中考冲刺：创新、开放与探究型问题(提高)

中考冲刺：创新、开放与探究型问题(提高)
一、选择题
1. （2016•重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成．其中，第①个图形中一共有1个平行四边1.（2016•重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心圆圈的个数为（　　）
　　　　　　　　　
A．61　 　 B．63　 　 C．76　 　 D．78
2．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；
设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；
设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；
…；
设 Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（　　）
　
　　　　　
A．　　 B．　　 C． 　　D．　　　
3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是(　 )
A．495　　 B．497
C．501　　 D．503
二、填空题
4. （2015•合肥校级三模）如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个．
　　　　　　　　　　
（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是______个，最少是______个；

　　（2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是______个，最少是______个；

　　（3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是______个；
最少是______个．（n是正整数）
　　5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．
　　　　　　　　　　　　　　　
（1）使图①花圃面积为最大时R－r的值为____，以及此时花圃面积为____，其中R、r分别为大圆和小圆的半径
（2）若L＝160 m，r＝10 m，使图面积为最大时的θ值为______．
6．如图所示，已知△ABC的面积，
在图(a)中，若，则；

　　在图(b)中，若，则；

　　在图(c)，若，则．
…
按此规律，若，则________．
　　　　　　　　　
三、解答题
7．（2016•丹东模拟）已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；

　　（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；

　　（3）如图3，当点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断△ACF的形状，并说明理由．
　　　　　　　　　
8. 如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O．
　　　　　　　　　　　　
（1）①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；

　　②探究：
　　图(a)中，∠BOC＝________；

　　图(b)中，∠BOC＝________；

　　图(c)中，∠BOC＝________；

　　（2）如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；
AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．
①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；
(用含n的式子表示)
②根据图(d)证明你的猜想．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．
（1）试确定CP＝3时，点E的位置；

　　（2）若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；

　　（3）若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围
　　　　　　　　　　
10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．
（1）如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；

　　说明：
　　①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；

　　②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．
（2）如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．
　　　　　　　　　 答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题
1.【答案】A；

　　　【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1﹣3+1×0=1个；

　　　　　　　第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2﹣4+2×1=6个；

　　　　　　　第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3﹣5+3×2=13个；

　　　　　　　…
　　　　　∴第⑦个图形中空心圆圈的个数为：4×7﹣9+7×6=61个；

　　2.【答案】A；

　　　【解析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，ADn=，
　故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，
　故可得AP6=.
　故选A.
3.【答案】A；

　　　【解析】
　根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248…，从第2位数字起每隔四位数重复
　一次6248，因为(100-1)被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的所有数字之间和
　是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案选A．
二、填空题
4.【答案】（1）4；
10；
（2）5；
14；
（3）4n+2；
n+2．
　【解析】（1）一个5×2的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形；

　　　（2）一个7×2的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形；

　　　（3）第一个图形：是一个3×2的矩形，最少可分成1+2个正方形，最多可分成1×4+2个正方形；

　　　第二个图形：是一个5×2的矩形，最少可分成2+2个正方形，最多可分成2×4+2个正方形；

　　　第三个图形：是一个7×2的矩形，最少可分成3+2个正方形，最多可分成3×4+2个正方形；

　　　…
　第n个图形：是一个（2n+1）×2的矩形，最多可分成n×4+2=4n+2个正方形，最少可分成n+2个正方形．
　故答案为：（1）4；
10；
（2）5；
14；
（3）4n+2；
n+2．
5.【答案】（1）R－r的值为，以及此时花圃面积为；
　 （2）θ值为．
　【解析】
　要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大．
　设扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得：
　　　
　　，
　∴ 　　　
　∴ 
　　　 

　

　

　．
　∵ ，
　∴S在时取最大值为．
　∴花圃面积最大时R－r的值为，最大面积为．
　（2）∵当时，S取大值，
　　　 ∴ (m)，

　　(m)，
　　　 ∴ ．
6.【答案】．
　【解析】
　
　
　
　…
　
　
三、解答题
7.【答案与解析】
（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，
　　　　　∴∠BAD=∠CAE，
　　　　　在△ABD和△ACE中，
　　　　　，
　　　　　∴△ABD≌△ACE，
　　　　　∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
　　　　　∴∠ACB+∠ACE=90°
　　　　　∴∠ECB=90°，
　　　　　∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD．
　　（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：
　　　　　　　∵∠BAC=∠DAE=90°，
　　　　　∴∠BAD=∠CAE，
　　　　　在△ABD和△ACE中，
　　　　　，
　　　　　∴△ABD≌△ACE，
　　　　　∴BD=CE，
　　　　　∴CE=BC+CD．
　　（3）如图3中，结论：△ACF是等腰三角形．理由如下：
　　　　　　　∵∠BAC=∠DAE=90°，
　　　　　∴∠BAD=∠CAE，
　　　　　在△ABD和△ACE中，
　　　　　
　　　　　∴△ABD≌△ACE，
　　　　　∴∠ABD=∠ACE，
　　　　　∵∠ABC=∠ACB=45°，
　　　　　∴∠ACE=∠ABD=135°，
　　　　　∴∠DCE=90°，
　　　　　又∵点F是DE中点，
　　　　　∴AF=CF=DE，
　　　　　∴△ACF是等腰三角形．
8.【答案与解析】
（1）证法一：
　　
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE．

∴△ADC≌△ABE．
　　　　　　　　　　　　　　　

证法二：
　　
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，

且∠BAD＝∠CAE＝60°．

∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到．

∴△ABE≌△ADC．

②120°，90°，72°．
（2）①．

②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB＝AD，AE＝AC，

∴∠BAD＝∠CAE＝．

∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，

即∠BAE＝∠DAC．

∴△ABE≌△ADC．

∴∠ABE＝∠ADC．

∵∠ADC+∠ODA＝180°，

∴∠ABO+∠ODA＝180°．

∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．

∴∠BOC+∠DAB＝180°．

∴∠BOC＝180°－∠DAB＝．

证法二：延长BA交CO于F，证∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．

证法三：连接CE．证∠BOC＝180°－∠CAE．
9.【答案与解析】
解：
　　（1）作DF⊥BC，F为垂足．
　 　当CP＝3时，四边形ADFB是矩形，则CF＝3．
　 　∴点P与点F重合．
　 　又∵BF⊥FD，
　 　∴此时点E与点B重合．
（2）(i)当点P在BF上(不与B，F重合)时，(见图(a))
　 　∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，
　 　∴∠DPF＝∠PEB．
　 　∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．
　 　∴ ．　 ①
　 　又∵ BE＝y，BP＝12-x，FP＝x-3，FD＝a，代入①式，得
　 　∴ ，整理，
　 　得　 ②
　 　(ii)当点P在CF上（不与C，F重合）时，（见上图(b))同理可求得．
　 　由FP＝3-x得．
　 　∴ 
（3）解法一：
　　　 　当点E与A重合时，y＝EB＝a，此时点P在线段BF上．
　 　由②式得．
　 　整理得．　 ③
　 　∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，
　 　∴方程③有两个不相等的正实根．
　 　∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0．
　 　解得．
　 　又∵a＞0，
　 　∴ ．
　 　解法二：
　　　 　当点E与A重合时，
　 　∵∠APD＝90°，
　 　∴点P在以AD为直径的圆上．设圆心为M，则M为AD的中点．
　 　∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，
　 　∴线段BC与⊙M相交．即圆心M到BC的距离d满足．　 ④
　 　又∵AD∥BC，
　 　∴d＝a．
　 　∴由④式得．
10.【答案与解析】
解：
　　（1）EF＝EB．
　　 证明：如图(d)，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．
　　　　　∵BC＝k·AB，k＝1，
　　　　　∴BC＝AB．
　　　　　∴∠CAB＝∠ACB．
　　　　　∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．
　　　　　∴∠MAC＝∠CAB．
　　　　　∴∠CAB＝∠EMA．
　　　　　∵∠BEF＝∠ABC，
　　　　　∴∠BEF＝∠FAB．
　　　　　∵∠AHF＝∠EHB，
　　　　　∴∠AFE＝∠ABE．
　　　　　∴△AEB≌△MEF．
　　　　　∴EF＝EB．
　　　　　探索思路：如上图(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，
　　　　　∴BC＝AB．
　　　　　∴∠CAB＝∠ACB．
　　　　　∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．
　　　　　添加条件：∠ABC＝90°．
　　　　　　　　　　　　　　
　　 证明：如图(e)，在直线m上截取AM＝AB，连接ME．
　　　　　∵ BC＝k·AB，k＝1，
　　　　　∴ BC＝AB．
　　　　　∵ ∠ABC＝90°，
　　　　　∴ ∠CAB＝∠ACB＝45°．
　　　　　∵ m∥n，
　　　　　∴ ∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．
　　　　　∵ AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．
　　　　　∴ EM＝EB，∠AME＝∠ABE．
　　　　　∵ ∠BEF＝∠ABC＝90°，
　　　　　∴ ∠FAB+∠BEF＝180°．
　　　　　又∵ ∠ABE+∠EFA＝180°，
　　　　　∴ ∠EMF＝∠EFA．
　　　　　∴ EM＝EF．
　　　　　∴ EF＝EB．
（2）EF＝EB．

说明：如图(f)，过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N．

∴ ∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．

∵ m∥n，∠ABC＝90°，

∴ ∠MAB＝90°．

∴ 四边形MENA为矩形．

∴ ME＝NA，∠MEN＝90°．

∵∠BEF＝∠ABC＝90°．

∴∠MEF＝∠NEB．

∴△MEF∽△NEB．

∴ ，

∴

∴ 在Rt△ANE和Rt△ABC中，

，

∴ ．