2020年上海市中考数学试题（含答案解析）

2020年上海市中考数学试卷 （共25题，满分150分）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D． 2．用换元法解方程2时，若设y，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0 3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（　　）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y B．y C．y D．y 5．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：2a•3ab＝　 　． 8．已知f（x），那么f（3）的值是　 　． 9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　 　． 11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　 　． 12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　． 13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　 　． 14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为　 　米． 15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设，，那么向量用向量、表示为　 　． 16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　 　米． 17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为　 　． 18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　 　． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（）﹣2+|3|． 20．（10分）解不等式组：
21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3． （1）求梯形ABCD的面积；

（2）联结BD，求∠DBC的正切值． 22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH；

（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A． （1）求线段AB的长；

（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 2020年上海市中考数学试卷答案解析 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D． 【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

B.，与不是同类二次根式；

C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；

D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 2．用换元法解方程2时，若设y，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0 【解答】解：把y代入原方程得：y2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0． 故选：A． 3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（　　）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选：B． 4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y B．y C．y D．y 【解答】解：设反比例函数解析式为y， 将（2，﹣4）代入，得：﹣4， 解得k＝﹣8， 所以这个反比例函数解析式为y， 故选：D． 5．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；

C、正确；

D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；

故选：C． 6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF． ∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合， ∴平行四边形ABCD是平移重合图形， 故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：2a•3ab＝　6a2b　． 【解答】解：2a•3ab＝6a2b． 故答案为：6a2b． 8．已知f（x），那么f（3）的值是　1　． 【解答】解：∵f（x）， ∴f（3）1， 故答案为：1． 9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小， 故答案为：减小． 10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　4　． 【解答】解：依题意， ∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4， 故答案为：4． 11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　　． 【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10， ∴取到的数恰好是5的倍数的概率是． 故答案为：． 12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　y＝x2+3　． 【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3． 故答案为：y＝x2+3． 13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　3150名　． 【解答】解：84003150（名）． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名． 故答案为：3150名． 14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为　7　米． 【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴BD∥AC， ∴△ACE∽△DBE， ∴， ∴， ∴AC＝7（米）， 答：井深AC为7米． 15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设，，那么向量用向量、表示为　2　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴2， 故答案为：2． 16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　350　米． 【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b， 将（8，960）、（20，1800）代入，得：
， 解得：， ∴s＝70t+400；

当t＝15时，s＝1450， 1800﹣1450＝350， ∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350． 17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为　　． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H． ∵BC＝7，CD＝3， ∴BD＝BC﹣CD＝4， ∵AB＝4＝BD，∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴ADB＝60°， ∴∠ADC＝∠ADE＝120°， ∴∠EDH＝60°， ∵EH⊥BC， ∴∠EHD＝90°， ∵DE＝DC＝3， ∴EH＝DE•sin60°， ∴E到直线BD的距离为， 故答案为． 18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　AO　． 【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， 如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE， 则OE⊥AD， ∴OE∥CD， ∴△AOE∽△ACD， ∴， ∴， ∴AO， 如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF， 则OF⊥BC， ∴OF∥AB， ∴△COF∽△CAB， ∴， ∴， ∴OC， ∴AO， ∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是AO， 故答案为：AO． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（）﹣2+|3|． 【解答】解：原式＝（33）2﹣4+3 ＝32﹣4+3 ＝0． 20．（10分）解不等式组：
【解答】解：， 解不等式①得x＞2， 解不等式②得x＜5． 故原不等式组的解集是2＜x＜5． 21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3． （1）求梯形ABCD的面积；

（2）联结BD，求∠DBC的正切值． 【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E， ∵AB∥DC，∠DAB＝90°， ∴∠D＝90°， ∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AD＝CE，AE＝CD＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝3， ∵BC＝3， ∴CE6， ∴梯形ABCD的面积（5+8）×6＝39；

（2）过C作CH⊥BD于H， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵∠CHD＝∠A＝90°， ∴△CDH∽△DBA， ∴， ∵BD10， ∴， ∴CH＝3， ∴BH6， ∴∠DBC的正切值． 22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350（1+x）2＝504， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH；

（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB， ∵DF＝BE， ∴△CDF≌CBE（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCE， ∵CD∥BH， ∴∠H＝∠DCF， ∴∠BCE＝∠H， ∵∠B＝∠B， ∴△BEC∽△BCH． （2）证明：∵BE2＝AB•AE， ∴， ∵AG∥BC， ∴， ∴， ∵DF＝BE，BC＝AB， ∴BE＝AG＝DF， 即AG＝DF． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A． （1）求线段AB的长；

（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 【解答】解：（1）针对于直线yx+5， 令x＝0，y＝5， ∴B（0，5）， 令y＝0，则x+5＝0， ∴x＝10， ∴A（10，0）， ∴AB5；

（2）设点C（m，m+5）， ∵B（0，5）， ∴BC|m|， ∵BC， ∴|m|， ∴m＝±2， ∵点C在线段AB上， ∴m＝2， ∴C（2，4）， 将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得， ∴， ∴抛物线yx2x；

（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0， ∴b＝﹣10a， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a， ∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a）， 将x＝5代入yx+5中，得y5+5， ∵顶点D位于△AOB内， ∴0＜﹣25a， ∴a＜0；

25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 【解答】（1）证明：连接OA． ∵AB＝AC， ∴， ∴OA⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAO， ∴∠BAC＝2∠BAD． （2）解：如图2中，延长AO交BC于H． ①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DBC＝2∠ABD， ∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°， ∴8∠ABD＝180°， ∴∠C＝3∠ABD＝67.5°． ②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD， ∴∠C＝4∠ABD， ∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°， ∴10∠ABD＝180°， ∴∠BCD＝4∠ABD＝72°． ③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在． 综上所述，∠C的值为67.5°或72°． （3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E． 则， ∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a， ∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2， ∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2， ∴a2， ∴BH， ∴BC＝2BH．