小学数学数形结合数学教学

摘 要 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学是研究数量关系和空间形式的科学。所有的数学问题无外乎是数与形的问题，也是两个最古老最基本的对象，是数学大厦深处的两块基石。小学生正是从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段，数形结合思想正是学习数学的桥梁。研究显示，近一年开始重视“数形结合”思想在教学中的渗透；
教师在教学中存在引导学生“数”与“形”之间转化困难；
缺少对数形结合课程的教学反思；
缺乏对数形结合全面性的认识以及渗透比较片面单一；
在教学中应用具体实例少。在小学数学中，数形结合思想贯穿始终，涉及到教师教学、学生学习、学生解决问题等方面。因此，要增强教师专业素质；
提升数形结合思想的认识；
从学生角度出发分析问题，把握关键信息引导作图；
进行教学反思，梳理教材内容构建对数形结合整体认知；
加强师范生和在职教师对数形结合课程的培训；
有效地结合直观方式才能提高教学质量，培养学生的思维能力，提升数学素养。

关键词:小学数学；
数形结合；
数学教学 Abstract The Mathematics Curriculum Standard for Compulsory Education (2011 Edition) points out that mathematics is a science to study quantitative relations and spatial forms. All the mathematical problems are almost about the problems of number and shape, which are the two oldest and most basic objects, and the two footstones in the depth of the mathematical building. Primary school students are the key stage of the transition from concrete image thinking to abstract logic thinking, and the thought of combination of numbers and shapes is the bridge of learn mathematics. The research shows that in the past year, teachers have begun to pay attention to the infiltration of the idea of “combination of numbers and shapes“ in teaching; teachers have difficulties in guiding students to transform between “numbers“ and “shapes“; lack of teaching reflection on the course of “combination of logarithm and shape“; lack of comprehensive knowledge of “combination of logarithm and shape“ and relatively one-sided and single penetration; and lack of specific examples in teaching. In primary school mathematics teaching, the thought of the combination of numbers and shapes runs through all the time, involving teachers＇ teaching, students＇ learning, students＇ problem solving and so on. Therefore, it is necessary to trengthen the professional quality of teachers, enhance the understanding of the idea of combining numbers and shapes, analyze problems from the perspective of students，grasp key information to guide the drawing, reflect on teaching，sort out the content of teaching materials, sort out the content of teaching materials to build the overall cognition of combining logarithm and shapes, strengthen the training of combining logarithm and shapes courses for normal students and in-service teachers, and effectively combine intuitive ways to improve teaching quality, cultivate students the ability of thinking and improve mathematical literacy. Key words：primary school mathematics; combination of numbers and shapes; mathematics teaching 目 录 摘要 Ⅰ Abstract Ⅱ 一、绪论 1 （一）研究背景 1 （二）研究目的 1 （三）研究意义 1 （四）研究方法 2 二、 数形结合相关研究综述 2 （一）国外相关研究概述 2 （二）国内相关研究概述 3 1. 数形结合的概念界定 3 2. “以形助数” 5 3. “以数解形” 6 4. “数形互助” 6 5. 数形结合其他相关研究 7 三、小学数学数形结合思想现状访谈与分析 8 （一）访谈提纲设计 9 （二）小学数学教师基本情况 9 （三）小学数学数形结合思想教学的访谈情况分析和存在问题概述 9 四、数形结合在小学数学第一学段教学中应用策略 10 （一）教师加强专业素质，提升数形结合思想的认识 10 （二）运用多种直观方式，实现数形结合教学 11 （三）把握问题关键，从学生角度出发引导作图 13 （四）整理教材内容，建构整体认知 14 五、结论与局限 16 （一）结论 16 （一）局限 17 致谢 18 参考文献 19 附录 访谈记录 21 一、绪论 （一）研究背景 “数形结合”在数学中是不仅是一种最常用最基础的数学方法，也是一个非常重要的数学思想。所有的数学问题是数与形的问题，也是两个最古老最基本的对象。计数是数的起源，从古代用各种实物“形”表示“数”，到用抽象“形“表示“数”，“形”在数学的发展过程当中有着密不可分的关系。数形结合，是用图形转化使数量关系直观化，或者用代数来研究几何图形，二者相辅相成。

（二）研究目的 义务教育数学课程将六年的学习时间划分为两个学段，第一学段为一至三年级，第二学段为四至六年级。处在小学阶段第一学段的学生，年龄在6-9岁之间。该阶段的学生学习受家庭环境、个性、兴趣、理解能力等多种因素影响，但是小学儿童思维以具体形象思维为主，且抽象逻辑思维具有具体形象性。把握思维的这一特点，有效结合数形结合思想应用在小学数学的学习当中，融入教学课堂促进学生在对数学知识的思考和理解，对数形结合思想的应用落到实处来解决问题，来提升学生数学素养。研究切实可行的数形结合思想的有效教学策略，为教师课堂教学和引导学生学习思考提供可供参考的建议。

（三）研究意义 1. 理论意义 本研究对相关文献梳理，了解到现阶段数形结合在小学数学教学中应用情况，教学研究水平，存在问题及实践策略等问题，为开展相关研究提供了一定的参考和借鉴依据。在小学数学教学中，数形结合能为学生提供准确的形象材料，使抽象关系具体化，更能直观感受数学，提高教师教学效果。梳理小学数学第一学段教材内容，丰富教师对数形结合的认识，提升该思想的重视程度，加强学科专业素养，对教学中存在的问题提出了相应的应对策略。教师充分利用数形结合进行教学，提升学生数学素养，使学生学懂数学、学会数学。

2．实践意义 通过阅读有关小学数学数形结合的文献资料，结合第一学段中存在数形结合内容分析，有针对性地对小学数学一线教师的教学进行调查。结合调查结果分析问题，提出数形结合在小学数学第一学段教学应用的策略。对教材内容有一个整体性的认识，帮助教师能够灵活地运用数形结合来促进教学，创造出高效的有趣的数学课堂，来提升学生数学思维能力。

（四）研究方法 本课题研究主要采用文献研究法、访谈法、内容分析法。

文献研究法：学习国内外学者研究有关“数形结合思想”、“教学策略”、“小学数学”等文献，将内容主要分为：数形结合的概念界定、“以形助数”、“以数解形”、“数形互助”和数形结合其他相关研究这五个方面来认识数形结合在小学数学中的教学意义。本文所参考的国外著作类文献共1篇，国内文献共16篇，其中期刊论文14篇，学位论文2篇。

访谈法：调查者通过与调查对象交谈来了解情况、收集资料的一种调查方法。本研究选择分别为一至三年级的3位数学老师和五年级的1位数学老师进行访谈，了解对数形结合的认识以及当前数形结合的教学现状和问题。问卷提纲参考至胡颖《数形结合在小学第二学段教学中的运用研究》中的教师访谈提纲进行了部分删减和修改，结合实际情况进行了补充。

内容分析法：分析的对象是小学第一学段数学教科书，分析的角度是以数形结合的教学应用为主，整理出与课程内容对应的教学方法。

二、数形结合相关研究综述 （一）国外相关研究概述 Natalia Marmasse, Aggelos Bletsas, Stefan Marti（2000）在《数字机制和儿童的数字概念》提到了奥卡普明（Oksapmin）计数系统是基于人的27个部位，在Starkey（1992）的研究表明通过从箱子中放球取球来表达数感受数，以及在儿童算数发展的基础是用手指或者是尺子来表示并计算。Essays（2018）在《教数学》也提到了用身体做出“形”，吃葡萄干来数数计算。早期的数形结合，通过身体部位或者是实物作为“形”来表示数，也是能够最真实直观来感受数量变化。

在搜索国外文献的过程中，国外并没有引入与数形结合的相关内容，仅此一篇相关性较强的文献中是属综合性的文献，文中提及的内容在数形结合思想发展中相对初步，并未进行深入探究。

（二）国内相关研究概述 国内有关数形结合思想的文献丰富，主要分为五个方面来讨论，分别是数形结合的概念界定、“以形助数”、“以数解形”、“数形互助”、数形结合其他相关研究。

1.数形结合的概念界定 数形结合是数学的基石，贯穿数学学习始终。在中国知网搜索“数形结合”关键词，至2019年12月，共找到了10536条结果，与“小学数学”有关的有706条结果，其中博硕士论文有7条结果占其中的0.99％。2019年与“数形结合、小学数学”相关的文献有明显增多，说明开始重视在小学数学中数形结合思想的培养，但是并未对此内容进行详尽的研究。“数形结合”即把数量关系和空间形式紧密联系起来。数形结合没有明确的定义，只能给一种界定。

张英（2019）认为，数形结合思想即数和形之间的对应关系，经过数和形的互相转化，可将相对抽象的数学语言和直观的图形有效融合，并利用这一方式处理数学问题的方法。[11]这是从对应关系来阐述的。

罗增儒（2001）认为，数学是一种信息的转换和加工，即通过抽象的数量关系解释图形的性质和实质，或者通过直观的图形解释抽象的数量间的逻辑关系。[14]这是从信息转化和加工方向来解释的。

徐斌艳（2003）认为，数形结合实质上就是将抽象的思维同形象的思维、逻辑的思维同直观的思维相结合来解决问题。[16]这是从逻辑思维方向来理解的。

王友莲（2018）认为，是通过图形形象和直观的展示数学知识和理论， 帮助学生具体地了解和掌握数学知识，形成较好的学习认知。[1]这是从学生学习数学来定义的。

综上所述，数形结合在小学数学阶段，是将直观化的图形和数学语言通过信息加工和转化，形成数学认知系统，应用于解决实际问题。在数学中，数形结合是一种教学策略，解决问题的一种工具，但这一思想活跃于生活的方方面面。

2.“以形助数”的相关研究 低年级的儿童在初次接触数学的时候会出现理解障碍，林丽华（2019）根据低年级的儿童喜欢画画这一兴趣爱好运用在数学课堂学习上，将知识转化为绘画的图纸上，启发他们的数学能力，理解数学，初步形成数形结合思想。

联系生活实际状况，寻找具体化的数学教学方式，张东梅（2019）认为：“在讲述具体概念时，使用常见物品加工穿插理论概念，进行数字化分析。”[9]通过图形演化来展示公式的由来；
通过具体实物或图片，建立简便的理解体系。改变单一的文字教学，通过数形结合来降低学生对数学的理解难度，来提高教学效果。

数形结合思想渗透在小学数学四个学习领域中。因此，汪渭芳（2010）认为，运用数形结合来进行概念、算理、数量关系的教学。具体实物发展到具体形象再到抽象这一过程不是一蹴而就，在新知识教学过程当中理解其数学内涵更加重要。

张英（2019）认为，在解决问题的过程中，将算式形象化，指导学生建立数和形之间的关系，以形解数，是学生理解并掌握算理的有效手段。能调动学生对算理的理解，加深对计算的理解，也是一个行之有效的手段。

曾华倩（2017）指出以形解数, 将数学教学变得更加直观, 培养学生科学的逻辑思维能力, 提升学生数学素养。培养良好的数学素养对学习数学有着积极的作用，对生活各方面也有一定的影响。

通过以上文献分析，数形结合在小学数学中涉及范围广泛，在“以形助数”中，通过绘画、事物、图片等各种“形”来丰富课堂教学，使得学生用眼观察、开发大脑进行思考，将“形”和“数”之间不断进一步转化思考，加深对数学知识含义的理解，从而促进对数学的理解和体会。

3.“以数解形”的相关研究 江忠（2018）认为，利用数形结合的思想方法引导小学生积极探索，让他们处于“愤悱”状态而获得真正的启发。

[4] 运用策略为在问题瓶颈处设计图形，引领学生探究，如同解题的关键钥匙，掌握了便可寻找到最终答案。

数学实际问题的有效解决是锻炼小学生多层面思维能力的关键，因此雷正风（2019）指出快速把握试题中的条件、问题和相关的具体关系，理解、分析的基础上通过数形结合思想的应用来解答数学试题。抓住题目问题的关键，建立数学图形来分析问题，使得问题简单化。

王友莲（2018）认为“将把数量关系的问题转化成图形的问题，使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。” [1]借助“简易图”“线段图”理解数学内容和数量关系，是数形结合表现的一种方式。

宋英海（2015）提到“形”具有直观、形象的特点，但是不够精确，小学数学的图形简单，但往往一眼就能看到底的图形却不一定看得清、看得明白，需要借助数与代数等方式来计算解决。

通过以上文献分析，遇到数学问题的瓶颈时，把握题中的条件和关系，建立图形来分析、解决、理解，“以数解形”将问题直观化、简单化，将算式形象化。数学图形也需要通过数与代数来进一步分析探究数学问题，来保证结果的精确性和缜密性。

4.“数形互助”的相关研究 张英（2019）提出，在分析问题时，依据问题具体状况，将图形转变为数量关系，或将数量关系转变为图形，使复杂的问题简易化，抽象问题具体化、直观化。数形转化的过程中调动学生思维的发展，推动综合能力的提升。

王海中（2019）提出，在教学研究中，应该从“数”和“形”的角度分别来认识数学，最后做到“数”“形”相结合。[2]“数”和“形”之间相互转化而构成了数学，因此掌握了数形结合就把握了数学中行驶的一艘巨轮。

通过以上文献分析，“数”“形”在数学中不能只存在其中一个，二者相辅相成促进教师教和学生学，相结合才能相互促进和渗透，推动数学的发展。数学只是数形结合的一个方面，是基础，它还存在于生物、地理、历史等各个学科当中，是不可或缺的一部分。

5.数形结合其他相关研究 谷淑萍（2019）认为，在渗透数形结合思想的教学中，首先教师要对数形结合有深刻的理解后，明确教学目标，然后渗透数形结合，培养学生的数学思维与能力，理解数学意义。并在传授新知、复习旧知、问题解决中，实现多样化渗透数形结合思想。重视这一思想，教师应当有对数形结合有更加深刻的理解和认识。

石江山（2019）认为，为了能让学生能受到良好的数学素养教育，形成正确的数形结合思维，教师需要将数学思维、解决实际问题、知识技能等方面进行有机的结合，用以实现总体教学目标。教师应将数形结合思想的培养整合进教学目标，学生为学习的主体，进行不断的思想渗透。

通过以上文献分析，教师是向学生不断渗透数形结合思想的学习过程中的关键，因此教师要有对数形结合思想有正确的认识，明确的教学总目标，通过教学过程中不断强化来培养这一思想，促进数学素养的提升。

综上所述，国内文献综述对数形结合做了深入的探究，针对小学数学的相对较少。小学阶段是学生正式学习数学的起点，是教师有目的、有计划、有组织的系统性地进行教学，是今后学习的基础，也是生活的基本技能。因而在促进小学数学教学的过程中，数形结合是贯彻教学始终，也必然是重中之重。从2019年开始文献内容增多，侧面反映出教师开始重视数形结合思想，大多数的文献比较零散，片面单一，因此本课题对从五个方面对数形结合进行综合的整理归纳。数形结合思想通过绘画、实物、图片等各种形式，联系生活实际，引导学生不断观察以启发对数学相关知识的理解和感悟；
通过分析问题中的条件建立数学模型来分析推理，调动学生的数学思维和推理能力；
通过对图形分析进行进一步推算解决实际问题，“数”和“形”在数学中缺一不可，二者相辅相成，相互促进发展。

三、小学数学数形结合思想现状访谈与分析 （一）访谈提纲设计 本次教师访谈提纲的内容参考至胡颖《 数形结合在小学第二学段教学中的运用》中的教师访谈提纲。首先，对教龄的内容调整放置于对教师基本情况了解当中，删除 “1.您的教龄是”。其次，可通过对访谈内容分析来判断教师对数形结合了解的程度，因此删除 “2.请问您对‘数形结合’ 了解多少”。

第三，“8.您觉得在解决问题时‘数形结合’有哪些独特的优势？”、 “9.在今后的教学中，您会使用‘数形结合’帮助教学吗？”和 “10.你会如何使用“数形结合”帮助教学？”该三个问题类似比较相似，因此进行删减保留问题10。第四，通过第一次对教师的访谈，为能有更进一步了解增加了两道问题分别为“在进行师范教育时是否有学习数形结合应用的课程？如果有，课程安排的多吗”和“目前教师在职培训的课程中，是否需要增加数形结合运用的教育内容”。最后，访谈提纲共8道题目。

访谈提纲的内容主要是调查教师对数形结合思想是否有了解，是否对小学数学中数形结合思想有一个系统性的认识。课前是否会考虑数形结合来进行教学，对其重视程度和是否在教学中渗透与应用，来有意识的培养学生数形结合思想。再进一步了解教师对师范教育时是否有进行数形结合的学习，以及入职以后对数形结合的课程是否有需求。以下内容是教师访谈提纲：
1.您认为“数形结合”在小学重要吗? 2.在上课时您会使用“数形结合”进行教学吗?哪种课型运用较多呢? 3.在备课时您会将数形结合写进教学目标吗? 4.您是否梳理过教材中蕴含数形结合思想方法的知识点? 5.您觉得在教学中运用“数形结合”存在哪些问题呢? 6.您会如何运用“数形结合”帮助教学? 7.在进行师范教育时是否有学习数形结合应用的课程？如果有，课程安排的多吗？ 8. 目前教师在职培训的课程中，是否需要增加数形结合运用的教育内容？ 表3-1 小学数学教师基本情况 · 性别 学历 任教年资 现任教年级 是否担任班主任 访谈时间 第二次访谈时间 W教师 女 本科 2年 五年级 是 2020.3.25 X教师 女 本科 30年 一年级 否 2020.2.29 2020.3.28 Y教师 女 本科 13年 二年级 否 2020.3.1 2020.3.29 Z教师 女 本科 22年 三年级 否 2020.3.13 2020.3.29 （二）小学数学教师基本情况 本次访谈的教师分别是一、二、三、五年级的小学数学老师，学历都为本科学历，对教学教材研究有着相对扎实的基础。这四位老师都是一线在职教师，对教学现状有最直接感受，其中第一学段的教师都是十年任教年资以上，有丰富经验，并无担任班主任，能更能够专心教育教学事业。本次访谈是通过电话联系，微信进行访问的方式，对第一学段的教师分别进行了两次访谈以及五年级的数学老师访谈了一次。

（三）小学数学数形结合思想教学的访谈情况分析和存在问题概述 首先，在职教师缺乏对数形结合全面性的认识。通过此次的访谈结合问题一、二、三、四可以看出，无论是第一学段的教师还是高年级教师都认可数形结合在整个小学数学教学当中的重要性，并重视数学教学过程中的应用。在备课时会将数形结合写进教学目标，说明教师对数形结合有一定的了解，备课过程中会考虑到运用数形结合方法来进行教学。有意识运用数形结合来组织教学，但从教起并没有对此进行一个完整的具有系统性的知识梳理，多数教师对小学数学教学过程中数形结合没有一个全面的认识。

其次，在教学过程中存在引导学生“数”与“形”之间转化困难。问题五提及到教学中运用“数形结合”存在哪些问题，第一学段的学生和五年级的学生对比，都存在“数”和“形”之间转化难。学生的生活经验少，造成理解题目难，动手画图难的现象。因此，在数学教学过程当中，教师对于抽象的概念课要运用各种直观方式来一层层加深学生的理解和感受。在计算课和解决实际问题时，教师需要将复杂问题简单化，将抽象算法算理形象化，利用数形结合能够将问题或者计算从图形向数字、符号之间进行相互转化。

第三，教学中对数形结合的渗透比较片面单一。针对问题五进一步分析中，在各种课型中计算课运用到数形结合的频率较高，这是因为在小学解决实际问题过程中需要借助图形来分析题目开拓思路。教师对数形结合的运用限制于帮助学生来解理抽象的概念、算法算理以及解决实际问题方面。在小学数学教学过程中，例如图形与几何是需要通过数来解决问题的，这也说明了教师对数形结合的认识不够全面，对数形结合的应用也主要是“以形助数”这一方面。在需要用到数形结合时才会考虑运用在教学中，并不能很好对学生数形结合思想的渗透。

第四，教师缺少对数形结合课程的教学反思。在问题六中问到今后如何运用数形结合来帮助教学中，教师有意识优先考虑学生的学习特点，结合教学经验因材施教，但是在具体如何运用在整个教学过程中认识的比较片面，并且教师都是针对自身如何加强对学生的引导，没有考虑是要在学习中如何渗透数形结合思想，培养学生的数学素养，缺乏建立系统性的教学方法。

第五，目前教学情况，教师对数形结合内容需求师范教育和在职培训课程有待提高。根据问题七和八再结合文献和在职教师的访谈，说明整个小学教育阶段愈发重视数形结合在教学中的地位，对师范教育中重视对数形结合应用的培养，但是专门对数形结合的研究不够全面完善，只是进行了相关课程的安排，说明在师范教育中没有形成一个完整的体系。教师都认可在职培训课程中增加该教育内容，说明体系的不完整对目前小学数学教学应用学习的需求。

小学数学教学中，教师要有专业的学科知识素养，充分理解体会“数”和“形”是数学的基石，提高数形结合思想的意识。

四、数形结合在小学数学第一学段教学中应用策略 （一）教师加强专业素质，提升数形结合思想的认识 教师认可数形结合在数学教学中的地位，但在教学中对此的渗透比较单一片面，没有对数形结合课程的教学反思，主要是缺乏对数形结合全面的认识，没有建立系统性的教学方法。教师应加强自身学习，对数形结合思想有充分的认识和理解，才能有意识渗透数形结合思想。

教师要对加强专业素质，开展一节有效的数学课要具备：一是正确地解读教材，读懂并合理利用教材内容安排教学的内容。每篇教材地编写都具有它的科学性，所以不能脱离教材，标新立异。二是课堂组织能力，能放手让学生动手实践讨论，也要能够收回学生的注意力。三是具备精炼的语言表达能力，向学生提问启发思考或是引导学生画图时，问题要简短精炼。

教师提升数形结合思想意识，才会在教学当中有意识地培养学生的数形结合思想。备课时要将数形结合的渗透加入教学目标，要具体从学期到单元到课时，明确采用是哪种数形结合的类型，以及如何渗透数形结合、如何进行教学实现教学目标，都是需要教师梳理，通过学生学习情况反馈来不断进行教学反思加以改进，使学生数形结合思想得到更好的发展。

（二）运用多种直观方式，实现数形结合教学 针对上述问题概述中，“数”“形”转化难，因为学生的生活经验少，造成理解题目难，动手画图难的现象。教师要运用多种直观方式丰富学生对有关事物及规律的感性认识，才能促进对数形结合的培养。在一堂数学课中，为了让学生能够体会并理解数学意义，建立数感、空间几何等常常需要综合多种“形”，将抽象的概念直观化，教师主导课堂教学遵循循序渐进，不断转化后逐步深入理解。

以小学数学（人教版）三年级上册“长方行和正方形”单元中第一课时“长方形和正方形的认识”为例，要求学生观察长方形的特点。联系生活实际找到生活中长方体和正方体，因此教师出示一个长方形的实物先让学生进行观察。通过自主探究后，再让学生动手操作画一个长方形，在大脑中建立长方形的模象。在构建长方形的过程也是学生体会和应用长方形的过程，在教学中往往会忽略这样模块的教材安排，认为使得教学变得繁琐，所以用课件图片展示让学生想象来教学。在动手操作过程是让学生体会数学中初步建立空间几何观念不可缺少的重要成分，是不能被省略的。

“数”和“形”并不仅限于本论文中提到的，还有多种多样的形式存在，读懂教材合理运用“形”帮助“数”的转化和理解，使学生学会数学、感受数学，而不是会用数学。

（三）
把握问题关键，从学生角度出发引导作图 图4-1 针对上述问题概述中数形结合的渗透片面单一，主要用于理解抽象的概念、算法算理以及解决实际问题方面。在教师访谈当中作图是模象直观的其中一种方式，也是帮助学生解决实际问题中的一种重要手段。作图尤为是“数”与“形”的转化的难点，问题在于如何有效引导学生作图——抓住关键点。以小学数学（人教版）三年级上册“三位数乘一位数”中“笔算乘法”第七课时为例（如图4-1所示）。

这节课的难点在如何从学生角度看待问题，引导学生画出线段图。在前一节课已经有了作图的经验，这节课需要将图形转化成线段这样的方式来表示更加简洁明了。在这道问题当中，学生已经能够画图表示买6个6元的碗以及知道总价、单价、数量之间关系的经验，教师要把握“用这些钱”这一关键词，重点在引导学生画出与6个6元的碗一样长的线段。很多教师会反复强调“用这些钱”说明要画两条一样长的线段，但是学生会一知半解困惑于为什么是一样长的线段，容易把学生绕进题目当中去。因此，教师先提问 “用这些钱是指什么钱”，学生们探讨后追问“说明什么是不变的”。把握关键词后，提出关键的问题，学生受到启发明白总价是不变的，找出题目中所蕴含数量关系以及画出线段与数量关系一一对应，重点是总价相等的两条线段。

从学生已有的知识经验水平出发，看待数学问题时要把握关键信息，提出关键问题来启发学生作图。同样的在讲评练习时，教师也要有意识的培养学生动手作图，促进数形结合思想渗透。

（四）整理教材内容，建构整体认知 在师范教育中并没有针对数形结合的内容有一个完整的教学课程安排，入职后多数教师并未对此进行知识点的梳理。数形结合在师范教育中的学习不够全面，一线教师的在职培训课程的不足。因此需要在增加数形结合的教学内容在师范教育和在职培训课程，组织师范生观摩课堂实况以及及时做好记录和反思，一线教师开展以数形结合为主体的教研活动、创建相关内容的数学讨论组，为师范生进行相应的讲座等等活动。

师范生、一线教师在进行小学数学教学中如何应用数形结合研究前后，要对整个小学阶段的教材编排有一个相对完整的系统性的认识和梳理，保障数形结合在教学应用的前提。以下是以小学数学（人教版）三年级上册为例，数形结合思想知识分布表（如表所示4-1）：
表4-1 数形结合思想在小学数学（人教版）三年级上册知识分布表 知识领域 知识点 教材对应位置 具体分析 采用数形结合的类型 数与代数 时、分、秒 P3 通过观察时钟发现时、分、秒的规律 以形助数 毫米、分米的认识 P21 通过测量数学书认识新的测量单位——毫米 倍的认识 P51 引导学生操作，发现白萝卜是胡萝卜的5倍 倍的应用 P52 分析问题引导学生作图，来计算出象棋的价格是多少 多位数乘一位数 P57 借助小棒初步理解多位数乘一位数的算法和算理 分数的初步认识 P91、92 选择不同图形感受几分之一和几分之几的含义 多位数乘一位数的应用 P71、72 解读问题画出图形图、线段图，再列算式计算。

数形互助 分数的简单计算 P96 圆形与分数的相互转化理解分数加法的算法和算理 分数的简单应用 P101 分析题意画出图形列出式子计算出男女生各有多少人 图形与几何 长方形和正方形 P79 观察长方形和正方形发现他们的几何特点 以形助数 长方形和正方形的周长的应用 P86 通过画图可得出多种拼接成图形的可能性，从中分析得到拼成图形的最短周长 以形助数 长方形和正方形的周长 P85 计算得出长方形和正方形的周长发现它们的计算方法 以数解形 数学广角 集合 P104 依题画出集合图，引导学生分析图形列式解答 数形互助 以三年级上册为例，根据对数学材料的整理，“以形助数”的内容占据大多数。其中上好一堂数学课，选择的图形也是非常重要的。例如在教材中，分数的初步认识中认识几分之一和几分之几时分别选取的是一个圆形和一个彩带。圆是个特殊的图形，它有无数条对称轴，能够很好的通过对折一次两次甚至五六次都能很好地平均分这个圆，而彩带能让学生最直观的方式数清几分之几。因此在教学中选择最直观的图形能为教学起到事半功倍的作用。不仅仅是三年级，第一学段中根据具体教材的编排内容确定采用哪种数形结合的类型来进行整理教材。教师要对教材内容有一个相对全面系统的认识，设计数形结合思想的教学实施进程。

五、结论与局限 （一）结论 通过研究调查和对教材内容分析，结合相关文献分析，对数形结合在小学数学教学应用的研究，发现一些问题并提出相对应的策略如下。

一是教师地位容易被忽略，重视对师范生和一线教师的在职培训课程对专业素养和数形结合内容的增加。数形结合在小学数学教学中应用中是以教师为主导，学生为主体开展教学活动。在大多数文献中提及到的教学都是数形结合的形式或者是如何在教学中应用，往往忽略了教师自身在教学过程的作用。除了教学中如何应用数形结合，教师最应该先提升自身对数形结合的认识和专业素养，才会有意识地对学生进行数形结合思想的渗透和培养。能够有效利用数形结合使得问题简单化、直观化成为学生学习的垫脚石，而不是为了按照教材设计进行运用教学成为绊脚石。

二是数形结合重视程度有待提高，整理分析教材建构整体认知，完善教学体系。在整个小学数学教学过程中，无论是教师教还是学生学都离不开数形结合。整个教学领域中，对数形结合相关研究较少，尤其是针对小学数学阶段的研究缺少深入探究，说明不够重视数形结合思想在小学数学当中的应用，对该思想的认识也不够全面和透彻。而且教师在教学中会运用数形结合往往不够，缺乏对数形结合正确有效的利用会导致课堂变得拖沓复杂。教师对数形结合思想的意识有待提高，不是为了解决问题需要用到数形结合才使用这种思想方法，而是联系实际将这一思想渗透于学习、生活的各个方面。

三是从学生角度出发，有效运用直观方式，把握数形结合促进教学。数形结合呈现的方式多种多样，例如在解决问题过程中需要将问题中的数值转化成图形，又或者是在概念课中借助实物来理解数的含义等等。教师应合理有效运用数形结合帮助学生理解抽象的数学概念，体会数学意义，注重过程和结果。第一学段的数学并不会难，学生学起来比较有成就感。课堂如果变得单一抽象，会让学生产生厌烦的情绪。积极调动课堂，让学生在探究活动过程当中加深对知识点的印象和体会，真正做到学数学、懂数学、用数学，以此激发学生对数学学习的兴趣和热情。

（二）局限 本文对数形结合在小学数学教学中应用做了初步研究，由于研究水平有限对研究的深度和广度都不够，致使本研究还存在一些有待深入研究的问题：
首先，本次采访的对象是一、二、三、五年级的在职数学教师，这并不能代表整个教师水平。针对不同学历背景、不同教龄、不同年级的教师对数形结合的看法存在差异，有待进一步加大研究的范围。

其次， 本研究主要从教师角度进行探究，缺少从学生角度切入看待数形结合。针对学生对数形结合的认知、学习、运用的情况存在差异，有待学生对数形结合进行相关研究。

最后，数形结合在小学数学教学中应用的研究时间有限，缺少一个长期实践、观察、研究的结果，来对本研究进行检验和修正。

总之，数形结合的研究有待经过时间不断修正和验证的过程，它运用在数学学习的方方面面当中。有效的利用数形结合能使得学习达到事半功倍的效果，最重要的是学习数学不仅仅是要教会学生会用数学，而是体会和理解数学，让学生感受数学的神奇和乐趣促进学习的兴趣。

参 考 文 献 一.著作 [1] Natalia Marmasse, Aggelos Bletsas, Stefan Marti. Numerical Mechanisms and Children’s Concept of Numbers. http://alumni.media.mit.edu/~stefanm/society/som_final.html，2000 二.期刊论文 [1]王友莲.“数形结合”思想在小学数学教学中的应用分析[J].中国校外教育,2018(33):86-87. [2]王海中.数形结合思想在小学数学教学中的实践运用研究[J].课程教育研究,2019(44):43-44. [3]石江山.小学数学教学中数形结合思想的渗透研究[J].课程教育研究,2019(45):160. [4]江忠.巧用数形结合 优化小学数学教学[J].教育与教学研究,2018,32(01):101-106+127. [5]谷淑萍.数形结合在小学数学教学中的运用[J].中国校外教育,2019(31):48-49 [6]汪渭芳.“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J].小学教学参考,2010(17):30-31. [7]宋英海.数形结合思想在初中数学解题中的应用[J].山西师范大学学报(自然科学版),2015,29(S1):16-17. [8]张冬梅.数形结合思想在小学数学教学中的体现[J].课程教育研究,2019(52):28. [9]张英.数形结合思想在小学数学教学中的渗透研究[J].中国农村教育,2019(32):113. [10]林丽华.关于小学数学教学中数形结合思想的渗透分析[J].课程教育研究,2019(48):33. [11]林丽萍.“数形结合”思想在小学低段数学教学中的运用[J].西部素质教育,2017,3(02):199-200. [12]罗增儒，李文铭.数学教学论[M].西安:陕西师范大学,2003.224 [13]徐斌艳.数学教育展望[M].上海：华东师范大学出版社,2011. [14]雷正风.数形结合思想在小学数学教学中的应用策略[J].名师在线,2019(32):62-63. 三.学位论文 [1]汤波. 数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用研究[D].南京师范大学,2018. [2]胡颖. 数形结合在小学第二学段教学中的运用研究[D].江苏大学,2019. 附录 教师访谈记录：
1. 您认为“数形结合”在小学重要吗？ W教师：非常重要。

X教师：重要。

Y教师：重要的。

Z教师：重要。

2. 上课时您会使用“数形结合”进行教学吗？哪种课型运用较多呢？ W教师：会使用，特别是在计算教学中都会有效利用。

X教师：
会的。抽象课，如概念课，在解决实际问题也会用。

Y教师：由于我长期在低年级，低年级的孩子在学习数学，就要将复杂问题简单化，都需要数形结合。低年级的计算课和解决问题常常用到数形结合。

Z教师：会的。新课、练习课、复习课。

3. 在备课时您会将“数形结合”写进教学目标吗？ W教师：会把“数形结合”作为一种数学思想来培养学生进行学习。

X教师：会。

Y教师：有的时候会。

Z教师：不经常。

4. 您是否梳理过教材中蕴含数形结合思想方法的知识点？ W教师：目前还未梳理。

X教师：没有。

Z教师：是的。

5. 您觉得在教学中运用“数形结合”存在哪些问题呢？ W教师：学生在应用“数形结合”解题时，经常由于画图不规范导致解题失误。选择图形的不同，会引起解题难度的差异。

X教师：
学生独立画图难 Y教师：数形结合实质是将抽象和直观图形相结合，实际教学中数和形之间的相互转化对于低年级孩子来说较难。

Z教师：学生不愿动手根据题意画出图示来帮助理解题意进行解题，部分学生也存在无法正确理解图示所表达的意思。

6. 今后的教学中，您会如何运用“数形结合”帮助教学？ W教师：通过有效选择图形直接看出题目的本质，将抽象问题转化为具体图形来帮助学生理解知识，掌握知识，消化知识。

X教师：要站在学生的角度想如何能画出图形帮助理解与思考问题 Y教师：加强自身学习，引导孩子对数和形之间的转化 Z教师：在日常教学过程中让学生养成勤于动手，热于画图的良好习惯来帮助解题。培养学生看懂图示中存在的数量关系，可以实现图示和文字间的转化从而进行解题。

6. 在进行师范教育时是否有学习数形结合应用的课程？如果有，课程安排的多吗？ W教师：有数形结合课并且每周都有安排课时。

X教师：有相关课程，多。

Y教师：有，对于数形结合有上过几个课时的内容。

Z教师：有进行数形结合相关课程，每周都有安排课程 7. 目前教师在职培训的课程中，是否需要增加数形结合运用的教育内容？ W教师：建议可以适当增加 X教师：需要。

Y教师：需要增加一些。

Z教师：需要的。