指导学生添设辅助

指导学生添设辅助      所谓添线法。是指在初等几何解题中，通过添设辅助线，使条件或结论中的空间状态和数量关系得以“转化，并产生某些逻辑关系。添设辅助线不仅有助于问题的解决，而且可使解法得到简化。添设辅助线并不是随心所欲的，而是在探索解题思路的过程中，随着逻辑思维的发展逐步产生出来的。其基本思想是通过添设辅助线．把条件和结论联系起来。完成由已知向未知的转化。具体地说，就是要通过添设辅助线，或是把有关的几何元素相对地集中起来，使它们发生联系；
或是造成一个新图形，使它能起媒介作用；
或是发掘题设的隐含条件，为进一步证明创造条件。因此，常用的方法有：      一、连结两已知点或特殊点      这是添设辅助线的基本方法，具有广泛的应用价值。这样的辅助线有助于造成新的图形，使其起到媒介作用。例如，已知三角形两边的中点，常添设中位线，以便利用中位线定理产生新的等角，并使原三角形的第三边作减半平移；
已知梯形两腰的中点．常添设中位线，以造成长为两底边和一半的新线段或新的等角；
已知直角三角形斜边的中点，常添设斜边上的中线，以便利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，把有关线段或角联系起来；
遇有已知直径的圆，常把圆上某点同直径两端连结起来，以便利用直径上的圆周角是直角的性质；
对于两圆相交问题，常连结连心线或公共弦，以便利用连心线垂直平分公共弦及弦所对的弧的性质，并把圆周角、圆内接四边形的外角和内对角等联系起来；
遇有切线问题，常把切点(或切线上某已知点)连结起来，以造成直角或利用切线长定理、切割线定理等。对于以上各种情形，如果图形中只有一已知点，则可按上述思想在图形中取定所需的点。         二、过已知点作需要的平行线(或垂线)      这样的辅助线容易造成等角(或直角)，便于利用相似三角形（或直角三角形)的有关性质求解。例如：有关梯形的问题，常平移梯形的一腰或一对角线，把梯形转化为平行四边形和三角形；
过同底上的两个顶点向另一底作垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形；
遇有比例线段问题，常根据实际需要添没平行线，以便利用平行线分线段成比例定理；
遇有圆中有关弦的问题，常添设弦心距，以便利用垂径定理或圆心角、弧、弦、弦心距关系的定理等；
遇有切线的问题，常添没过切点的半径，以便利用切线的性质定理等。      三、延长某已知线段      这样的辅助线常起媒介作用，有助于把条件和结论中的有关元素联系起呆。例如，遇有三角形中线问题，常把中线延长至一倍处，以便利用全等三角形或平行四边形的性质，目的是变换原来某些边角的位置，使分散的条件集中起来；
对于三角形角平分线的问题，有时可延长有关线段，以造成等腰三角形；
有关梯形问题，常延长两腰相交于一点，将梯形问题转化为三角形问题来处理等等。      四、过已知点引圆的切线      这样的辅助线常起媒介作用，为利用弦切角定理、切线长定理切割线定理等创造条件。例如，遇有涉及圆周角的问题，常过有关的已知点引圆的切线，以便以弦切角为媒介。发现有关元素之间的关系；
遇到两圆相切时，常添它们的公切线，以便利用切线的性质或弦切角定理，沟通有关元素的联系。      五、过已知点作辅助圆      这样的辅助线常起媒介作用，为利用与圆有关的性质和定理创造条件。例如，遇有比例线段问题，用其他方法不易证明时，常常添设辅助圆，以便利用圆幂定理；
遇到四边形对角互补或两个三角形同底同旁等角时，常常添设辅助圆，以便利用与圆有关的性质和定理等。      六、利用初等变换添设辅助线      这样添设辅助线，便于沟通条件和结论的联系；
对于比较复杂的几何题，常考虑利用初等变换添设辅助线。例如，对于图形具有对称特征的问题，或用通常方法不易移动元素位置的命题，一般可优先考虑用对称变换添设辅助线，以沟通条件与结论或条件与问题的联系，对于夹在两平行线之间的图形，可以优先考虑用平移变换移动元素的位置，在施行平移变换时，要注意平移的元素、平移的方向和平移的距离；
对于图形具有等边特征的命题，一般可优先考虑用旋转变换移动元素的位置，在施行旋转变换时，要注意确定旋转中心、旋转角的大小和旋转的方向等。      七、添设满足结论要求的线段(或角)      有些几何题，特别是关于和、差、倍、分的证明题，当从题设条件难以入手时，常常按照结论的要求制作新的线段(或角)，使它等于有关元素的和、差、倍、分，以通过新的图形完成证明。