初中数学课程教学数形结合思想运用探讨

山东省日照市五莲县第二中学 郑世英

现阶段的初中数学教学不仅要重视基础知识的讲解，还要为培养学生的思维能力、实践能力做好准备。传统的知识“填鸭式”教学无法满足现阶段教学需求，将数学思想渗透进课程教学势在必行。初中数学教师应意识到课堂教学渗透数形结合思想的理论、现实意义，把握当下实际教学需求，优化课堂教学结构、教学内容，使学生学会用数学思想解决复杂问题。

“数”与“形”既是数学研究的重点对象，也是数学学科的基本构成要素。具体来说，数形结合思想将抽象的“数”与具象的“形”结合，使位置关系、几何图形与函数方程、数学公式联系起来，通过整合抽象、具象内容简化问题，使问题的解决途径更加简单。

数形结合思想在初中数学教学中的具体应用价值如下。第一，可以培养学生数学学科的学习兴趣。第二，可以加深学生对数学概念的认知。第三，可以加速学生思维能力的发展。

（一）数形结合进行新知导入，激发学生学习兴趣

教师在课堂教学导入时创设数形结合情境，让学生结合几何模型、数学符号、公式等内容解决情境问题，体会成功的乐趣，激发数学学习兴趣。

比如，在人教版七年级数学上册《正数和负数》一课的教学中，教师创设情境：“天气预报2022年2月某日北方某城市最低气温为-2℃，最高气温为4℃，你知道这两个数字的确切含义是什么？这一天这个城市的温差是多少？”以生活中常见的气温问题作为教学切入点，引发学生对数学问题的兴趣。为减轻学生的答题压力，教师使用多媒体课件展示数轴（见图1），用直观的数轴帮助其计算温差问题。这样学生可以通过“数格子”的方式计算最低气温与最高气温之间的温差，得出的答案。以情境问题、数轴图片内容为基础，教师引入正数、负数的概念及简单运算教学内容，让学生主动对课程内容进行探索，提高新知教学效率。

图1 数轴

（二）数形结合展开概念教学，提升学生抽象能力

将数形结合思想应用于概念教学，通过展示数学模型、展示演化过程等方式将抽象的概念转化为可被观察到的形的变化，降低规律总结、本质探究的难度，逐步提升学生的抽象能力。

比如，在人教版七年级数学上册《整式》一课的教学中，教师先提出问题：“某正方体棱长为a，它的表面积是多少？体积是多少？”“一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是多少？”这些问题不含有具体的数字，具有一定的抽象性，学生在理解问题、解决问题时遇到难题。教师使用多媒体展示具体的正方体、长方体模型，让学生将题目中给出信息标注在几何模型上，使其在标记数字时得出问题答案：“棱长为a的正方体表面积为6a2，体积为a3。”“长和宽为a，高为h的长方体体积为a2h。”教师进行追问：“这些式子有什么特征？”“它们的因数分别是什么？”让学生根据几何模型、具体公式总结特征，顺利引入单项式这一概念，有效培养学生的符号意识与抽象思维能力。

（三）数形结合展开习题教学，提升学生运算能力

1．以数化形解决图形问题，提升几何运算能力

初中数学几何习题较为抽象，直接计算具有一定难度。在进行几何习题教学时，教师可以渗透以数化形思想，先简略介绍该思想内容，再示范该思想的具体应用方法，以此强化学生认知，提高其解决几何问题的能力。落实到具体教学环节，教师需要在课堂上展示有关例题，通过详解数学例题剖析数形结合思想的应用意义，加深学生对以数化形思想的认识，使其掌握轻松解决几何问题的技巧。

比如，在人教版七年级数学下册《平行线及其判定》一课的教学中，为了让学生掌握有效判定平行线的方法，教师在习题课上引入例题：如图2所示，已知∠3＝45°，若∠1与∠2互余，那么AB∥CD吗？在学生掌握问题大致信息后，教师演示该问题的解决方法：“已知∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠2，可以得出∠1＝∠2＝45°；
又因为∠3＝45°，可以判断出∠2＝∠3，根据平行定理‘内错角相等，两直线平行’的理论可以证明AB∥CD。”将毫无头绪的几何问题转化为角度计算、角度对比的代数问题，简化几何证明步骤。在学生初步理解以数化形思想后，教师提出相似问题进行巩固练习：如图3所示，已知∠3＝45°，若∠1与∠2互余，试说明AB∥CD。让学生模仿教师运用以数化形的方式解决平行线判定问题，加速其内化数形结合思想。

图2

图3

2．以形变数解决函数问题，提升代数运算能力

以形变数是数形结合思想的分支思想之一，其主要作用是简化复杂代数问题，加深学生对代数关系的认知。图形能直截了当地表示出信息变化情况，帮助学生快速解决问题。教师可在数学代数习题教学中渗透这一思想，并为学生演示如何应用以形变数思想解决复杂代数问题。通过渗透思想拓宽学生的代数学习视野，使其能从多角度思考抽象的代数问题，从而提升其运算能力。

比如，在人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》一课的习题教学中，针对典型的利润问题，教师展开讲解：商店中某商品当前售价为60元，每月可出售300件。研究发现，该商品每涨价1元，每月销售额减少10；
每降价1元，每月销售额增加20。该商品的进价为40元，如何设置价格才能使利润最大化？结合题目信息、二次函数特征，教师绘制简单图象（见图4），同时提出具体问题：①销售额、进货额是多少？②利润y与价格变化x元有怎样的函数关系？③变量x的范围是什么？最值如何求？带领学生从以形变数的角度出发探究函数y＝（60＋x）（300-10x）-40（300-10x），让学生理解函数图象最高点对求解最值问题的意义。紧接着，教师再出示同类型例题，让学生使用以形变数思想求解最值，使其学会如何求解抽象代数问题，加深其对数形结合思想的认知。

图4

（四）数形结合展开实践教学，增强学生应用意识

信息技术的不断发展使教学思想、教学模式、教学方法得到了创新，学生获取课外数学知识的渠道不断拓宽。现阶段，数形结合思想的应用不局限于概念、习题教学，还可被应用于实践教学。教师根据新课标的教学要求、教学大纲、教科书内容设置实践教学活动，充分尊重学生的学习主体性，使其在活动中独立应用数形结合思想解决数学应用问题，以此锻炼学生的数学应用能力。

比如，在人教版九年级数学上册《用列举法求概率》一课的教学中，教师组织“抽奖”实践活动：将一个转盘分为八个相同的扇形，其中四个扇形是红色、三个是黄色、一个是绿色，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止。指针指向绿色中一等奖，指向黄色中二等奖，指向红色中三等奖。活动中，学生按照提示内容绘制圆盘，同时结合列举法求出中奖的概率：①一等奖，即指针指向绿色的概率为②二等奖，即指针指向黄色的概率为③三等奖，即指针指向红色的概率为活动中，学生结合具体图象、数学模型解决实践问题，不仅理解了列举法的含义及应用方式，还加深了学生对数形结合思想的认识，应用能力大幅提高。

综上所述，数形结合思想是数学思想的重要构成之一，在课堂教学过程中渗透这一思想，对提升学生的数学素养有着重要意义。教师应结合初中数学新知导入、概念教学、习题教学、实践教学的具体教学情况，以科学的方式方法渗透数形结合思想，使学生掌握以形助数、以数解形、数形转化、数形结合的思想应用技巧，促进其综合能力的长远发展。