根与系数关系知识讲解及练习

　 韦达定理：对于一元二次方程20( 0) ax bx c a     ，如果方程有两个实数根1 2, x x ， 则

　1 2 1 2,b cx x x xa a   

　说明：（1）定理成立的条件 0  

　（2）注意公式重1 2bx xa   的负号与 b 的符号的区别 根系关系的 几 大用处

　① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

　例如：已知方程 x2 -5x+6＝0，下列是它两根的是（

　）

　A． 3，-2

　 B. -2, 3

　 C. -2，-3

　 D. 3, 2

　② 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于 x 1和 x 2 的代数式的值，如 ；

　 ③ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.

　④ 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主）

　（1 1 ）计算 代数 式的值 例 例 若1 2, x x 是方程22 2007 0 x x    的两个根，试求下列各式的值：

　(1) 2 21 2x x  ； (2) 1 21 1x x ； (3) 1 2( 5)( 5) x x   ；

　(4) 1 2| | x x  ． 解：由题意，根据根与系数的关系得：1 2 1 22, 2007 x x x x     

　(1) 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 ( 2) 2( 2007) 4018 x x x x x x         

　(2) 1 21 2 1 21 1 2 22007 2007x xx x x x    

　(3) 1 2 1 2 1 2( 5)( 5) 5( ) 25 2007 5( 2) 25 1972 x x x x x x             

　(4) 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) 4 ( 2) 4( 2007) 2 2008 x x x x x x x x           

　说明：

　：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

　2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 x x x x x x     ，1 21 2 1 21 1 x xx x x x  ，2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 x x x x x x     ， 21 2 1 2 1 2| | ( ) 4 x x x x x x     ，2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) x x x x x x x x    ， 3 3 31 2 1 2 1 2 1 2( ) 3 ( ) x x x x x x x x      等等．韦达定理体现了整体思想． （2 2 ）构造新方程

　理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。

　例 解方程组 x+y=5

　 xy=6

　 解：显然，x，y 是方程 z2 -5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1 =2,z 2 =3 ∴原方程组的解为 x 1 =2,y 1 =3

　x 2 =3,y 2 =2 显然，此法比代入法要简单得多。

　（3 3 ）定性判断字母系数的取值范围

　例 一个三角形的两边长是方程 的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。

　解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a、b 为 的两根，则 c=2 由题意知 △＝k2 -4×2×2≥0，k≥4 或 k≤-4

　 ∴ 为所求。

　【 典型例题 】

　例 例 1 已知关于 x 的方程2 21( 1) 1 04x k x k      ，根据下列条件，分别求出 k 的值． (1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根1 2, x x 满足1 2| | x x  ． 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是1 20 x x   ，二是1 2x x   ，所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为 5

　∴ 2 221 21[ ( 1)] 4( 1) 034, 41 21 54k kk kx x k            

　所以，当 4 k  时，方程两实根的积为 5．

　(2) 由1 2| | x x  得知：

　 ①当10 x  时，1 2x x  ，所以方程有两相等实数根，故302k     ；

　 ②当10 x  时，1 2 1 20 1 0 1 x x x x k k            ，由于

　 302k     ，故 1 k   不合题意，舍去．

　综上可得，32k  时，方程的两实根1 2, x x 满足1 2| | x x  ． 说明：

　根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0   ． ． 例 例 2 已知1 2, x x 是一元二次方程24 4 1 0 kx kx k     的两个实数根．

　(1) 是否存在实数 k ，使1 2 1 23(2 )( 2 )2x x x x     成立？若存在，求出 k 的值；

　若不存在，请您说明理由．

　(2) 求使1 22 12x xx x  的值为整数的实数 k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数 k ，使1 2 1 23(2 )( 2 )2x x x x     成立．

　 ∵ 一元二次方程24 4 1 0 kx kx k     的两个实数根

　 ∴ 24 00( 4 ) 4 4 ( 1) 16 0kkk k k k          ，

　 又1 2, x x 是一元二次方程24 4 1 0 kx kx k     的两个实数根

　 ∴ 1 21 2114x xkx xk   

　 ∴ 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(2 )( 2 ) 2( ) 5 2( ) 9 x x x x x x x x x x x x        

　 9 3 94 2 5kkk      ，但 0 k  ．

　 ∴不存在实数 k ，使1 2 1 23(2 )( 2 )2x x x x     成立．

　 (2) ∵ 2 2 21 2 1 2 1 22 1 1 2 1 2( ) 4 42 2 4 41 1x x x x x x kx x x x x x k k           

　∴ 要使其值是整数，只需 1 k  能被 4 整除，故 1 1, 2, 4 k      ，注意到 0 k  ，

　要使1 22 12x xx x  的值为整数的实数 k 的整数值为 2, 3, 5    ． 说明 ：

　(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．

　(2) 本题综合性较强，要学会对41 k 为整数的分析方法．

　一元二次方程根与系数的关系练习题

　 A

　组 1．一元二次方程2(1 ) 2 1 0 k x x     有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )

　A． 2 k 

　 B． 2, 1 k k   且

　C． 2 k 

　D． 2, 1 k k   且

　2．若1 2, x x 是方程22 6 3 0 x x    的两个根，则1 21 1x x 的值为( )

　A． 2

　B． 2 

　 C．12

　D．92 3．已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于 x 的方程2 2(2 1) 3 0 x m x m      的根，则 m 等于( )

　A． 3 

　B． 5

　 C． 5 3  或

　D． 5 3  或

　4．若 t 是一元二次方程20 ( 0) ax bx c a     的根，则判别式24 b ac    和完全平方式2(2 ) M at b   的关系是( )

　A． M  

　 B． M  

　C． M  

　D．大小关系不能确定 5．若实数 a b  ，且 , a b 满足2 28 5 0, 8 5 0 a a b b       ，则代数式1 11 1b aa b  的值为( )

　A． 20 

　B． 2

　 C． 2 20  或

　D． 2 20 或

　6．如果方程2( ) ( ) ( ) 0 b c x c a x a b       的两根相等，则 , , a b c 之间的关系是 ______

　7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22 8 7 0 x x    的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．若方程22 ( 1) 3 0 x k x k      的两根之差为 1，则 k 的值是 _____ ． 9．设1 2, x x 是方程20 x px q    的两实根，1 21, 1 x x   是关于 x 的方程20 x qx p   的两实根，则 p = _____ ， q = _____ ． 10．已知实数 , , a b c 满足26 , 9 a b c ab     ，则 a = _____ ， b = _____ ， c = _____ ． 11．对于二次三项式210 36 x x   ，小明得出如下结论：无论 x 取什么实数，其值都不可能等于 10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

　12．若 0 n  ，关于 x 的方程21( 2 ) 04x m n x mn     有两个相等的的正实数根，求mn的值．

　 13．已知关于 x 的一元二次方程2(4 1) 2 1 0 x m x m      ．

　(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

　(2) 若方程的两根为1 2, x x ，且满足1 21 1 12 x x   ，求 m 的值．

　14．已知关于 x 的方程2 21( 1) 1 04x k x k      的两根是一个矩形两边的长．

　(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？

　(2) 当矩形的对角线长是 5 时，求 k 的值．

　 B

　组 1．已知关于 x 的方程2( 1) (2 3) 1 0 k x k x k       有两个不相等的实数根1 2, x x ．

　(1) 求 k 的取值范围；

　(2) 是否存在实数 k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请您说明理由．

　2．已知关于 x 的方程23 0 x x m    的两个实数根的平方和等于 11．求证：关于 x 的方程2 2( 3) 6 4 0 k x kmx m m       有实数根．

　3．若1 2, x x 是关于 x 的方程2 2(2 1) 1 0 x k x k      的两个实数根，且1 2, x x 都大于 1．

　(1) 求实数 k 的取值范围；

　(2) 若1212xx ，求 k 的值．