考点05,函数单调性与最值（解析版）

　考点 05 函数的单调性与最值

　 1.已知函数 f(x)=是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 【答案】

　B

　【解析】由 f(x)在 R 上是增函数,则有解得 4≤a<8. 2.已知函数 f(x)=,则该函数的递增区间为 ( ) A.(-∞,1] B.[3,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) 【答案】

　B

　【解析】设 t=x 2 -2x-3,由 t≥0, 即 x 2 -2x-3≥0,解得 x≤-1 或 x≥3. 故函数 f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 因为函数 t=x 2 -2x-3 的图像的对称轴方程为 x=1, 所以函数 t 在(-∞,-1]上递减,在[3,+∞)上递增. 所以函数 f(x)的递增区间为[3,+∞). 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数 a 满足 f(log 2 a)+f(loa)≤2f(1),则 a 的取值范围是( ) A.[1,2] B. C. D.(0,2] 【答案】

　C

　【解析】

　∵ loa=-log 2 a,

　∴ f(log 2 a)+f(loa)=f(log 2 a)+f(-log 2 a)=2f(log 2a), 原不等式变为 2f(log 2 a)≤2f(1),即 f(log 2 a)≤f(1). 又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)内递增, 所以|log 2 a|≤1,即-1≤log 2 a≤1,解得≤a≤2.故选 C. 4.若 x∈(e -1 ,1),a=ln x,b=,c=e ln x ,则( )

　A.b>c>a B.c>b>a C.b>a>c D.a>b>c 【答案】

　A

　【解析】

　∵ x ∈ (e -1 ,1), ∴ a=ln

　x ∈ (-1,0),

　b=∈(1,2),c=e ln x =x∈(e -1 ,1),

　∴ b>c>a. 5.已知函数 f(x)=x+,g(x)=2 x +a,若任意 x 1 ∈,存在 x 2 ∈[2,3]使得 f(x 1 )≥g(x 2 ),则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤1 B.a≥1 C.a≤0 D.a≥0 【答案】

　C

　【解析】当 x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当 x=2 时取等号, ∴ f(x) min =4.当 x∈[2,3]时,g(x)递增,故 g(x) min =2 2 +a=4+a. 依题意知 f(x) min ≥g(x) min ,解得 a≤0. 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),且 x≥1 时,f(x)=2 x +,若 f(log a 2a)<6(a>0 且 a≠1),则实数 a 的取值范围是( ) A.∪(1,2) B.∪(2,+∞) C.∪(1,2) D.∪(2,+∞) 【答案】

　B

　【解析】由 f(2-x)=f(x),可知 f(x)的图像关于直线 x=1 对称, ∵ x≥1 时,f(x)=2 x +, ∴ f(x) 在 [1,+∞) 上是增加的 .

　∵ f(2)=6, ∴ f(log a 2a)<6 ⇔ f(log a 2a)<f(2) ⇔ |log a 2a-1|<|2-1|( 因

　f(x) 的图像对称轴为

　x=1, 即自变量到

　x=1

　的距离 大的函数值大 ),

　∴ |log a 2a-1|<1, 即 |log a 2|<1, 解得

　a>2

　或

　0<a<. 故选

　B.

　7.已知函数 f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x 1 )+f(x 2 )>0,则下列不等式中正确的是( ) A.x 1 >x 2 B.x 1 <x 2 C.x 1 +x 2 <0 D.x 1 +x 2>0 【答案】

　D

　【解析】函数定义域为 R, ∵ f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+)-2x-sin x=lg 1=0, ∴ 函数 f(x)是奇函数, 由 y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的, 令 y=2x+sin x,由 y"=2+cos x>0 知,y=2x+sin x 在(0,+∞)上是增函数, ∴ 函数 f(x)在 x≥0 时递增,因此 f(x)在 R 上递增. ∵ f(x 1 )+f(x 2 )>0, ∴ f(x 1 )>-f(x 2 ), ∴ f(x 1 )>f(-x 2 ),

　∴ x 1 >-x 2 , 即

　x 1 +x 2 >0, 故选

　D.

　8.已知 f(x)表示 x+2 与 x 2 +3x+2 中的较大者,则 f(x)的最小值为( )

　A.0 B.2 C.- D. 不存在

　【答案】

　A

　【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数 y=x+2 和 y=x 2 +3x+2 的图像,由 f(x)表示 x+2 与 x 2 +3x+2 中的较大者,可得 f(x)的图像如图中实线部分.求 f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当 x=-2 时,函数 f(x)有最小值 0,故选 A. 9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数,且对任意的 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若动点 P(x,y)满足等式 f(x 2 +2x+2)+f(y 2 +8y+3)=0,则 x+y 的最大值为 (

　 )

　A.2-5 B.-5 C.2+5 D.5 【答案】

　A

　【解析】对任意的 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 令 x=0,y=0,都有 f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0, 动点 P(x,y)满足等式 f(x 2 +2x+2)+f(y 2 +8y+3)=0, 即有 f(x 2 +y 2 +2x+8y+5)=0=f(0),由函数 f(x)是定义在 R 上的函数, 可得 x 2 +y 2 +2x+8y+5=0,化为(x+1) 2 +(y+4) 2 =12, 可令 x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈(0,2π), 则 x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos-5, 当 cos=1 即α=时,x+y 取得最大值 2-5,故选 A. 10.若 f(x)=lo(ax 2 +2x-1),g(x)=,若不论 x 2 取何值,f(x 1 )>g(x 2 )对任意 x 1 ∈恒成立,则 a 的取值范围是(

　 ) A. B.

　C. D. 【答案】

　D

　【解析】

　∵ g(x) ===2sin, ∴ g(x 2 ) max =2.

　f(x 1 )>g(x 2 )对任意 x 1 ∈恒成立,即 f(x 1 ) min >2 恒成立; 等价于 0<a+2x 1 -1<对任意 x 1 ∈恒成立, 即<a<对任意 x 1 ∈恒成立, 设 p(x 1 )==-1,q(x 1 )==-, ∵ x 1 ∈ ,

　∴ ∈, ∴ p(x 1 ) max =-1=-,

　q(x 1 ) min =-, ∴ a ∈ . 故选

　D.

　，

　 1

　11．已知函数 f(x)＝log 2 x＋

　1 若 x 1 ∈(1，2)，x 2 ∈(2，＋∞)，则( ) 1－x A．f(x 1 )＜0，f(x 2 )＜0 B．f(x 1 )＜0，f(x 2)＞0 C．f(x 1 )＞0，f(x 2 )＜0 D．f(x 1 )＞0，f(x 2)＞0 【答案】

　B

　【解析】因为函数 y＝log 2 x 与函数 y＝

　1

　＝－ 的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数 f(x)＝log 2x 1－x x－1

　＋

　1 在(1，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0，所以当 x 1 ∈(1，2)时，f(x 1 )＜f(2)＝0；当 x 2 ∈(2，＋∞)时，f(x 2) 1－x ＞f(2)＝0，即 f(x 1 )＜0，f(x 2)＞0. 12．定义新运算⊕：当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a＜b 时，a⊕b＝b 2 ，则函数 f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2， 2]的最大值等于( ) A．－1 B．1 C．6 D．12 【答案】

　C.

　【解析】由已知得当－2≤x≤1 时，f(x)＝x－2； 当 1＜x≤2 时，f(x)＝x 3 －2. ∵f(x)＝x－2，f(x)＝x 3 －2 在定义域内都为增函数． ∴f(x)的最大值为 f(2)＝2 3 －2＝6. 13．已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( ) A ． f(x) 在 (0 ， 2) 单调递增

　B ． f(x) 在 (0 ， 2) 单调递减

　C．y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称 D ． y ＝ f(x) 的图象关于点 (1 ， 0) 对称

　【答案】

　C

　【解析】f(x)的定义域为(0，2)．由于 f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x 2 )，从而对 f(x)的研究可转化为对二次函数 g(x)＝2x－x 2 (x∈(0，2))的研究．因为 g(x)＝2x－x 2 ＝－(x－1) 2 ＋1，所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1， 2)上单调递减，直线 x＝1 是 y＝g(x)的图象的对称轴．从而排除 A，B，D，故选 C. x 2 －4x＋3，x≤0 14．已知 f(x)＝

　( ) －x 2 －2x＋3，x＞0 ，不等式 f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数 a 的取值范围是 A．(－∞，－2) B．(－∞，0) C．(0，2) D．(－2，0)

　 【答案】

　A

　＜

　＜

　 【解析】作出函数 f(x)的图象如图所示 ，易知函数 f(x)在 R 上为单调递减函数，所以不等式 f(x ＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于 x＋a＜2a－x，即 x a 在

　2

　即 a＜－2.故选 A. [a，a＋1]上恒成立，所以只需 a＋1 a

　2

　 15.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,若 f(1-ax-x 2 )≤f(2-a)对任意 a∈[-1,1]恒成立,则 x 的取值范围为

　. 【答案】

　(-∞,-1] ∪ [0,+∞)

　【解析】因为 f(x)是 R 上的增函数,所以 1-ax-x 2 ≤2-a,a∈[-1,1].(*) (*)式可化为(x-1)a+x 2 +1≥0 对 a∈[-1,1]恒成立. 令 g(a)=(x-1)a+x 2 +1. 则解得 x≥0 或 x≤-1, 即实数 x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞). 16.函数 f(x)=-log 2 (x+2)在区间[-1,1]上的最大值为

　. 【答案】

　3

　【解析】因为 y=在 R 上递减,y=log 2 (x+2)在区间[-1,1]上递增,所以 f(x)在区间[-1,1]上递减. 所以 f(x)在区间[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3. 17．已知函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若 f(a 2 －a)＞f(a＋3)，则实数 a 的取值范围为

　． 【答案】

　( － 3 ，－ 1) ∪ (3 ，＋ ∞)

　a 2 －a＞0， 【解析】由已知可得 a＋3＞0，

　a 2 －a＞a＋3， 解得－3＜a＜－1 或 a＞3，所以实数 a 的取值范围为(－3，－1)∪(3， ＋∞)．

　18．函数 f(x)＝ 【答案】

　3

　 【解析】由于 y＝

　 x

　－log 2 (x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为

　．

　 x

　在 R 上单调递减，y＝－log 2 (x＋2)在[－1，1]上单调递减，所以 f(x)在[－1，1]上单调 递减，故 f(x)在[－1，1]上的最大值为 f(－1)＝3. 1，x＞0， 19．设函数 f(x)＝ 0，x＝0，

　g(x)＝x 2 f(x－1)，则函数 g(x)的单调递减区间是

　． －1，x＜0， 1

　3

　1

　3

　，

　-

　【答案】

　[0 ， 1)

　 x 2 ，x＞1， 【解析】由题意知 g(x)＝ 0，x＝1，

　－x 2 ，x＜1.

　 函数图象如图所示，

　由函数图象易得函数 g(x)的单调递减区间是[0，1)．

　20.已知函数 f(x)=若函数 y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,则实数 a 的取值范围是

　. 【答案】

　(-∞,1] ∪ [4,+∞)

　【解析】画出 f(x)=的图像如图所示,因为函数 y=f(x)在区间(a,a+1)内递增, 所以 a+1≤2 或 a≥4,解得 a≤1 或 a≥4.故实数 a 的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞). 21．如果对定义在 R 上的函数 f(x)，对任意两个不相等的实数 x 1 ，x 2 ，都有 x 1 f(x 1 )＋x 2 f(x 2 )＞x 1 f(x 2 )＋x 2 f(x 1)， ln |x|，x≠0， 则称函数 f(x)为“H 函数”．给出下列函数：①y＝e x ＋x；②y＝x 2 ；③y＝3x－sin x；④f(x)＝

　以上函数是“H 函数”的所有序号为

　． 【答案】①③

　【解析】因为对任意两个不相等的实数 x 1 ，x 2 ， 都有 x 1 f(x 1 )＋x 2 f(x 2 )＞x 1 f(x 2 )＋x 2 f(x 1 )恒成立， 所以不等式等价为(x 1 －x 2 )[f(x 1 )－f(x 2 )]＞0 恒成立， 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数． ①函数 y＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件． ②函数 y＝x 2 在定义域上不单调，不满足条件． ③y＝3x－sin x，y′＝3－cos x＞0，函数单调递增，满足条件． ln |x|，x≠0， 0，x＝0. ④f(x)＝ 0 ， x ＝ 0 ，

　当 x＞0 时，函数单调递增，当 x＜0 时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H 函数 ” 的函数为①③ .

　22 ．判断函数 (a>1),x ∈ (-2,+∞) 的单调性 , 并用单调性的定义证明你的结论 .

　【解析】该函数在 (-2,+∞) 上单调递增 . 证明如下 :

　任取 x 1 ,x 2 ∈(-2,+∞),不妨设 x 1 <x 2 ,则 x 2 -x 1 >0,x 1 +2>0,x 2+2>0, 又 a>1,

　所以 > ,即有 >0,

　-

　-

　-

　 所以 f(x 2 )-f(x 1 )= + -

　=( )+

　=( )+ >0,

　故函数 f(x)在(-2,+∞)上单调递增. 23． (1)函数 y=ln(-x 2 +2x+3)的单调递增区间是 ( ) A.(-1,1]

　B.[1,3) C.(-∞,1]

　D.[1,+∞)

　(2) 设函数 g(x)=x 2 f(x-1),则函数 g(x)的单调递减区间是

　. 【答案】(1)A (2)[0,1) 【解析】

　(1)令 t=-x 2 +2x+3>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3). 由二次函数的性质可知,t=-(x-1) 2 +4,x∈(-1,3)的单调递增区间为(-1,1], 故函数 y=ln(-x 2 +2x+3)的单调递增区间是(-1,1]. (2) 由题意知 该函数的图像如图所示 , 其单调递减区间是 [0,1).

　24 ． 已知 f(x) 是 定义 在 (0,+∞) 上 的函 数, 对 任意 两 个不 相 等的 正数 x 1 ,x 2 , 都 有

　>0. 记 a= ,b= ,c= ,则 ( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 【答案】

　B

　 【解析】

　∵ f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数 x 1 ,x 2 ,都 >0, ∴ 函数

　y= 是(0,+∞)上的增函数. ∵ 1<3 0.2 <3 0.5 = <2,0<0.3 2 <1,log 2 5>2, ∴ 0<0.3 2 <3 0.2 <log 2 5, ∴ b<a<c.故选 B. e－ x － 2 ，（ x≤0 ）

　25．已知函数 f(x)＝ 2ax － 1 ，（ x ＞ 0 ）

　(a 是常数且 a＞0)．对于下列命题：

　①函数 f(x)的最小值是－1； ②函数 f(x)在 R 上是单调函数； 1 ，＋∞ ③若 f(x)＞0 在 2 上恒成立，则 a 的取值范围是 a＞1； x 1 ＋x 2 ④对任意的 x 1 ＜0，x 2 ＜0 且 x 1 ≠x 2 ，恒有 f 2 ＜ f（x 1 ）＋f（x 2 ）

　.其中正确命题的所有序号是

　． 2

　 【答案】①③④

　【解析】根据题意可画出函数图象，

　由图象可知，①显然正确；

　1 ，＋∞ 函数 f(x)在 R 上不是单调函数，故②错误；若 f(x)＞0 在 2 上恒成立，

　 x 1 ＋x 2 则 2a×1 －1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的 x1 ＜0，x 2 ＜0 且 x 1 ≠x 2 ，恒有 f 2 ＜ 2

　f（x 1 ）＋f（x 2）

　成立，故④正确．

　2