特殊三角形测试题 初二年级奥数特殊三角形测试题及答案

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比普通数学要深奥一些。下面是大范文网为大家带来的初二年级奥数特殊三角形测试题及答案，欢迎大家阅读。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合;②等腰三角形两腰上的高相等;

③等腰三角形的最短边是底边;④等边三角形的高、中线、角平分线都相等;⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.(2015•江苏苏州中考)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，∠BAD=35°,则∠C的度数为(　　)

A.35° B.45° C.55° D.60°

第2题图

3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E.有下列结论：①BD平分∠ABC;②AD=BD=BC;③△BCD的周长等于AB+BC;④D是AC的中点.其中正确的是( )

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④

4.已知一个等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是( )

A.17 cm B.22 cm C.17 cm或22 cm D.18 cm

5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，∠BAD=50°，AD=AE，则∠EDC的度数 为( )

A.15° B.25° C.30° D.50°

6.(2015•陕西中考) 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )

A.2个 B. 3个 C.4个 D.5个

7.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是( )

A.45° B.55°　　 C.60° D.75°

8.下列说法中正确的是( )

A.已知 是三角形的三边，则

B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以 (a,b,c分别为∠A, ∠B, ∠C的对边)

D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以 (a,b,c分别为∠A, ∠B, ∠C的对边)

9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，点M，N在AB上，且AM=AC，BN=BC，则MN的长为( )

A.6 B.7 C.8 D.9

10.已知一个直角三角形的周长是4+2 ，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积 为( )

A.5 B.2 C. D.1

二、填空题(每小题3分,共24分)

11. 在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= .

12.若点D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，则∠BAC=____________.

13.已知在△ABC中，DE垂直平分AC，与AC边交于点E，与BC边交于点D，∠C=15°，

∠BAD=60°，则△ABC是________三角形.

14.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是_________.

15.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为 .

16.已知等边三角形的高为2 ，则它的边长为________.

17.如图，已知∠BAC=130°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则∠ADB=______°.

18.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=_________.

三、解答题(共46分)

19.(6分)如图，请思考怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分成两个等腰三角形，试一试，在图中画出裁剪的痕迹.

20.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.

21.(6分)如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.

(1)若CD=1 cm，求AC的长;

(2)求证：AB=AC+CD.

22.(7分)(2015•浙江丽水中考)如图，已知△ABC，∠C=90°，AC

(1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹);

(2)连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.

第22题图

23.(7分)如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论.

24.(7分)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，点B，E在C，D的同侧，若AB= ，求BE的长.

25.(7分)在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.

(1)如图(1)，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °.

(2)设∠BAC=α，∠BCE=β.

①如图(2)，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由.

②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.

第2章 特殊三角形检测题参考答案

一、选择题

1.B 解析：只有②④是正确的.

2. C 解析：∵ AB=AC，D为BC中点，

∴ AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC.

∵ ∠BAD=35°，∴ ∠DAC=35°，

∴ 在Rt△DAC中，∠C=90°-∠DAC=90°-35°=55°.

3.A 解析：∵ AB=AC，∠A=36°，

∴ ∠ABC=∠C=72°.

∵ DE垂直平分AB，

∴ DA=DB，∴ ∠ABD=∠A=36°.

∴ ∠DBC=36°，∠BDC=72°，

∴ BD平分∠ABC，AD=BD=BC，①②正确;

△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=BC+AB，③正确.

∵ BD>CD，∴ AD>CD，故④错误.

4.B 解析：4+9+9=22(cm).

5.B 解析：∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，

∵ AD=AE，∴ ∠AED=∠ADE.

∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C，

∴ ∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，

即∠BAD=2∠EDC.

∵ ∠BAD=50°，∴ ∠EDC=25°，故选B.

6. D 解析：在 中，∵ ∠A=36°，AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=72°.

∵ BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=36°,

∴ ∠A=∠ABD,∠C=∠CDB=72°,

∴ , 都是等腰三角形，∴ BC=BD.

∵ BE=BC, ∴ BD=BE,

∴ 是等腰三角形，易得∠BED=72°.

在 中,∵∠A=36°,∴ ∠ADE=∠A =36°,

∴ 是等腰三角形.

又∵ 在 中，AB=AC,

∴ 是等腰三角形.

故共有5个等腰三角形.

7.C 解析：∵ △ABC是等边三角形，

∴ ∠ABD=∠C，AB=BC.

又∵ BD=CE，∴ △ABD≌△BCE.

∴ ∠BAD=∠CBE.

∵ ∠ABE+∠EBC=60°，

∴ ∠ABE+∠BAD=60°，

∴ ∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故选C.

8.C 解析：A.不确定三角形是否为直角三角形，且c是否为斜边，故A选项错误;

B.不确定第三边是否为斜边，故B选项错误;

C.因为∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确;

D.因为∠B=90°，所以 ，故D选项错误.

9.C 解析：因为在Rt△ABC中，AC=40，BC=9，

所以由勾股定理得AB=41.

因为BN=BC=9，AM=AC=40，

所以MN=AM+BN AB=40+9 41=8.

10.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中∠C=90°，BC=a，AC=b，

因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以AB=4.

又因为△ABC的周长是 ，所以 .

平方得 ，即 .

由勾股定理知 ，

所以 .

二、填空题

11. 50° 65° 解析：∠C=180°-115°=65°，∠B=∠C=65°，∠A=180°-65°×2=50°.

12.108° 解析：如图，∵在△ABC中，AB=AC，∴ ∠B=∠C.

∵ AD=BD，∴ ∠B=∠C=∠1.

∵ ∠4是△ABD的外角，∴ ∠4=∠1+∠B=2∠C.

∵ AC=CD，∴ ∠2=∠4=2∠C.

在△ADC中，∵ ∠4+∠2+∠C=180°，即5∠C=180°，∴ ∠C=36°，

∴ ∠1+∠2=∠C+2∠C=3×36°=108°，即∠BAC=108°.

13.直角 解析：如图，∵ DE垂直平分AC，∴ AD=CD.

又∠C=15°，∴ ∠C=∠DAC=15°，∠ADB=∠C+∠DAC=30°.

又∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BAD+∠ADB=90°，

∴ ∠B=90°，即△ABC是直角三角形.

14. a 解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角是120°，底角是30°.如图，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AD，∠A=∠ABC= 30°，AB=a，则BD= .

15.22.5°或67.5° 解析：当等腰三角形为锐角三角形时，底角为67.5°;当等腰三角形为钝角三角形时，底角为22.5°.

16.4

17.50

18.6 解析：因为∠BAE=60°，所以∠AEB=30°.

所以∠AEB+∠DEC=30°+60°=90°，所以∠AED=90°.

又因为AB=CE=3，所以AE=DE=6，所以AD=6 .

三、解答题

19.解：如图所示.

20.证明：∵ AB=AC，∠BAC=120°，

∴ ∠B=∠C=30°，

∴ 在Rt△ADC中CD=2AD.

∵ ∠BAC=120°，∴ ∠BAD=120°-90°=30°，

∴ ∠B=∠BAD，∴ AD=BD，∴ BC=3AD.

21.(1)解：因为AD是∠CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，

所以CD=DE=1 cm.

因为AC=BC，所以∠CAB=∠B= .

又因为DE⊥AB，所以∠EDB=∠B= .

所以ED=EB.所以DB= (cm).

所以AC=BC=CD+DB= cm.

(2)证明：在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，

所以△ACD≌△AED，所以AC=AE.

由(1)得CD=DE=BE，又AB=AE+EB，所以AB=AC+CD.

22. 解：(1)点D的位置如图所示(D为AB中垂线与BC的交点).

(2)∵ 在Rt△ABC中，∠B=37°，∴ ∠CAB=53°.

又∵ AD=BD，∴ ∠BAD=∠B=37°.

∴ ∠CAD=53°-37°=16°.

第22题答图

23.解：△APQ为等边三角形.证明如下：

∵ △ABC为等边三角形，∴ AB=AC.

∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，

∴ △ABP≌△ACQ(SAS).∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ.

∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，

∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°.

∴ △APQ是等边三角形.

24. 解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，

所以AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.

所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，即∠ADC=∠BDE.

在△ADC和△BDE中，因为AD=BD，CD=DE，∠ADC=∠BDE，

所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.

在等腰Rt△ABC中，因为AB= ，

所以AC=BC=1，故BE=1.

25.解：(1)90.

(2)①α+β=180°.

理由：因为∠BAC=∠DAE，

所以∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.

又AB=AC，AD=AE，

所以△ABD≌△ACE.所以∠B=∠ACE.

所以∠B+∠ACB =∠ACE+∠ACB，

所以∠B+∠ACB =β.

因为α+∠B+∠ACB =180°，所以α+β=180°.

②当点D在射线BC上时，α+β=180°.

当点D在射线CB上时，α=β.