠DCE=∠ECF， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED， ∴BF=EF﹣ED；

（2）解：∵AB=BC，∠B=80°， ∴∠ACB=50°， 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， ∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°， ∴∠BCF=30°， ∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°． 20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF． （1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长． （2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD． 解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB， ∴AM=BM=×6=3；

∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°， ∴四边形AMEF是矩形， ∴EF=AM=3；

在Rt△AFE中，AE==5；

（2）延长AF、BC交于点N． ∵AD∥EN， ∴∠DAF=∠N；

∵∠AFD=∠NFC，DF=FC， ∴△ADF≌△NCF（AAS）， ∴AD=CN；

∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°， 又AE=BE，∠B=∠BAE， ∴∠N=∠EAN，AE=EN， ∴BE=EN=EC+CN=EC+AD， ∴CE=BE﹣AD． ．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC． （1）求证：DH=（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积． 解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）
∵AD∥BC， ∴四边形ACED为平行四边形．（2分）
∴CE=AD，DE=AC． ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴BD=AC=DE． ∵AC⊥BD， ∴DE⊥BD． ∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）
∵DH⊥BC， ∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）
（2）∵AD=CE， ∴．（7分）
∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6， ∴． ∴梯形ABCD的面积为18．（8分）
注：此题解题方法并不唯一． 22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD． （1）求证：△AGE≌△DAB；

（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数． （1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC， ∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°， ∴△AGD是等边三角形， AG=GD=AD，∠AGD=60°． ∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB， ∵∠AGD=∠BAD，AG=AD， ∴△AGE≌△DAB；

（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG． ∵EF∥DB，DG∥BC， ∴四边形BFED是平行四边形． ∴EF=BD， ∴EF=AE． ∵∠DBC=∠DEF， ∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°． ∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°． 23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF． （1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；

（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；
若不存在，请说明理由． 解：（1）证明：∵EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠EFC， ∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）△DCF是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD， ∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形）， ∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴CF=（BC﹣AD）=1， ∵DC=， ∴由勾股定理得：DF=1， ∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四种情况：
∵DF⊥BC， ∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形， 即PF=1， ∴PB=1；

当P与F重合时，△PCD是等腰三角形， ∴PB=2；

当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形， ∴PB=3﹣；

当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形， ∴PB=3+． 故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）
24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P． （1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度数． 解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°， ∴AB=CD， ∵AD=DC， ∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°， ∵DE=CF， ∴AE=DF， 在△BAE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）． （2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF， ∴∠ABE=∠DAF． ∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE． 而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°， ∴∠BPF=120°． 25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD． （1）求∠ABC的度数；

（2）如果BC=8，求△DBF的面积？ 解答：解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵AB=AD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴∠DBC=∠ABD， ∵在梯形ABCD中AB=DC， ∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC， ∵BD⊥DC， ∴∠DBC+2∠DBC=90° ∴∠DBC=30° ∴∠ABC=60° （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H， ∵∠DBC=30°，BC=8， ∴DC=4， ∵CF=CD∴CF=4， ∴BF=12， ∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC ∴∠F=30°， ∵∠DBC=30°， ∴∠F=∠DBC， ∴DB=DF， ∴， 在直角三角形DBH中， ∴， ∴， ∴， 即△DBF的面积为． 26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点． （1）求证：△AGD为正三角形；

（2）求EF的长度． （1）证明：连接BE， ∵梯形ABCD中，AB=DC， ∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB， ∴∠GCB=∠GBC， 又∵∠BGC=∠AGD=60° ∴△AGD为等边三角形， （2）解：∵BE为△BCG的中线， ∴BE⊥AC， 在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线， ∴EF=AB=5cm． 27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F． （1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长． （2）求证：ED=BE+FC． 解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°， ∴∠ECB=15°， ∵∠ECD=45°， ∴∠DCF=60°， 在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3， ∴DF=3，DC=6， 由题得，四边形ABFD是矩形， ∴AB=DF=3， ∵AB=BC， ∴BC=3， ∴BF=BC﹣FC=3﹣3， ∴AD=DF=3﹣3， ∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3， 答：梯形ABCD的周长是9+3． 其实也还有一种方法的啦。

（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE， ∴CN=CE， 可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD， ∴△DEC≌△DNC， ∴ED=EN， ∴ED=BE+FC． 28、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F． （1）求证：△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长． （1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点， ∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F． ∴△BCE≌△AFE（AAS）． （2）解：∵AD∥BC， ∴∠DAB=∠ABC=90°． ∵AE=BE，∠AEF=∠BEC， ∴△BCE≌△AFE． ∴AF=BC=4． ∵EF2=AF2+AE2=9+16=25， ∴EF=5． 29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 求证：
（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积． （1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF， ∴△DCF≌△BCF． （2）延长DF交BC于G， ∵AD∥BG，AB∥DG， ∴四边形ABGD为平行四边形． ∴AD=BG． ∵△DFC≌△BFC， ∴∠EDF=∠GBF，DF=BF． 又∵∠3=∠4， ∴△DFE≌△BFG． ∴DE=BG，EF=GF． ∴AD=DE． （3）∵EF=GF，DF=BF， ∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG． ∵DG=AB， ∴BE=AB． ∵C△DFE=DF+FE+DE=6， ∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6． ∴AB+AD=6． 又∵AD=2， ∴AB=4． ∴DG=AB=4． ∵BG=AD=2， ∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3． 又∵DC=BC=5， 在△DGC中∵42+32=52 ∴DG2+GC2=DC2 ∴∠DGC=90°． ∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG =（2+5）×4 =14． 30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E． （1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积． 解答：解：（1）证明：∵AD∥BC， DE2=CD2+CE2=42+32=25， ∴∠OAD=∠OEB， ∴DE=5 又∵AB=AD，AO⊥BD， ∴AD=BE=5， ∴OB=OD， ∴S梯形ABCD=． 又∵∠AOD=∠EOB， ∴△ADO≌△EBO（AAS）， ∴AD=EB， 又∵AD∥BE， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=AD ∴四边形ABCD是菱形． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DE=BE，