基于认知关联教学,提升数学思维品质——以“角”的教学为例

刘春阳，钱德春

（江苏省宿迁市钟吾初级中学；
江苏省泰州市教育局教研室）

思维是数学的灵魂与核心，数学思维品质决定数学思维能力. 认知科学认为，人类的认知是从关联开始的，而认知关联与数学思维品质密不可分.《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，数学教学要帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养. 郑毓信先生提倡，数学知识教学时，不是求全，重要的是求“联”，这里的“联”就是联系、关联. 认知关联包括知识关联、研究路径关联、研究方法关联. 2021 年江苏省青年教师优质课评选活动的课题之一是苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级上册“6.2 角（2）”，选手们的课堂教学可谓精彩纷呈，其中一位选手着眼认知关联教学，将研究内容与已有认知经验关联，引导学生在发现与建立关联中规划研究路径“延伸线”，在揭示与确认关联中激活研究方法“衔接点”，在内化与完善关联中形成数学知识“生长链”，从而提升学生的思维品质，发展学生的思维能力，给笔者留下了深刻的印象. 本文通过对该课的教学案例分析，谈谈基于认知关联教学，提升数学思维品质的初中数学课堂教学策略.

1. 教学分析

（1）教材结构分析.

“角（2）”是教材七年级上册第6 章第2 节第2 课时的内容，主要内容是用直尺和圆规作一个角等于已知角，理解角平分线的概念. 学生前面学习过的线（线段、射线、直线）、角的概念、作一条线段等于已知线段、用量角器作一个角等于已知角等几何知识与方法、研究路径与经验是研究用直尺和圆规作一个角等于已知角、角平分线的基础，而“角”的研究又为学习余角、补角、对顶角、平行、垂直等内容提供知识、方法准备，同时也为研究其他几何作图、三角形全等内容积累活动经验.

（2）学生认知分析.

知识方面：学生在小学阶段已经学过“用量角器度量角”和“用三角尺画一些特殊角”，在本章已经学习了“线段及线段中点概念”“画一条线段等于已知线段”及“角的概念”. 由于学生没有学习全等三角形知识，对“用直尺和圆规作一个角等于已知角”的方法及正确性缺少逻辑支撑，需要通过未知与已知的关联寻找类比源.

能力方面：学生已经初步具备作图的能力、用几何语言表达线段关系的能力，以及简单的说理能力.

（3）教学目标分析.

①掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法；
理解角平分线的概念，会用“因为……，所以……”的方式进行简单的计算与推理.

②经历“作一个角等于已知角”的方法探究过程、“角的平分线概念”的形成过程，感悟类比的思想与联系的观念.

（4）重、难点分析.

教学重点：用直尺和圆规作一个角等于已知角，理解角平分线的概念和性质.

教学难点：“用直尺和圆规作一个角等于已知角”的思路探究.

（5）教学策略与路径分析.

教学策略：基于学生已有认知基础与活动经验，在知识、路径与方法关联中类比得到新知的研究路径与方法.

教学路径如图1所示.

图1

2. 教学实施

活动1：猜想关联，激活思维能动性.

问题1：学习线段的基本路径是什么？我们已经研究了“角”的哪些内容？

师生活动：回顾线段学习的基本路径：定义—表示方法—大小比较—画线段—线段中点. 学生已经学习了角的两种定义、表示方法和大小比较.

追问：类比“线段”的学习，你认为“角”还应该研究什么？

生1：如何画一个角等于已知角？

生2：角中有没有类似线段中点的图形？

生3：我猜想角的研究路线和研究线段的路线类似.

师：大家说得都很好！看来大家对角的研究还是很有想法的. 那么我们今天就从生1的问题出发，开始探究之旅.

【效能分析】思维在适当外因的作用下具有较强的能动性. 通过线段研究过程的回顾，学生借助已有的活动经验猜想、发现角与线段之间的知识、路径与方法的关联，从而激活了自身思维的能动性，从整体上把握新知探究的方向与结构，规划了“角”的研究路径“延伸线”.

活动2：建立关联，激发思维灵活性.

问题2：能否借助工具，画一个角等于45°？

两位学生板演：生4用含45°角的三角尺作图；
生5用量角器画45°角.

追问1：用一副三角尺还能画出哪些角？

教师先让学生独立思考，然后进行分组讨论、归纳，最后小组代表发言.

生6：15°的倍数角都可以画出来.

追问2：若∠AOB是任意度数的角，刚才的作图方法是否仍然适用？

生7：不能用三角尺画，可以用量角器度量∠AOB的度数再画出∠A′O′B′.

追问3：如果现在没有量角器和三角尺，你能不能自己制作工具画图？

学生分组讨论，给出解决方案，小组合作画图.方案如下.

方案1：选择一张透明纸片，将其覆盖在∠AOB上，描出顶点O，分别在边OA，OB上任意描出点C，D（如图2（a）），移动透明纸片到另一张白纸上，分别画出点O，C，D的对应点O′，C′，D′，然后画出射线O′C′，O′D′，得∠A′O′B′（如图2（b））.

图2

方案2：自制一个半圆形纸片，让圆心与∠AOB的顶点O重合，直径边缘与边OA重合，标记圆弧与边OB的交点D（如图3（a）），移动半圆形纸片到另一张白纸上，画出顶点O′及边O′A′，再画出标记点D的对应点D′，移走半圆形纸片，然后画出∠A′O′B′（如图3（b））.

图3

【效能分析】基于小学阶段已有的操作经验，提出一般问题和利用不同工具画图的要求，学生创造性地得到了两种不同画法，既激发了学生思维的灵活性，又为尺规作角方法的形成给予了适当铺垫.

活动3：揭示关联，培养思维深刻性.

问题3：能否用数学语言描述方案1中的画法？

追问1：边OA，OB上的点C，D是如何取的？

生8：任意取的点（如图4）.

图4

追问2：如何不用透明纸也能得到点C′？

生9：当点C确定了，点C到点O的距离也随之确定. 只要在射线O′A′上找点C′，使O′C′=OC；
以点O′为圆心，OC长为半径画弧，与射线O′A′相交即可得到点C′（如图5）.

图5

追问3：如何确定点D′的位置？

生10：以点O′为圆心，OD长为半径画第二条弧（如图6）.

图6

追问4：第二条弧上任意点都符合要求吗？

生11：不是，由于点D′到点C′的距离等于CD长，故以点C′为圆心，CD长为半径画第三条弧，与第二条弧的交点才是点D′，画射线O′D′，得∠A′O′B′的另一边O′B′（如图7）.

图7

问题4：从方案2用自制半圆画角中，你又得到了什么启示？

师生活动：当OB绕点O旋转时，点D也随之绕点O同方向旋转.此时∠AOB的度数随着点D的位置变化而变化，也随着点D的位置固定而固定，点D和点C之间的距离同步变化，说明点D位置变化情况与点C位置有关.

追问1：相互比较你们制作的半圆形纸片，大家发现了什么？

生12：纸片的大小不一，说明点D的位置与半圆大小无关（如图8）.

图8

追问2：这个纸片边缘上的半圆能不能用其他工具画出来？

生13：圆规！以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C（如图9（a）），以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′（如图9（b））.

图9

师：是的，小学时我们就开始用圆规来画弧了，同学们真会联想.

追问3：如何确定点D′的位置？

生14：点D′在所画的弧上，到点C′的距离等于CD的长.以点C′为圆心，CD长为半径画弧交前弧于点D′，则点D′就是点D的对应点.过点D′画射线O′B′（如图10）.

图10

追问4：两种方案有何相同点、不同点？

生15：相同点是它们都是先确定点C′，再确定点D′，而且都用到了CD=C′D′；

生16：都是用两条线（直线与弧、弧与弧）的交点来确定点的位置.

生17：不同点是方案1中的点C′，D′分别在两条不同的弧上，方案2中都在同一条弧上.

追问5：比较两种方案，你更愿意选择哪个方案？

生18：当然是方案2，因为这样不需要再多画一条弧.

师生共同完成作图过程，归纳作图步骤.

追问6：怎么验证∠A′O′B′=∠AOB？

生19：可以用度量法或叠合法来比较.

师：对的，以后我们还可以通过逻辑推理来证明它们相等.

【效能分析】通过追问，引导学生分析“学具画图”中蕴含的数学本质及两种方法的优劣，从中寻找尺规作图的思路，激活了角的研究方法“衔接点”，将学具画图抽象为尺规作图. 在方法关联中，学生想象、抽象与推理等深度思维能力得到提升.

活动4：延伸关联，拓展思维创造性.

问题5：已知∠AOC（如图11）. 画出∠BOC使得∠BOC=∠AOC，并指出射线OC的特殊性.

图11

生20：（作出如图12所示的图形）我觉得这个图形和“线段中点”类似.

图12

师：你想象力很丰富. 能不能具体说一说？

生20：∠AOB内部的这条射线OC就相当于线段AB的中点C，但不知道怎么称呼？

师生活动：学生类比“线段的中点”得到角平分线的概念及三种语言表示，理解角平分线概念既是性质又是判定.

问题6：如图13，∠DOC= 20°，∠DOB= 50°，∠AOC=60°，试说明OB是∠AOC的平分线.

变式：如图14，已知∠AOB=30°，∠BOC=20°，OD是∠AOB的平分线，当OE是∠BOC的平分线时，求∠DOE的度数.

图14

问题7：如图15，你能在∠AOB内画出射线OE，使得∠AOE=∠BOE吗？

图15

生21：用量角器画角平分线.

生22：以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D，连接CD，取CD中点E，画射线OE，则射线OE就是∠AOB的平分线（如图16）.

图16

【效能分析】学生从线段与角的认知方式关联出发，类比线段中点得到角平分线的概念及表示方法. 学生自主提出问题，得出画角平分线的方法，思维创造性得到了激发. 问题7 既是用直尺和圆规“作一个角等于已知角”方法的巩固，又加强了学生对角平分线概念的内化.

活动5：内化关联，完善思维系统性.

问题8：用知识结构图的方式梳理本节课的研究内容. 想象一下，后续还会学习什么内容？

师生共同回顾本节课的核心知识，初步建立知识、路径、方法结构图.

追问：根据线段与角的探究经验，后续的几何学习中还将研究什么？

生23：三角形.

师：是的，还会研究作一个三角形与已知三角形全等，还会研究许多图形，从图形的表示、画法、特征、位置与大小关系等角度进行研究（进一步完善结构图，如图17所示）.

图17

【效能分析】基于认知关联，从图形、知识、路径、方法四个维度构建结构图，形成数学知识的“生长链”，完善学生认知与思维的系统性，启发学生勾勒后续学习图式，激发学生继续探究的欲望.

美国国家数学委员会（National Mathematics Advisory Panel）成员伍鸿熙教授指出，数学是连贯的；
它是一张编织紧密的挂毯，其中所有概念和技巧逻辑严密地编织在一起，形成一个统一的整体. 这段文字充分反映了数学的关联性. 基于认知关联的数学教学是提升学生数学思维品质的基本途径与方法. 本节课从线段相关知识、研究路径和探究方法出发，通过发现与建立关联，规划研究路径“延伸线”；
揭示与确认关联，激活角的研究方法“衔接点”；
内化与完善关联，形成角的数学知识“生长链”. 其中，数学知识是关联之“根”，研究路径是关联之“基”，研究方法是关联之“源”. 通过认知关联，启发学生从整体上把握新知探究方向、掌握研究方法、形成数学知识，从而提升学生的数学思维品质.

1. 发现与建立关联，规划研究路径“延伸线”

研究路径是关联之“基”. 数学教学中，要以已有路径为基础，通过建立新问题与已有问题研究路径的关联，规划新问题研究路径的“延伸线”. 线段主要研究概念、表示方法、大小比较、图形画（作）法、研究特殊位置点（线）的特征，教师引导学生从多角度发现并建立“角”与“线段”的关联，通过类比将线段研究路径延伸为角的研究路径. 利用共同属性建立关联是一种重要的关联方式. 例如，“线段中点”与“角平分线”是通过“平分”这个共同属性建立关联的；
线段与角的大小比较是通过“可度量性”这个共同属性建立关联的；
用直尺与圆规“作一条线段等于已知线段”与“作一个角等于已知角”是通过“圆规可画弧”这个共同属性建立关联的；
而“定义、性质、判定和应用、位置关系与数量关系”等几何图形研究方法的共同属性，也必然是线段、角及后续图形的研究路径.

2. 揭示与确认关联，激活研究方法“衔接点”

事实上，明确研究方向、规划研究路径仅仅是第一步，问题解决还需要方法做支撑.“作一个角等于已知角”的方法源头是“角的两种定义”与“画一条线段等于已知线段”. 课堂上，通过师生、生生合作交流，揭示与确认角的画法、角的两种定义及“画一条线段等于已知线段”之间的关联. 首先，“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”的静态定义直观地刻画了角的结构特征和构成要素，而“作一个角等于已知角”的关键就是确定角的顶点和两边. 由定义可知，角的两边是射线，一条射线可确定角的顶点和一条边，只要再确定另一边上的任意一点即可. 其次，“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形”的定义动态地描述了角的生成过程，角的大小随着终边旋转而变化、随着终边停止而确定. 融合静态、动态两种定义就可以确定角的边，这是画“角”方法的“衔接点”.

3. 内化与完善关联，形成数学知识“生长链”

数学知识不是给予的，而是生长出来的. 数学思维品质的提升以数学知识为载体，这里的“知识”是广义的，既包括数学概念、性质、判定等本体知识，也包括研究路径、思想方法等延伸知识（以下统称“大知识”）. 例如，买回一堆机器零件，零件自身不会运转，需要依附他们之间的内在联系结合在一起才能发挥机器的威力. 教学中，教师要帮助学生审视知识产生的背景、生长发展脉络，内化相似知识之间的关联，要关注数学知识内部的联系，有效把握数学知识的整体性，利用知识的内在联系解决问题，并将“大知识”结构化. 本节课中，教师以已有知识为“根”，通过结构图形式帮助学生内化与完善知识关联，形成数学知识的“生长链”，建构知识体系，完善认知结构. 例如，类比线段相关内容知道学习目标；
由“用量角器画角”获得“尺规作角”的启示，归纳、概括尺规作图的步骤；
类比“线段中点”相关知识得出角平分线的概念、表示及关系等. 教师通过结构化板书，最终形成“大知识”结构图（如图17），让学生将新知融合到整个知识体系中来，从而内化与完善知识体系.

关联性既包括数学知识的内在关联，也包括学生认知规律、认知方式与认知经验的关联. 基于认知关联的数学教学必须思考以下问题：基于认知关联的数学教学价值何在？认知关联的内涵怎样？基于认知关联的教学从哪里开始？如何强化学生的数学认知？所以基于以上思考，笔者得出以下感悟.

1. 提升学生思维品质是基于认知关联教学的根本目标

基于认知关联的数学教学的根本目标就是提升学生的思维品质. 例如，新的知识关联能通过不同方式产生和制造出来. 为了研究知识、管理知识、利用知识并创造知识，人们采用了不同的方式对知识进行重组，不仅利用了知识之间原有的知识关联，而且创造了大量新的知识关联. 从某种意义上来说，这种关联过程培养了学生的创造性思维.

2. 理解“关联性”的内涵是基于认知关联教学的前提

关联是指事物相互之间发生牵连和影响，即事物之间的联系. 教师的作用在于引导学生寻找并建立新的研究对象与已有知识、方法与策略等认知的关联，这就要求教师要加强对数学知识逻辑的关联性、数学课程内容的关联性和学生数学学习过程的研究，从而理解知识逻辑的关联性、教材编写的关联性，以及认知过程的关联性，将数学知识的学术形态、教材形态转化为教学形态.

（1）理解知识逻辑的关联性.

知识逻辑的关联性是连接新、旧知识的桥梁，是数学知识生长与发展的基础. 理解数学知识的这种关联性对于基于认知关联的数学教学起着决定性作用.以“用直尺和圆规作一个角等于已知角”为例，从角的历史来看，其核心作用在于描述方向的改变. 因此，凡是与方向以及方向改变有关的内容都与角相关联. 既然是方向改变，必然有开始的位置（角的始边）和结束的位置（角的终边），从而构成了确定角的元素——两条有公共端点的射线，而决定射线的是顶点和射线上任意一点. 如果角的始边确定了，那么角的终边的顶点也就随之确定. 因此，只要确定终边上的任意一点即可. 换言之，作角的知识基础是作射线.这就是知识逻辑的关联.

（2）理解教材编写的关联性.

如何探究“用直尺和圆规作一个角等于已知角？”教材七年级上册“6.2 角”，在“用直尺和圆规作一个角等于已知角”之前，安排了两个活动：一是用三角板作角，结论是只能作15°倍数的角，说明三角板画角的局限性，突出了尺规作图的学习价值；
二是用量角器画0°到180°的任意角（如图18）. 接着，教材呈现这样一段文字：观察图18中点D的位置，可以发现：点D在量角器的边缘弧上，并且与点C的距离随着角的大小的确定而确定. 这是“尺规作角”的思维起点，这段文字体现了教材将角的学术形态与教学形态之间建立关联的编写意图. 教师只有理解教材编写的关联性，才能实施有效的课堂教学.

图18

（3）理解学生认知的关联性.

学生的学习应当是在已有的知识和经验的基础上主动建构的过程，这就意味着已有知识和经验是主动建构的基础. 仍以“用直尺和圆规作一个角等于已知角”为例，学生遇到这样的问题时自然会回忆、捕捉相关知识与经验，如角的两种定义、确定角的条件、已接触过的尺规作图（作一条线段等于已知线段）、用量角器画角等知识与经验，并且主动建立“用直尺和圆规作一个角等于已知角”与这些知识和经验之间的关联，以此为基础寻求新问题的解决方案.

3. 寻求最佳“关联点”是基于认知关联教学的“启动器”

人类认知活动的目的就是在认知过程中试图以最小的心智努力获得最大的效果，为了达到这个目的，人们必须把注意力集中于最为“关联”的信息，以获取信息和语境的最佳关联，而最佳“关联点”是基于认知关联教学的“启动器”. 因此，在课堂教学中，教师的一个重要的工作就是帮助学生寻求最佳“关联点”.

（1）寻求最佳关联知识.

最佳关联知识类似于认知的最近发展区. 教学中，教师要在众多关联知识中甄别、筛选最贴近当前研究对象的知识，只有这样，学生才能通过最佳关联知识确定研究对象或当前问题的研究路径与解决方案. 在“用直尺和圆规作一个角等于已知角”与角平分线概念的研究中，关联知识较多，其中角的两种定义、用量角器画角、作一条线段等于已知线段、确定射线的条件最为贴近，这就是最佳关联知识.

（2）寻求最佳关联时机.

选择恰当的关联时机对于解决问题至关重要. 由教师引导学生观察两个现象. 在学生“用量角器画一个角等于已知角”后，教师引导学生观察图形，发现边缘弧上的点D到角的始边与弧的交点C（定点）的距离随着角的大小确定而确定，学生立即得出结论：CD的长决定了角的大小. 在用自制半圆形纸片画角后，教师引导学生相互比较半圆形纸片，发现纸片半径可大可小，此时乘机追问：如果没有量角器、没有半圆形纸片，你有没有什么工具可以代替？学生脱口而出：圆规！正由于教师恰到好处地把握了关联时机，才让学生的思维产生了顿悟.

需要说明的是：寻求关联绝不是机械模仿、简单类比，要启发学生发现新、旧知识之间的不同点. 因此，基于认知关联的教学的本质是激发学生的创新活力，提升数学思维品质.

4. 知识结构化是内化学生数学认知关联的“助推剂”

人类社会所拥有的知识体系呈网络关系，知识网络就是由知识节点和知识关联（知识链）构成的网络知识体系. 知识结构化可以将抽象知识直观化、将混沌的知识清晰化，是内化学生数学认知关联的“助推剂”. 欧氏几何之所以充满魅力，至今仍是各国数学学科的必学内容，正是基于其逻辑性、结构化、公理化的特点. 欧几里得的《几何原本》从23个定义、10条几何公理出发，通过演绎推理，将已有的碎片化几何知识、方法技能体系化、结构化，从而构建了欧几里得几何公理化体系. 由此可见，知识结构化是内化学生数学认知关联的“助推剂”.