7.1,复数概念（精练）（解析版）

　7.1

　复数的概念（精练）

　【题组一 实部虚部辨析】

　1． （2020·江西抚州市）若 ( 2 ) x i i y i    ，其中 , x y R  ， i 为虚数单位，则复数 zx yi  的虚部为（

　）

　A．1 B． i

　C． 2 

　D． 2i 

　【答案】C 【解析】由于 ( 2 ) x i i y i    ，则 1 x= 且2 y   ，所以 1 2 z x yi i    ，所以复数 z 的虚部为 2  . 故选：C. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）设 i 为虚数单位，则复数 5 5 z i   的实部为（

　）

　A． 5 

　B． 5i 

　C．5 D． 5i

　【答案】C 【解析】复数 5 5 z i   的实部为 5 .故选：C. 3．（2020·广西桂林市）复数 3 z i   的虚部是（

　）

　A．1 B． i

　C．-1 D． i 

　【答案】C 【解析】由复数虚部的定义得复数 3 z i   的虚部是 1  .故选：C 4．（2020·四川省成都市新都一中高二期中）复数 2 4i z    的虚部是（

　）

　A． 2 

　B．2 C． 4 

　D．4 【答案】C 【解析】因为 2 4i z    ，所以由复数定义可知虚部是 4  ，故选：C. 5．（2020·江苏宿迁市·高二期中）已知复数 1 z i   ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部为（

　）

　A． i

　B． i 

　C． 1 

　D． 1

　【答案】C 【解析】因为 1 z i   ，则虚部为 1  .故选：C. 【题组二 复数的分类】

　1．（2021·江西景德镇市）已知复数     1 i 1 i z m     是纯虚数，则实数 m （

　）

　A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D

　【解析】

　      1 i 1 i 1 1 i z m m m         ，因为 z 为纯虚数且 m 为实数，故1 01 0mm   ，故 1 m  ， 故选：D 2．（2021·甘肃兰州市·兰州一中）

　i 为虚数单位，已知复数21 ( 1) a a i    是纯虚数，则 a 等于（

　）

　A． 

　B． 1

　C． 1 

　D． 0

　【答案】C 【解析】复数21 ( 1) a a i    是纯虚数，所以21 01 0aa   ，得 1 a   .故选：C. 3．（2021·江西南昌市）设复数 i z a b   (其中 a b R  、 ， i 为虚数单位)，则“ 0 a  ”是“ z 为纯虚数”的（

　）

　A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】若复数 i z a b   是纯虚数，则 0 a  ， 0 b≠ ， 则 0 a  不能证得 z 为纯虚数， z 为纯虚数可以证得 0 a  ， 故“ 0 a  ”是“ z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B. 4．（2020·贵州毕节市）已知 a 为实数，若复数  24 ( 2) z a a i    为纯虚数，则复数 z 的虚部为（

　）

　A．2 B． 4i

　C． 2 

　D．4 【答案】D 【解析】2( 4) ( 2) z a a i     为纯虚数， 24 02 0aa   ，即 2 a  ．  复数 z 的虚部为 4． 故选：

　D ． 5．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高二期末）已知 i 为虚数单位， a R  ，复数  24 2 a a i    是纯虚数，则 a  （

　）

　A．2 B．-2 C．4 D．-2 或 2 【答案】B 【解析】因为复数  24 2 a a i    是纯虚数，所以24 0, 2 0 2 a a a       故选：B

　6．（2020·北京市八一中学高二期中）若复数 ( 1) (2 ) z m m i     （ m R ）是纯虚数，则 m ______ 【答案】-1 【解析】复数 ( 1) (2 ) z m m i     （ m R ）是纯虚数，则1 02 0mm   ，所以 1 m   . 故答案为：-1 7．（2019·河南洛阳市·高二期中（文））已知复数22 3 ( 3) z m m m i      为纯虚数，则实数 m_____________ 【答案】

　1 

　【解析】由题意，复数22 3 ( 3) z m m m i      为纯虚数， 则满足22 3 03 0m mm    ，解得 1 m   ，即实数 m 的值为 1  . 故答案为：

　1  . 8．（2020·林芝市第二高级中学）实数 m 取怎样的值时，复数  22 15 3 m m z i m     是：

　（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 【答案】（1）

　5 m  或 3 m   ；（2）

　5 m  且 3 m   ；（3）

　3 m  . 【解析】（1）若22 15 0 m m   ，则 z 为实数，此时 3 m   或者 5 m  . （2）若22 15 0 m m   ，则 z 为虚数，此时 3 m   且 5 m  . （3）若23 02 15 0mm m     ，则 z 为纯虚数，此时 3 m  . 9．（2020·辽源市田家炳高级中学校）已知复数     1 1 z m m i m R      . （1）

　m 取什么值时， z 为实数； （2）

　m 取什么值时， z 为纯虚数. 【答案】（1）

　1 m  （2）

　1 m  

　【解析】（1）复数     1 1 z m m i m R      ，若 z 为实数，则 1 0 m  ，即 1 m 

　（2）若 z 为纯虚数，则1 01 0mm   ，解得 1 m  

　10．（2021·江西上饶市）已知 m 为实数， i 为虚数单位，设复数    2 25 6 2 5 3 z m m m m i      . （1）当复数 z 为纯虚数时，求 m 的值； （2）当复数 z 对应的复点在直线 7 0 x y    的右下方，求 m 的取值范围. 【答案】（1）

　2  ；（2）

　( 4,4)  . 【解析】（1）由题意得：225 6 02 5 3 0m mm m     ，解得 2 m   ； （2）复数 z 对应的点的坐标为2 2( 5 6,2 5 3) m m m m     ， 直线 7 0 x y    的右下方的点的坐标   , x y 应满足 7 0 x y    ， 所以2 2( 5 6) (2 5 3) 7 0 m m m m        ， 解得 4 4 m    ，所以 m 的取值范围为 ( 4,4)  . 【题组三 复数的几何意义-- 复平面】

　1．（2019·重庆市江津第六中学校高二期中）在复平面内，复数 1 i   所对应的点位于（

　）

　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题, 1 i   在复平面内对应的点为  1,1 ,在第二象限,故选:B 2．（2020·甘肃省岷县第二中学）若 , a bR ，则复数    2 24 5 2 6 a a b b i      表示的点在（

　）

　A．在第一象限 B．在第二象限

　C．在第三象限 D ．在第四象限 【答案】D 【解析】因为  224 5 2 1 0 a a a       ，  222 6 1 5 0 b b b         ， 所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限.故选：D 3．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））复数    2lg 2 2 2 1 ( )x xz x i x R      在复平面内对应的点位于（

　）

　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数    2lg 2 2 2 1 ( )x xz x i x R      的实部  2lg 2 a x   、虚部   2 2 1x xb   . 因为  2 22 2 1 lg 2 0 x x      ,所以 0 a  . 因为 2 1 1 2 2 2 0 2x x x x        ,所以 0 b  . 所以复数 z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C 4．（2020·朔州市朔城区第一中学校）设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12 z i   ，则2z =（

　）

　A． 2 i 

　B． 2 i  

　C． 2 i 

　D． 2 i  

　【答案】B 【解析】12 z i   ，1z  在复平面内对应点的坐标为 (2,1) ， 由复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称， 可知2z 在复平面内对应的点的坐标为 ( 2,1)  ，22 z i     ，故选：

　B ． 5．（2020·重庆高二期中）已知    21 4 Z m m i    在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是____. 【答案】

　  , 2  

　【解析】

　   21 4 Z m m i    在复平面内对应的点  21, 4 m m  在第二象限，所以21 04 0mm   ， 解得 2 m   ，即实数 m 的取值范围是   , 2   .故答案为：

　  , 2  

　6． （2020·浙江台州市·高二期中）已知复数    2 2lg 2 2 3 z m m m m i     若复数 z 是实数，则实数 m________；若复数 z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________. 【答案】

　3 

　 21 2 m   

　 【解析】

　z 为实数，则22 3 0 m m    ，解得1 m  或 3  ，又22 0 m m  ，所以 3 m   ．

　z 对应点在第二象限，则22lg( 2 ) 02 3 0m mm m    ，解得 21 2 m   ． 故答案为：

　3  ； 21 2 m   ． 7（2021·宁夏长庆高级中学）在复平面内，复数    22 2 z m m m i     对应的点在第一象限，求实数 m 的取值范围是________． 【答案】

　    2, 1 2,   

　【解析】根据题意得出22 02 0mm m    ，解得 2 1 m     或 >2 m ，所以实数 m 的取值范围是    2, 1 2,    ．故答案为：

　    2, 1 2,    ． 【题组四 复数的几何意义-- 模长】

　1．（2021·浙江高二期末）已知 a R  ，若有 5 a i   （ i 为虚数单位），则 a  （

　）

　A．1 B． 2 

　C． 2 

　D． 

　【答案】C 【解析】因为 a R  所以2 2( 1) 5 a i a      ，即21 5 a   ，解得 2 a   ，故选：C 2．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）设复数 z 满足 1 z i   ， z 在复平面内对应的点为   , x y 则 x ， y 满足的关系式为______. 【答案】2 2( 1) 1 y x   

　【解析】由题意，设复数 ( , ) z x yi x y R    ， 因为 1 z i   ，可得2 2( 1) 1 x y    ，整理得2 2( 1) 1 y x    ， 即复数 z 在复平面内对应的点为   , x y 则, x y 满足的关系式为2 2( 1) 1 y x    . 故答案为：2 2( 1) 1 y x    . 3．（2021·江苏高二）已知 a ， b R  ，   1 2 3 ai b a i     ，则 a  ______， 3 a bi   ______. 【答案】

　3 

　 3 2

　【解析】∵   1 2 3 ai b a i     ∴12 3ba a  ，解得31ab  ，

　则 223 3 3 3 3 18 3 2 a bi i         ， 故答案为：（1）

　3  ；（2）

　3 2

　4．（2020·北京人大附中高二月考）已知 i 是虚数单位，若 1 z i   ，则22 z z   ________. 【答案】

　2

　【解析】根据复数模的计算公式得：2 22 1 2 + 2 2 2 z z i i i       .故答案为：

　2

　5．（2020·上海市通河中学高二期中）若 z C  且 3 4 2 z i    ，则 z 的取值范围为__________． 【答案】

　  3,7

　【解析】

　3 4 2 z i    的几何意义为复平面内 动点 Z 到定点   3, 4 A   的距离小于等于 2 的点的集合， z 表示复平面内动点 Z 到原点的距离， ∵2 2| | ( 3) ( 4) 5 OA      ， 5 2 5 2 z      . ∴ z 的取值范围为   3,7 ． 故答案为：

　  3,7 ． 【题组五 复数综合应用】

　1．（多选）（2020·江苏泰州市·高二期末）已知复数 1 z i   （其中 i 为虚数单位），则以下说法正确的有（

　）

　A．复数 z 的虚部为 i

　B． 2 z 

　C．复数 z 的共轭复数1 z i   D．复数 z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BCD 【解析】因为复数 1 z i   ， 所以其虚部为 1 ，即 A 错误； 2 21 1 2 z    ，故 B 正确； 复数 z 的共轭复数1 z i  ，故 C 正确；

　复数 z 在复平面内对应的点为   1,1 ，显然位于第一象限，故 D 正确. 故选：BCD. 2．（2020·重庆高二期末）若复数 1 2 z i   （ i 为虚数单位），则下列命题正确的是（

　）

　A． z 是纯虚数 B． z 的实部为 2 C． z 的共轭复数为 1 2i  

　D． z 的模为5

　【答案】D 【解析】复数 1 2 z i   （ i 为虚数单位）显然不是纯虚数， 1 2 z i   的实部是 1， z 的共轭复数为 1 2i  ，5 z  ，故 D 正确，故选：D. 3．（2020·山东聊城市·高二期末）已知复数 z 在复平面上对应的点为  1,1 ，则（

　）

　A． z i  是实数（ i 为虚数单位）

　B． z i  是纯虚数（ i 为虚数单位）

　C． 1 z 是实数 D． 1 z 是纯虚数 【答案】D 【解析】由题意可得， 1 z i    ，则 1 z i   为纯虚数， 1 2 z i i     是虚数，但不是纯虚数， 故选：D． 4．（2020·咸阳百灵学校）关于复数 3－4 i 的说法正确的是（

　）

　①实部和虚部分别为 3 和-4；②复数模为 5 ③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为 3+4 i A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】C 【解析】复数 3－4 i 的实部和虚部分别为 3 和-4，①正确；复数模为 5，②正确； 在复平面内对应的点为 (3, 4)  在第四象限，③正确；复数 3－4 i 的共轭复数为 3+4 i ，④正确.故选：C.