大学复变函数课件-复数与复变函数

第一章 复数与复变函数 第一节 复数 1．复数域 每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；
和分别称为的实部和虚部，分别记作，。

复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果，则可以看成一个实数；
如果，那么称为一个虚数；
如果，而，则称为一个纯虚数。

复数的四则运算定义为：
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2．复平面 C也可以看成平面，我们称为复平面。

作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；
复平面一般称为-平面，w-平面等。

3．复数的模与辐角 复数可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定义为：；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：
（）。

复数的共轭定义为：；

复数的三角表示定义为：；

复数加法的几何表示：
设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
（1）、；
（2）、；

（3）、；
（4）、；

（5）、；
（6）、；

例1．1试用复数表示圆的方程：
（）
其中a,b,c,d是实常数。

解：方程为 ，其中。

例1.2、设、是两个复数，证明 利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有 , 则有 即，，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有 即，，其后一个式子也应理解为集合相等。

例1.3、设、是两个复数，求证：
例1.4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。

解：直线：；

圆：
4．复数的乘幂与方根 利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
令，则 进一步，有 共有-个值。

例1.5、求的所有值。

解：由于，所以有 其中，。

第二节 复平面上的点集 1．初步概念：
设，的-邻域定义为 称集合 为以为中心，为半径的闭圆盘，记为。

设， 若中有无穷个点，则称为的极限点；

若，使得，则称为的内点；

若中既有属于的点，由有不属于的点，则称为的边界点；

集的全部边界点所组成的集合称为的边界，记为；

称为的闭包，记为；

若，使得，则称为的孤立点（是边界点但不是聚点）；

开集：所有点为内点的集合；

闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于；
则任何集合的闭包一定是闭集；

如果，使得，则称是有界集，否则称是无界集；

复平面上的有界闭集称为紧集。

例1.6、圆盘是有界开集；
闭圆盘是有界闭集；

例1.7、集合是以为心，半径为的圆周，它是圆盘 和闭圆盘的边界。

例1.8、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。

例1.9、集合是去掉圆心的圆盘。圆心，它是的孤立点，是集合的聚点。

无穷远点的邻域：，集合称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。

我们也称为的一点紧化。

2．区域、曲线 复平面C上的集合，如果满足：
（1）、是开集；

（2）、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于。

则称是一个区域。

结合前面的定义，有有界区域、无界区域。

性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。

区域内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。

扩充复平面上不含无穷远点的区域的定义同上；
含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。

设已给 如果和都在闭区间上连续，则称集合为一条连续曲线。

如果对上任意不同两点及，但不同时是的端点，我们有，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。

若尔当定理: 任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。

光滑曲线：
如果和都在闭区间上连续，且有连续的导函数，在上，则称集合为一条光滑曲线；
类似地，可以定义分段光滑曲线。

设是一个区域，在复平面C上，如果内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。

中区域的连通性：如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。

例1.10集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线 即。

例1.11集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线及。

例1.12集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线 及。

例1.13集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。

例1.14在上，集合与分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为及。

第三节 复变函数 1．复变函数的概念 设在复平面C上以给点集。如果有一个法则，使得，同它对应，则称为在上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为。

注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；

注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个和对应；

注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，，则等价于两个二元实变函数和。

函数也称为从到C上的一个映射或映照。把集合表示在一个复平面上，称为-平面；
把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为-平面。

从集合论的观点，令，记作，我们称映射把任意的映射成为，把集映射成集。

称及分别为和的象，而称和分别为及的原象。

若把中不同的点映射成中不同的点，则称它是一个从到的双射。

例1.15考虑映射。

解：设，，，则有，，这是一个平面到平面的双射，我们称为一个平移。

例1.16考虑映射，其中。

解：令，则它可以分解为以下两个映射的复合：
， 第一个映射是一个旋转（旋转角为），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。

例1.17考虑映射。

解：它可以分解为以下两个映射的复合：
， 映射是一个关于实数轴的对称映射；

映射把映射成，其辐角与相同：
而模，满足。我们称为关于单位圆的对称映射，与称为关于单位圆的互相对称点。

若规定把映射成，则它是一个扩充平面到扩充平面的一个双射。

例1.18、考虑映射。

解：等价于 ， 。

2．复变函数的极限 设函数在集合上确定，是的一个聚点，是一个复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时， ， 则称为函数当趋于时的极限，记作：
注解：1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。

2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。

3．复变函数连续性的定义 设函数在集合上确定，是的一个聚点，如果 成立，则称在处连续；
如果在中每一点连续，则称在上连续。

注解1 如果，则在处连续的充要条件为：
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性；

注解2 连续函数的四则运算结论成立：两个复变函数连续的加、减、乘、除（分母不等于零）是复变函数连续；

注解3 如果函数在集上连续，并且函数值属于集，而在集上，函数连续，那么复合函数在上连续。

4．一致连续性 设函数在集合上确定，如果任给，可以找到一个仅与有关的正数，使得当，并且时， ， 则称函数在上一致连续。

定理1.1、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上一致连续。

定理1.2、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上有界，即在集上有界。

定理1.3、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么在上达到它的最大模和最小模。

5．无穷大极限 设函数在复平面上的区域或闭区域上确定，是的一个聚点，不属于。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时， ， 则称当趋于时，函数趋于无穷大，记作：
设函数在复平面上的无界区域或闭区域上确定。是一个有限复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时， ， 则称当趋于时，函数趋于极限，记作：
第四节 复球面与无穷远点 在点坐标是 的三维空间中，把 xOy面看作就是面。考虑球面：
取定球面上一点称为球极。

我们可以建立一个复平面C到之间的一个1-1对应：
，，。

我们称上面的映射为球极射影。

对应于球极射影为，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。

关于，其实部、虚部、辐角无意义，模等于；
基本运算为（为有限复数）：
；

；

。