理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之11三角函数综合应用

专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 2019年 1.(2019江苏18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P､Q,并修建两段直线型道路PB､QA.规划要求:线段PB､QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A､B到直线l的距离分别为AC和BD(C､D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长; (2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由; (3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P､Q两点间的距离. 2010-2018年 一､选择题 1.(2018北京)在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当,变化时,的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2016年浙江)设函数,则的最小正周期 A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关 3.(2015陕西)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 A.5 B.6 C.8 D.10 4(2015浙江)存在函数满足,对任意都有 A. B. C. D. 5.(2015新课标Ⅱ)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数,则的图像大致为 A B C D 6.(2014新课标Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为 A. B. C. D. 7.(2015湖南)已知函数则函数的图象的一条对称轴是 A. B. C. D. 二､填空题 8.(2016年浙江)已知,则=__,=__. 9.(2016江苏省) 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点 个数是 . 10.(2014陕西)设,向量,若, 则_______. 11.(2012湖南)函数的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点. (1)若,点P的坐标为(0,),则 ; (2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为 . 三､解答题 12.(2018江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为. (1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围; (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大. 13.(2017江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒,其长度为40cm.(容器厚度､玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度; (2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度. 14.(2015山东)设. (Ⅰ)求的单调区间; (Ⅱ)在锐角△中,角,的对边分别为,若,,求△面积的最大值. 15.(2014湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)的变化近似满足函数关系:,. (Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温? 16.(2014陕西)的内角所对的边分别为. (I)若成等差数列,证明:; (II)若成等比数列,求的最小值. 17.(2013福建)已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式; (2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由. (3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点. 专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 答案部分 2019年 1.解析 解法一: (1)过A作,垂足为E. 由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.＇ 因为PB⊥AB, 所以. 所以. 因此道路PB的长为15(百米). (2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处,联结AD,由(1)知, 从而,所以∠BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此,Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求. 设为l上一点,且,由(1)知,B=15, 此时; 当∠OBP>90°时,在中,. 由上可知,d≥15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+. 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+(百米). 解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,−3. 因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A(4,3),B(−4,−3),直线AB的斜率为. 因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为, 直线PB的方程为. 所以P(−13,9),. 因此道路PB的长为15(百米). (2)①若P在D处,取线段BD上一点E(−4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处,联结AD,由(1)知D(−4,9),又A(4,3), 所以线段AD:. 在线段AD上取点M(3,),因为, 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求. 设为l上一点,且,由(1)知,B=15,此时(−13,9); 当∠OBP>90°时,在中,. 由上可知,d≥15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当P(−13,9),Q(,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离 . 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(百米) 2010-2018年 1.C【解析】由题意可得 (其中,),∵, ∴,, ∴当时,取得最大值3,故选C. 2.B【解析】由于. 当时,的最小正周期为; 当时,的最小正周期; 的变化会引起的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选B. 注:在函数中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍数. 3.C【解析】由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C. 4.D【解析】对于A,当或时,均为1,而与此时均有两个值,故A､B错误;对于C,当或时,,而由两个值,故C错误,选D. 5.B【解析】由于,故排除选项C､D;当点在上时,.不难发现的图象是非线性,排除A. 6.C【解析】由题意知,,当时,;当时,,故选C. 7.A【解析】由, 得,所以,所以, 由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同, 令,则,所以函数的图象的对称轴为 ,当,得,选A. 8. 【解析】,所以 9.7【解析】画出函数图象草图,共7个交点. 10.【解析】∵,∴,∴,∵, ∴. 11.(1)3;(2)【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时; (2)曲线的半周期为,由图知, ,设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则, 由几何概型知该点在△ABC内的概率为. 12.【解析】(1)连结并延长交于,则⊥,所以=10. 过作⊥于,则∥,所以, 故,, 则矩形的面积为, 的面积为. 过作⊥,分别交圆弧和的延长线于和,则. 令,则,. 当时,才能作出满足条件的矩形, 所以的取值范围是. 答:矩形的面积为平方米,的面积为 ,的取值范围是. (2)因为甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3, 设甲的单位面积的年产值为,乙的单位面积的年产值为, 则年总产值为 ,. 设,, 则. 令,得, 当时,,所以为增函数; 当时,,所以为减函数, 因此,当时,取到最大值. 答:当时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大. 13.【解析】(1)由正棱柱的定义,平面, 所以平面平面,. 记玻璃棒的另一端落在上点处. 因为,. 所以,从而. 记与水平的交点为,过作,为垂足, 则平面,故, 从而. 答:玻璃棒没入水中部分的长度为16cm. ( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm) (2)如图,,是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义,⊥平面 , 所以平面⊥平面,⊥. 同理,平面⊥平面,⊥. 记玻璃棒的另一端落在上点处. 过作⊥,为垂足, 则==32. 因为= 14,= 62, 所以= ,从而. 设则. 因为,所以. 在中,由正弦定理可得,解得. 因为,所以. 于是 . 记与水面的交点为,过作,为垂足,则 ⊥平面,故=12,从而 =. 答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm) 14.【解析】(Ⅰ)由题意 . 由(),可得(); 由(),得(); 所以的单调递增区间是(); 单调递减区间是(). (Ⅱ),, 由题意是锐角,所以 . 由余弦定理:, 可得 ,且当时成立. .面积最大值为. 15.【解析】(Ⅰ)因为, 又,所以,, 当时,;当时,; 于是在上取得最大值12,取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为,最低温度为,最大温差为 (Ⅱ)依题意,当时实验室需要降温. 由(Ⅰ)得, 所以,即, 又,因此,即, 故在10时至18时实验室需要降温. 16.【解析】(1)成等差数列, 由正弦定理得 (2)成等比数列, 由余弦定理得 (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) 即,所以的最小值为 17.【解析】(Ⅰ)由函数的周期为,,得 又曲线的一个对称中心为, 故,得,所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 (Ⅱ)当时,,, 所以. 问题转化为方程在内是否有解 设, 则 因为,所以,在内单调递增 又, 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, 即存在唯一的满足题意. (Ⅲ)依题意,,令 当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, 现研究时方程解的情况 令, 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ,令,得或. 当变化时,和变化情况如下表 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以 综上,当,时,函数在内恰有个零点