对电磁感应题设条件“自洽性”的深度讨论

戎 杰 金天哲 胡科杰

(浙江省慈溪中学 浙江 宁波 315300)

在新课改背景下，从“浅层教学”过渡到“深度教学”是大势所趋．在教学过程中，以教师指导为基础，学生对相关信息进行加工处理，通过对问题积极而富有创新性的思考和探索，完成对知识的理解和迁移，可以推动高阶物理思维的形成．

复杂的变加速运动模型是高中物理的难点，在电磁感应问题中常有典型．对于此类问题，由于大多数学生不具备微积分等数学知识，教师常常对过程分析“避而远之”，转而引导学生抓住始末状态，“淡化”中间过程，熟练掌握动能定理、动量定理等方法来解决相关问题．这在一定程度上变相“引导”学生忽视对物理过程的严谨分析和深入思考，久而久之产生“过程不清晰也不妨碍做题”的错觉，不利于学生科学思维的培养和学科核心素养的形成．由于“回避”中间过程的讨论，教师在命题时也容易出现题设条件“不自洽”的情况．笔者以浙江省绍兴市柯桥区某高三物理模拟考第22题为例做简要阐述．原题如下.

【例题】平行光滑的金属导轨AB和CD相距为d=1 m，导轨平面与水平面的夹角θ=37°，其上端接一阻值为3 Ω的灯泡，在EF和GH间存在与导轨平面垂直的匀强磁场B0，磁场区域宽度为L=1 m，质量ma=0.2 kg，电阻Ra=3 Ω的导体棒a与质量mb=0.2 kg，电阻Rb=6 Ω的导体棒b通过一根长L0=4 m的轻绳(不可伸长)相连，现将b棒放置于磁场上边界EF处并锁定，并将a棒放置于GH处，如图1所示．在t=0时刻开关S断开，并静止释放a棒，磁场B0随时间t所示变化，如图2所示．当磁感应强度B0达到Bm时开关S闭合，并解除b棒锁定．不计导轨的电阻，不计两棒之间的相互作用，g=10 m/s2，求:

图1 例题题图

图2 磁感应强度B0变化规律

(1)在0～t0时间内，流过导体棒a的电流方向及大小；

(2)当绳绷紧的一瞬间(绷紧时间极短)，b棒获得的速度；

(3)已知b棒在穿越磁场的过程中产生的热量为0.8 J,试求b棒穿过磁场的时间．

分析：

(2)第(2)小题，根据匀加速运动公式，结合绷紧瞬间双棒系统动量守恒，列式可得b棒在绳子绷紧瞬间速度为3 m/s．(前2小题求解过程不再赘述)

(3)第(3)小题，参考答案给出如下求解过程谈.

当b棒穿越磁场过程中，a棒在磁场外，b棒作为电源，ab双棒为“并联”状态，故电路总电阻

因b棒发热量为0.8 J，故电路总发热量

从b棒绷紧瞬间至b棒出磁场过程中，对ab棒系统运用动能定理

(ma+mb)gLsinθ-W克安=

(1)

W克安=Q总=1 J

(2)

v2=3 m/s

(3)

联立式(1)～(3)可得

vt=4 m/s

对a棒和b棒系统(以下简称ab棒)运用动量定理

(ma+mb)gtsinθ-F安t= (ma+mb)(vt-v2)

(4)

(5)

联立式(4)和(5)得

笔者思考：b棒在穿越磁场的过程中，经历了怎样的运动过程？速度随时间如何变化？如果运动过程是确定的，产生的焦耳热也必然是确定的．那么确实是0.8 J吗？心存这3个疑惑，笔者从定性和定量两个角度重新梳理了第(3)小题的分析思路．

1)定性分析

当ab棒之间的绳子绷紧后，a棒和b棒达到共速．若把b棒进入磁场的时刻记为t=0，则v0=3 m/s．此后，ab棒作为整体沿斜面向下运动．当b棒速度为v时，b棒受到安培力

代入数据得

而

显然，在初始时刻(v0=3 m/s)时，导体棒受到的安培力F安0>(ma+mb)gsinθ，即ab棒向下做减速运动，由于速度和安培力的变化，所以导体棒做变减速运动．

2)定量探究

根据牛顿第二定律

(6)

式(6)经化简得

(7)

求解式(7)得

(8)

由式(8)得ab棒整体的速度满足

(9)

用Matlab软件作出导体棒的v-t图像和v-x图像(图3和图4)，不难发现：导体棒ab的最终速度v趋向于0.5 m/s，但速度v达到0.5 m/s需经历的时间t→+∞．这意味着，在有限的时间内，ab棒“极近稳态”而最终无法真正达到“稳态”，更不可能达到参考答案中所描述的速度v=4 m/s．

图3 导体棒ab速度随时间变化规律

图4 导体棒ab速度随位移变化规律

那么b棒在磁场中需运动多少距离，速度才能趋近于0.5 m/s？题目描述的磁场宽度L=1 m是否足够让b棒趋近于这个速度？因此有必要进一步探究b棒位移与速度关系．根据式(6)，变形得

(10)

化简得

(11)

(12)

求解式(12)，可得b棒的位移速度关系

(13)

此方程为超越方程．利用计算机求解后发现：当b棒速度v比0.5 m/s大1%，即v=0.505 m/s，这之前b棒通过的位移x=0.466 9 m，还不到磁场宽度的一半.进一步分析可以发现，当x=1时，v=0.500 000 014 m/s，这个速度已经无限逼近0.5 m/s．可以认为，当b棒离开磁场时，速度已达到v=0.5 m/s．结合速度时间关系式(9)，可求得b棒通过磁场区域的时间

根据动能定理

(14)

代入

v≈0.5 m/sv0=3 m/s

可求得

W克安=Q总≈4.15 J

综合上述分析，笔者认为题目第(3)小题题干中所给的焦耳热数据是错误的，与实际的运动情境“不自洽”．

在上述“不自洽”问题严谨分析的基础上，还可总结得到更加一般的规律．

一般模型：如图5所示，水平导轨位于匀强磁场中，磁感应强度为B，导轨宽度为l，导轨右侧接入电阻R，质量为m的导体棒置于导轨上(不计内阻)，在恒力F作用下，从t=0时刻开始，以初速度v0沿导轨水平向右运动．需经过多长时间导体棒速度变为v？此过程中导体棒的位移是多少？

图5 一般模型图

分析：当导体棒速度为v时，受到安培力

方向水平向左.

加速度

(15)

令

式(15)可简化为模型

(16)

求解得

(17)

若F=0，则b=0.

式(17)化简得

(18)

若要求导体棒位移，由式(16)变形得

(19)

(20)

求解得

(21)

若F=0，则b=0.

由式(21)得

代入k值，得

(22)

而根据动量定理

(23)

可以发现：由微分方程推导得到的式(22)和由动量定理推导得到的式(23)，在数学结果上“不谋而合”，说明两种方法在本质上是等价的．从上述例题的分析不难发现，题设条件一旦给定磁感应强度B、导体棒质量m、电阻R、切割长度l、初速度v0、位移x这6个物理量，运动时间t和末速度v随即唯一确定，因此过程中产生的焦耳热也唯一确定，教师在命题时不能随便给出焦耳热的数据，这也是上述例题题设条件“不自洽”的根本原因.

进一步研究发现，在磁感应强度B、导体棒质量m、电阻R、切割长度l、初速度v0、末速度v、位移x，运动时间t这8个物理量中，只要其中任意6个量已知，其余2个量即唯一确定．

作为教师，在命题的时候要“站得高、看得远”，切忌同时给出7个物理量作为已知条件，防止第7个量与其余6个量出现不自洽，犯“自相矛盾”的错误，在此与同行共勉．