2021全国高中数学竞赛专题-三角函数

全国高中数学竞赛专题-三角函数 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取 一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x , 正切函数tan α= x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1 ；

商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ；

乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；

平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ??? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。

单调区间：在区间?? ? ?? ?+ - 22,2 2πππ πk k 上为增函数，在区间?? ? ?? ?++ πππ π232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π 时, y 取最小值-1，值域为[-1，1]。

对称性：直线x =k π+ 2 π 均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。

单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。

最小正周期：2π。

奇偶性：偶函数。

有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；
当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。

对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ? ?+ 0,2π πk 均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2 π )上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2 π ，0）均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β, s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1() tan (tan βαβα ± 两角和与差的变式：2222 sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+- 2222 cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+- 三角和的正切公式：tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγ αβγαββγγα ++-++= --- 定理7 和差化积与积化和差公式: s in α+s in β=2s in ??? ??+2βαco s ??? ??-2βα, s in α-s in β=2s in ??? ??+2βαco s ??? ??-2βα, co s α+co s β=2co s ??? ??+2βαco s ??? ??-2βα, co s α-co s β=-2s in ??? ??+2βαs in ??? ??-2βα, s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)], co s αs in β=21 [s in (α+β)-s in (α-β)], co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)], s in αs in β=-2 1 [co s(α+β)-co s(α-β)]. 定理8 二倍角公式：s in 2α=2s in αco s α, co s2α=co s 2α-s in 2α=2co s 2α-1=1-2s in 2α, tan 2α= .) tan 1(tan 22αα - 三倍角公式及变式：3 sin 33sin 4sin ααα=-，3 cos34cos 3cos ααα=- 1s i n (60)s i n s i n (60)s i n 34α ααα-+=，1 cos(60)cos cos(60)cos34 αααα-+= 定理9 半角公式: s in 2α=2)cos 1(α-±, co s 2 α =2)cos 1(α+±, tan 2α=)cos 1() cos 1(αα+-±= .sin )cos 1() cos 1(sin αααα-=+ 定理10 万能公式: ? ? ? ??+? ?? ??= 2tan 12tan 2sin 2ααα, ??? ??+??? ??-=2tan 12tan 1cos 22ααα,.2tan 12tan 2tan 2??? ??-??? ??=ααα 定理11 辅助角公式：如果a , b 是实数且a 2+b 2≠0，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a , b )的一个角为β， 则s in β=22b a b +,co s β=2 2b a a +，对任意的角α.a s in α+bco s α=)(22b a +s in (α+β). 定理12 正弦定理：在任意△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===， 其中a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC 中有a 2=b 2+c 2-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边。

定理14 射影定理：在任意△ABC 中有cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+ 定理15 欧拉定理：在任意△ABC 中，2 2 2OI R Rr =-，其中O,I 分别为△ABC 的外心和内心。

定理16 面积公式：在任意△ABC 中，外接圆半径为R,内切圆半径为r ，半周长2 a b c p ++= 则211sin 2sin sin sin (sin sin sin )224a abc S ah ab C rp R A B C rR A B C R = =====++ 222 1)(c o t c o t c o t )4 c a A b B c C ==++ 定理17 与△ABC 三个内角有关的公式：
（1）sin sin sin 4cos cos cos ;222 A B C A B C ++= （2）cos cos cos 14sin sin sin ;222 A B C A B C ++=+ （3）tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C ++= （4）tan tan tan tan tan tan 1;222222 A B B C C A ++= （5）cot cot cot cot cot cot 1;A B B C C A ++= （6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin .A B C A B C ++= 定理18 图象之间的关系：y =s inx 的图象经上下平移得y =s inx +k 的图象；
经左右平移得y =s in (x +?)的图象（相位 变换）；
纵坐标不变，横坐标变为原来的 ω 1 ，得到y =s in x ω(0>ω)的图象（周期变换）；
横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；
y =A s in (ωx +?)(ω>0)的图象（周期变换）；
横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；
y =A s in (ωx +?)(ω, ?>0)(|A | 叫作振幅)的图象向右平移ω ? 个单位得到y =A s in ωx 的图象。

定义4 函数y =s inx ???? ? ???????-∈2,2ππx 的反函数叫反正弦函数，记作y =a r c s inx (x ∈[-1, 1])， 函数y =co s x (x ∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y =a r cco s x (x ∈[-1, 1]). 函数y =tanx ? ?? ? ????????- ∈2,2ππx 的反函数叫反正切函数。记作y =a r ctanx (x ∈[-∞, +∞]). 函数y =co t x (x ∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y =a r ccotx (x ∈[-∞, +∞]). 定理19 三角方程的解集，如果a ∈(-1,1)，方程s inx =a 的解集是{x |x =n π+(-1)n a r c s ina , n ∈Z }。

方程co s x =a 的解集是{x |x =2kx ±a r cco s a , k ∈Z }. 如果a ∈R ，方程tanx =a 的解集是{x |x =k π+a r ctana , k ∈Z }。

恒等式：a r c s ina +a r cco s a = 2π；
a r ctana +a r ccota =2 π. 定理20 若干有用的不等式：
（1）若??? ? ?∈2, 0πx ，则s inx （2）函数sin x y x =在(0,)π上为减函数；
函数tan x y x =在(0,)2 π 上为增函数。

（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z ∈R ， 有2 2 2 2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++≥++ 等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC. 二、方法与例题 1．结合图象解题。

例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。

【解】 若?? ? ? ??∈ππ,2x ，则-1所以s in (co s x ) ≤0,又02x π? ? ∈ ?? ? ，则因为s inx +co s x =2s in (x + 4π)≤2π， 所以co s(s inx )>co s( 2 π -co s x )=s in (co s x ). 综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )3．最小正周期的确定。

例3 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。

【解】 因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x, 所以T =2π是函数的周期；

4．三角最值问题。

例4 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。

【解法一】 令s inx =??? ??≤≤= +ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2π(k ∈Z )时，y m in =0，当4πθ=，即x =2k π+2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 【解法二】 因为y =s inx +)cos 1(sin 2cos 1222 x x x ++≤ +=2（因为(a +b )2≤2(a 2+b 2)）， 且|s inx|≤1≤x 2cos 1+，所以0≤s inx +x 2cos 1+≤2， 所以当x 2cos 1+=s inx ，即x =2k π+2 π (k ∈Z )时, y m ax =2， 当x 2cos 1+=-s inx ，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时, y m in =0。

5．换元法的使用。

例5 求x x x x y cos sin 1cos sin ++= 的值域。

【解】 设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222π+=??? ? ??+x x x 因为,1)4 sin(1≤+ ≤-π x 所以.22≤≤-t 又因为t 2 =1+2s inxco s x ,所以s inxco s x =212-t ，所以2 1121 2-=+-=t t x y ，所以 .212212-≤≤--y 因为t ≠-1，所以121-≠-t ，所以y ≠-1.所以函数值域为.212,11,212?? ? ??--???????-+-∈ y 6．图象变换：y =s inx (x ∈R )与y =A s in (ωx +?)(A , ω, ?>0). 例6 已知f (x )=s in (ωx +?)(ω>0, 0≤?≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点??? ??0,43πM 对称，且在区间?? ? ???2,0π上是单调函数，求?和ω的值。

【解】 由f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，所以s in (ωx+?)=s in (-ωx +?)， 所以co s ?s inx =0，对任意x ∈R 成立。又0≤?≤π，解得?=2 π ， 因为f (x )图象关于?? ? ??0,43πM 对称，所以)43()43(x f x f ++-ππ=0。

取x =0，得)4 3(πf =0，所以sin .024 3=??? ??+πωπ 所以243ππωπ+=k (k ∈Z )，即ω=32(2k +1) (k ∈Z ). 又ω>0，取k =0时，此时f (x )=sin (2x + 2π)在[0，2 π ]上是减函数；

取k =1时，ω=2，此时f (x )=sin (2x +2π)在[0，2 π ]上是减函数；

取k =2时，ω≥310，此时f (x )=sin (ωx +2π)在[0，2 π ]上不是单调函数， 综上，ω=3 2 或2。

7．三角公式的应用。

例7 已知sin (α-β)= 135，sin (α+β)=- 135，且α-β∈??? ??ππ,2，α+β∈?? ? ??ππ2,23，求sin 2α,cos 2β的值。

【解】 因为α-β∈?? ? ??ππ,2，所以cos (α-β)=-.1312)(sin 12 -=--βα 又因为α+β∈?? ? ??ππ2,23，所以cos (α+β)=.1312)(sin 12=+-βα 所以sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin (α+β)cos (α-β)+cos (α+β)sin (α-β)=169 120 , cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos (α+β)cos (α-β)+sin (α+β)sin (α-β)=-1. 例8 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且B C A cos 2cos 1cos 1-=+，试求2 cos C A -的值。

【解】 因为A =1200-C ，所以cos 2 C A -=cos (600-C )， 又由于) 120cos(cos cos )120cos(cos 1)120cos(1cos 1cos 10 00C C C C C C C A -+-=+-=+ = 222 1)2120cos() 60cos(2)]2120cos(120[cos 21)60cos(60cos 2000000-=---=-+-C C C C ， 所以232 cos 22cos 242--+-C A C A =0。解得222cos =-C A 或8232cos -=-C A 。

又2 cos C A ->0，所以222cos =-C A 。

例9 求证：tan 20?+4cos 70? 【解】 tan 20?+4cos 70?=??20cos 20sin +4sin 20? ? ??????+=+=20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin ? ???????+=++=20 cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin 40sin 20sin .320cos 20cos 60sin 220cos 40sin 80sin ==+=? ????? 例10 证明：7 cos77cos521cos335cos 64cos x x x x x +++= 分析：等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 证明：因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++ x x x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64, 2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 327 6+++=+++++= . cos 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x x x x x x x x +++=++++++= 评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令 77)1 (cos 128,,1cos 2,sin cos z z z z i z +=+=+=αααα从而则，展开即可. 例11 已知. 20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+αααα求证 证明：)4tan()22 sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec απαπαπ αααα+=++-=+=+. 2001tan 1tan 1=-+=αα.2001tan 1tan 1=-+= αα 例12 证明：对任一自然数n 及任意实数m n k m x k ,,,2,1,0(2 =≠ π为任一整数）， 有 .2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x x x x n n -=+++ 思路分析：本题左边为n 项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多 中间项. 证明：,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x x x x x x x x x -=-=-= 同理 x x x 4cot 2cot 4sin 1-= …… x x x n n n 2cot 2cot 2sin 11-=- 评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
n n n n -= -+++α α ααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan . 1cot 1cos 89 cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1. 2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122=+++-=++++++ααααααn n n n 例13 设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++ 的取值范围是（ ）
A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++= ++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b q B C A A a ππ+-= ====+-． 因此，只需求q 的取值范围． 因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且 b c a +>．即有不等式组 22,a aq aq aq aq a ?+>??+>??即22 10,10.q q q q ?--解得q q q q ，因此所求的取值范围是．故选C 例14 △ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1， 则C B A C CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos 111++?+?+?的值为（ ）
A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解：如图，连BA 1，则AA 1=2sin(B+ )2 2cos(2)222sin(2)2C B C B C B A A -=-+++= )2 cos(2cos 2cos 2cos )22cos(22cos 1C B C A C B A A C B A AA -=-++-+=-=∴π ,sin sin )2cos(B C B +=-+π 同理,sin sin 2cos 1C A B BB +=,sin sin 2 cos 1B A C CC += ),sin sin (sin 22cos 2cos 2cos 111C B A C CC B BB A AA ++=++∴原式=.2sin sin sin ) sin sin (sin 2=++++C B A C B A 选A. 例15 若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（ ）. A 、6；

B 、5；

C 、4；

D 、3． 解：记()s i n s i n c o s c o s c o s 2 k k k f x x k x x k x x =?+? - ，则由条件，()f x 恒为0，取2 x π =，得 ()s i n 12k k π=-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ππ? ?-=- ???，因此n 为偶数，令2n m =，则 41k m =-，故选择支中只有3k =满足题意．故选D 例16 已知()() 2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 A B. 2 C. 解：由已知条件可知，2 2 10a b +-=，函数图象与y 轴交点的纵坐标为2 2 2a ab b +-。令,s cos in b a θθ== ， 则2222 2sin cos sin cos 2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+=+=--+≤ 选 A 。

例17 已知,R αβ∈，直线 1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ +=++ 的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。

解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x x -，且,in s s co αα为方程 00 1sin cos x x t t ββ -+=++， 的两个根，即为方程2 0sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ-++-=+的两个根。

因此cos (sin sin cos )ααββ+=-+，即cos sin c in s s o ααββ+++=0。

1 、＝ 。

2、已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为_____。

3、已知 3sin )2sin(=+αβα，且),(2 ,21Z k n n k ∈+≠+≠π πβαπβ。则 ββαtan )tan(+的值是_ __. 4、设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒成立，则a c b cos = 5、设0)cos 1(2 θθ +的最大值。

6、求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++ 7、已知a 0=1, a n 1 n -(n ∈N +)，求证：a n > 2 2+n π . 8、已知. cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -=+>+=ββ βαβαα求证 9、若A ，B ，C 为△ABC 三个内角，试求s inA +s inB +s inC 的最大值。

10、证明：.2 sin 21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin β ββαβαβαβαα++ = +++++++n n n 11、已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π ）>0，求证：.2sin cos sin cos ? ??+???? ??x x αββα 12、求证：①16 1 78cos 66cos 42cos 6cos = ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45? 全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案 1、解：根据题意要求，2 605x x +≥+，2 0571x x +≤+≤。于是有2 715x x +=+。因此 cos01==。因此答案为 1。

2、解：实际上)4541(2 )4sin(2)(≤≤+-=x x π πx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]4 5 ,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在 ]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。于是)(2)(2)(2)()(22 212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减 函数，所以554)4 5 ()(= ≥f x f ，即f (x )在]4 5 ,41[上的最小值是554。

3、解：
.213131sin )2sin(1sin )2sin(]sin )2[sin(21] sin )2[sin(21 sin )cos(cos )sin(tan )tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α βααβααβααβαβββαββαb a 4、解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x ?c )=2，于是取2 1 ==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x ?c )=1， 由此得1cos -=a c b 。

一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ?，其中20π2 tan =?， 于是af (x )+bf (x ?c )=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ??，即 0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ???， 所以0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ??。

由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有?? ? ??=-+==+)3(01)2(0 sin )1(0cos b a c b c b a ， 若b =0，则由(1)知a =0，显然不满足(3)式，故b ≠0。所以，由(2)知sin c =0，故c=2k π+π或c=2k π(k ∈Z )。当 c=2k π时，cos c =1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k π+π(k ∈Z )，cos c =?1。由(1)、(3)知21 = =b a ，所以1cos -=a c b 。

5、【解】因为020π θ ，所以s in 2θ>0, co s 2 θ>0. 所以s in 2θ（1+co s θ）=2s in 2θ·co s 22 θ =2cos 2cos 2sin 22222θθ θ??? ≤3 22232cos 2cos 2sin 22?? ??? ? ?????θθθ=.9342716= 当且仅当2s in 2 2θ=co s 22θ, 即tan 2θ=22, θ=2a r ctan 22时，s in 2 θ (1+co s θ)取得最大值934。

6、思路分析：等式左边同时出现 12tan 18tan 、 12tan 18tan +，联想到公式β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+. 证明：
12tan 312tan 18tan 18tan 3++ 112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+?=++= 112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+?=++= 1 18tan(3 t 18(tan 3=+?=+= 评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证)43tan 1()2tan 1)(1tan 1( +++22 2)44tan 1(=+ 等. 7、【证明】 由题设知a n >0，令a n =tana n , a n ∈?? ? ??2, 0π， 则a n = .tan 2tan sin cos 1tan 1sec tan 1tan 111 1111 12n n n n n n n n a a a a a a a a ==-=-= -+------- 因为21-n a ，a n ∈??? ??2,0π，所以a n =121-n a ，所以a n =.210a n ?? ? ?? 又因为a 0=tana 1=1，所以a 0=4π，所以n n a ?? ? ??=21·4π。

又因为当0时，tanx >x ，所以.2 2tan 22++>=n n n a ππ 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x ∈?? ? ??2, 0π时，有tanx >x >s inx ，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

8、分析：条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ”入手. 证法1：
),sin(sin βαα+=A ),sin()sin(βαββα+=-+∴A ), cos(sin ))(cos sin(),sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1||A A A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而 cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1||A A A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而 cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos , 1||A A A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而 . cos sin )tan(,0)cos(,0cos , 1||A A A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而 证法2：αβαβββαβααββββsin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin -++=+-=-A ). tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++= 9、【解】 因为s inA +s inB =2s in 2B A +co s 2sin 22B A B A +≤-, ① s inC +s in 2 3sin 22 3cos 2 3sin 23 π π π π +≤-+=C C C , ② 又因为3 sin 24 3cos 43sin 22 3sin 2 sin ππ π π ≤- -++ ++=+++C B A C B A C B A ，③ 由①，②，③得s inA +s inB +s inC +s in 3π≤4s in 3 π , 所以s inA +s inB +s inC ≤3s in 3π=233,当A =B =C =3 π 时，（s inA +s inB +s inC ）m ax =233. 注：三角函数的有界性、|s inx |≤1、|co s x |≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调 性等是解三角最值的常用手段。

10、证明：)],2 cos()2[cos(212sin sin βαβαβ α--+-= )]sin()2sin()sin([sin 2 sin ,, )]2 1 2cos()212[cos(212sin )sin(, )]2 3 cos()25[cos(212sin )2sin()],2cos()23[cos(212sin )sin(βαβαβααβ βαβαββαβαβαββαβ αβαβ βαn n n n +++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+ 各项相加得类似地 .2 1 sin )2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n n n . 2 1sin )2sin()] 2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+ +-=n n n 所以，.2 sin 21 sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα++=+++++n n n 评述：①类似地，有.2 sin )2cos(21sin )cos()cos(cos β βαββαβααn n n ++= +++++ ②利用上述公式可快速证明下列各式：2sin 21 cos 2sin cos 3cos 2cos cos θ θθθθθθ+=++++n n n .21 97cos 95cos 93cos 9cos .2 1 75cos 73cos 9cos 等=+++=++ππ πππππ. 2197cos 95cos 93cos 9cos . 2 175cos 73cos 9 cos 等=+++=++πππππππ 11、【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s απ-β)=s in β,所以0又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0β sin cos 0,所以βαsin cos >1。

又0β sin cos >1， 所以2sin cos sin cos sin cos sin cos 0 =??? ? ?+???? ??x ，得证。

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66° 54cos 78cos 42cos ? . 16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos =?== .16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos =?== .16 154cos 4) 183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos =?= = ②sin1°sin2°sin3°…sin89° =(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =4 387sin 6sin 3sin )41(29? 60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)4 1 (30= 45)54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040???=??= 45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81 sin 18sin 9sin 3)41(4040???=??= 又)72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 -+= 165)72cos 36cos 1(4 1 )72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+= 165)72cos 36cos 1(4 1 )72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+= 165)72cos 36cos 1(4136cos 72cos 36cos 1(41=+=--+= 即 .45 36sin 18cos = 所以 .106)4 1 (89sin 2sin 1sin 45?= 36sin 18cos 22 3)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)4(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 22 3)41(434342424242?=?=?=?=?=?=