专题06,方案设计问题（精讲）-中考数学高频考点突破（原卷版）

【课标解读】 方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图形的设计等.方案设计型题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的知识和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它包括与方程、不等式有关的方案设计、与函数有关的方案设计和与几何图形有关的方案设计. 【解题策略】 　 常见的几种考题类型有：1.解决与方程、不等式有关的方案设计题目，通常利用方程或不等式求出符合题意的方案；
2.与函数有关的方案设计一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，通常用函数的性质进行分析；
3.与几何图形有关的方案设计，一般是利用几何图形的性质，设计出符合某种要求和特点的图案. 解题策略可以概括为：从实际问题入手→归纳若干信息→提出问题要求→引导设计操作→判断优化方案 【考点深剖】 ★考点一 与方程、不等式有关的方案设计 方程、不等式方案设计问题主要是利用方程、不等式的相关知识，建立相应的数学模型，利用列方程(组)和不等式(组)，通过有关的计算，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，再结合题目要求，确定未知数的具体数值.未知数有几个值，即有几种方案. 方程、不等式方案设计的主要步骤：(1)利用方程、不等式建立相应的数学模型；
(2)列出方程(组)或不等式(组)；
(3)通过解方程(组)或不等式(组)，确定未知数的值；
(4)确定方案. 【典例1】（2018•济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元 A 15 9 57000 B 10 16 68000 （1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；

（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？ ★考点二 与函数有关的方案设计 函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，确定函数关系式.利用函数图象的性质获得解决问题的具体方法.解决此类问题的难点主要是正确确定函数关系式，关键是熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值范围. 【典例2】（2018·浙江省台州·12分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；
设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q= （1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；

（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值． ★考点三 与几何图形有关的方案设计 图形方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，把对作图的技能的考查放在一一个实际生活的大背景下，从而考查了学生的综合创新能力，给同学们的创造性思维提供了广阔的空间与平台.此类题常利用某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，利用图形的性质，或利用轴对称和中心对称等，拼出符合某些条件的图形. 【典例3】某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14) (1)试用含x的代数式表示y；

(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；

①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；

②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由. ③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由. ★考点四 涉及统计计算的方案设计 【典例4】某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：
方案1：所有评委所给分的平均数；

方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余所给分的平均数；

方案3：所有评委所给分的中位数；

方案4：所有评委所给分的众数． 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：
(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；

(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分． 【讲透练活】 变式1：（2018•广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；
若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台． （1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ （2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围． 变式2：（2018·广西梧州·10分）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A.B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样． （1）求A.B两种型号电动自行车的进货单价；

（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；

（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 变式3：（2018•莱芜•10分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；
购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；

（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 变式4：阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG. 请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图表明探究方法并直接写出结果）. 变式5：（2018•福建B卷•10分）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米． （1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米． 如图1，求所利用旧墙AD的长；

（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩 形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．