高考卷,普通高等学校招生考试湖南,数学（文史类）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷 数学（文史类）全解全析 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式的解集是 　 A．
　B.
　C. 　 　D. 【答案】D 【解析】由得x（x-1）>0，所以解集为 2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 　 A．　　　　　 B. 　 C. 　 D. 【答案】B 【解析】由向量的减法知 3. 设，有实根，则是的 　 A．充分不必要条件　　　　 　B. 必要不充分条件　　
C. 充分必要条件　　　　 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】判别式大于0，关于 的方程有实根；
但关于 的方程有实根，判别可以等于0 4．在等比数列中，若，则该数列的前10项和为 A．　　　　 B. 　
C.　 　 　D. 【答案】B 【解析】由，所以 5．在的二项展开式中，若只有的系数最大，则 　 A．8　　　　　 B. 9 　 C. 10　　　　　 D.11 【答案】C 【解析】只有的系数最大，是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10 6．如图1，在正四棱柱 中，E、F 分别是的中点，则以下结论中不成立的是 A． B. C.
D. 【答案】D 图1 【解析】连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角 形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以；
又AC⊥BD，所以，。由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1 7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A．48米 　 B. 49米
　 C. 50米
　 D. 51米 图2 【答案】C 【解析】由频率分布直方图知水位为50米的频率/组距为1%，即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。

8．函数 的图象和函数的图象的交点个数是 A．1
　B.2
　 　C.3　　　 D. 4 【答案】C 【解析】由图像可知交点共有3个。

9．设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是 A． 　 B.
C.
　 D. 【答案】D 【解析】由已知P（），所以化简得 10. 设集合，的含两个元素的子集，且满 足：对任意的，都有.则的最大值是 A．10　　　　　 B.11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；
{1，3}、{2，6}只能取一个；
{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个。

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上. 11. 圆心为且与直线相切的圆的方程是　　　　
. 【答案】 【解析】半径R=，所以圆的方程为 12. 在中，角A、B、C所对的边分别为，若，则 A=　　　　　. 【答案】 【解析】由正弦定理得，所以A= 13. 若　　　　　. 【答案】3 【解析】由得，所以 2 2 b 14. 设集合， （1）的取值范围是　　　　 　. （2）若且的最大值为9，则的值是 . 【答案】（1）（2）
【解析】（1）由图象可知的取值范围是；
（2）若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b= 15.棱长为1的正方形的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是 ；
设分别是该正方形的棱的中点，则直线被球O截得的线段长为 . 【答案】， 【解析】正方体对角线为球直径，所以，所以球的表面积为；
由已知所求EF是正方体在球中其中一个截面的直径，d=，所以，所以EF=2r=。

三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）
已知函数.求：
(Ⅰ)函数的最小正周期；

（Ⅱ）函数的单调增区间. 解：
． （I）函数的最小正周期是；

（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）． 17.（本小题满分１２分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，． （I）解法一　任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是． 解法二　任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是． 所以该人参加过培训的概率是． （II）解法一　任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是 ． 3人都参加过培训的概率是． 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是． 解法二　任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是 ． 3人都没有参加过培训的概率是． 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是 18.（本小题满分１4分）
如图，已知直二面角，直线CA和平面所成的角为. (Ⅰ)证明；

(Ⅱ)求二面角的大小. 解：（I）在平面内过点作于点， 连结． 因为，，所以， A B C Q P O H 又因为，所以． 而，所以，．从而．又， 所以平面．因为平面，故． （II）解法一：由（I）知，，又，，，所以． 过点作于点，连结，由三垂线定理知，． 故是二面角的平面角． 由（I）知，，所以是和平面所成的角，则， 不妨设，则，． 在中，，所以， 于是在中，． 故二面角的大小为． 解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为，所以是和平面所成的角，则． 不妨设，则，． A B C Q P O x y z 在中，， 所以． 则相关各点的坐标分别是 ，，，． 所以，． 设是平面的一个法向量，由得 取，得． 易知是平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，由图可知，． 所以． 故二面角的大小为． 19.（本小题满分13分）
已知双曲线的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）. （Ｉ）证明为常数；

（Ⅱ）若动点（其中为坐标原点），求点的轨迹方程. 解：由条件知，设，． （I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，， 此时． 当不与轴垂直时，设直线的方程是． 代入，有． 则是上述方程的两个实根，所以，， 于是 ． 综上所述，为常数． （II）解法一：设，则，， ，．由得：
即 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是． 解法二：同解法一得……………………………………① 当不与轴垂直时，由（I）
有．…………………② ．………………………③ 由①②③得．…………………………………………………④ ．……………………………………………………………………⑤ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 ．整理得． 当时，点的坐标为，满足上述方程． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 故点的轨迹方程是． 20.（本小题满分13分）
设，. （Ⅰ）证明数列是常数数列；

（Ⅱ）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项. 解：（I）当时，由已知得． 因为，所以． …………………………① 于是． …………………………………………………② 由②－①得：．……………………………………………③ 于是．……………………………………………………④ 由④－③得：．…………………………………………………⑤ 即数列（）是常数数列． （II）由①有，所以． 由③有，所以， 而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列． 所以，，． 由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项． 若是数列中的第项，由得，取，得．此时，由得，，从而是数列中的第项． （注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
21.（本小题满分13分）
已知函数在区间内各有一个极值点. （Ⅰ）求的最大值；

　（Ⅱ）当时，设函数在点处的切线为，若在点A处穿过的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式. 解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根， 设两实根为（），则，且．于是 ，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16． （II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ，即， 因为切线在点处穿过的图象， 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点． 而，且 ． 若，则和都是的极值点． 所以，即．又由，得．故． 解法二：同解法一得 ． 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）． 当时，，当时，；

或当时，，当时，． 设，则 当时，，当时，；

或当时，，当时，． 由知是的一个极值点，则． 所以．又由，得，故．