小学奥数2-2-2,方程组解法综合．教师版

方程组解法综合 教学目标 1.学会用带入消元和加减消元法解方程组 2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题 知识精讲 知识点说明：
一、 方程的历史 同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元 263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。

方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。

二、 学习方程的目的 使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。

三、 解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。

消元方法：代入消元法和加减消元法 代入消元法：
⒈ 取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①；

⒉ 将①代入另一个方程，得一元一次方程；

⒊ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

⒋ 将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 加减消元法：
⒈ 变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）；

⒉ 将两条方程相加或相减消元；

⒊ 解一元一次方程；

⒋ 代入法求另一未知数． 加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入． 例题精讲 模块一、二元一次方程组 【例 1】 解方程（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法二：解 代入消元法，由得到，代入方程中，得到，整理得，所以，所以方程的解为 【答案】 【例 2】 解方程（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：加减消元法 化的系数相同，加减消元法计算得 去括号和并同类项得 方法二：代入消元法由得到，代入方程中得到，整理得，，所以方程解为 【答案】 【例 3】 解方程组（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 加减消元，若想消掉，应将的系数统一，因为，所以第一个方程应该扩大2倍，第二个式子应该扩大5倍，又因为的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：，得，所以，解得。

【答案】 【例 4】 解方程组（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将第一个式子扩大2倍和二式相减得，去括号整理解得，所以方程的解为 【例 5】 解方程组（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 对第一个方程去括号整理，根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理得：，若想消掉，将方程二扩大3倍，又因为的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：，去括号整理得，解得，所以方程的解为 【例 6】 【答案】解下面关于、的二元一次方程组：
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 整理这个方程组里的两个方程，可以得到：，可以看出，两个方程是不可能同时成立的，所以这是题目本身的问题，无解 【答案】无解 【例 7】 解方程组（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将与看出相应的未知数，因为每一项的分母不同，所以先将分母系数化成同样的，所以第二个式子等号两边同时乘以2整理得：，去括号整理后得到，根据分数的性质计算得，所以方程的解为：
模块二、多元一次方程 【例 8】 解方程组（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 观察的系数发现，第二个式子与第三个式子中的系数是3倍关系，所以将第二个式子扩大3倍与第三个式子相减得到：，去括号整理得，与第一个式子整理得，若想消掉，，因为，所以第一个方程应该扩大5倍，第二个式子应该扩大2倍，又因为的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：，去括号整理得，，所以方程解为 【巩固】 解方程组（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将一式与二式相减得去括号整理后得；
将二式扩大2倍与三式相减得，去括号整理后得；
最后将两式相加计算结果如下：，整理得，所以方程的解为：
【例 9】 解方程组（为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将5个式子相加得，将1式与2式相加得，将2式与3式相加得，同理连续相加得到，整理后解为 【答案】