证明数集的上下确界 [数集，确界原理]

　 §1.2　数集，确界原理

　本节主要教学内容：区间与邻域，确界及确界原理。

　教学方法与设计：重点讲授确界的概念并补充例题，对确界原理则以讲授其证明方法为主，同时说明确界原理在本课程中的地位和作用。

　一、区间与邻域

　1、区间：

　开、闭、半开半闭、有限区间、无限区间，（几何表示，集合表示）

　2、邻域

　点的δ领域

　去心领域

　左、右领域

　无穷大的领域： 二、有界集，确界原理

　1、有界的概念

　1o、设R，若，则称为有上界（下界）的数集，M（L）称为的一个上界（下界）。

　2 o、若既有上界又有下界，则称为有界集，否则称为无界集。

　说明：（1）S为有界集，。此时称为的一个界。

　（2）S为无界集S无上界或S无下界， 有。

　（3）界：只强调存在，不强调大小；若M为S的一个界，则比M大的正数皆可作为S的界

　例：S={1，2}，既有上界（）又有下界，于是S有界（）。

　S=（a、b），既有上界（）又有下界，于是S有界（）。

　S=N，有下界但无上界。

　有上界但无下界。

　2、确界的概念

　最小的上界称为上确界，最大的下界称为下确界，即：

　（1）设S为R中的非空数集，若满足：

　（i）;

　（ii）的最小上界.

　则称数为S的上确界，记为

　 （supremum上确界的简写）

　（2）设S为R中的非空数集，若满足：

　（i）；

　（ii）是的最大下界。

　则称数为的下确界，记为(infimum下确界的简写)。上下确界统称确界。

　说明： （1）若S存在上、下确界，则。

　（2）S的上（下）确界可能属于S，也可能不属于S，若属于则相等。

　（3）若S存在上（下）确界，则唯一。

　（4）最大（小）性的表示：

　（ii）使。

　使

　例：（1）则。

　 （2）S=，则。

　证明：（2）只证。(i)有 ，即1为的上界；(ii)要证，只要，所以，有。

　例：设S有上确界，证明：

　证明：必要性。由上确界定义,有，又故

　充分性：（i）有，即是S的上界；（ii），则。由上确界的定义有：。

　同理可证：。

　3、确界原理：

　（i）设S为非空数集，若S上界，则S必有上确界；且唯一。

　（ii）设S为非空数集，若S下界，则S必有下确界；且唯一。

　证明：只证明（i）

　思路：1o、根据实数的表示法和上界的性质构造一个实数。

　2o、根据上确界的定义及数的构造证明数就是上确界，

　1o、不妨设S含有非负数，由于S有上界，故可找到非负整数使得：（1），（2）

　将（n、n+1）10等分，分点为n.1，n.2则0，1，中的一个数n1，使得：（1）使；（2）使1≥nn1

　将（nn1，nn1+）10等分，则0，1，中的一个数，使得：（1）；（2）n1n2。

　将上述步骤无限继续下去，可知对使得：（1）；（2）使得：k≥nn1n2。

　于是得一实数=nn1n2。

　2o、下证：：

　（1）。反证法：若，则由实数的性质使的位不足近似值k＞n1n2，从而，

　这与的构造（1）矛盾

　（2），

　∵，则由实数的性质，使，即nn1n2。由的构造（2），n1n2。从而有 o≥k＞

　综合（1）、（2）得。

　同理可证（ii）

　说明：数学分析的理论基础是极限理论，而极限理论是建立在实数理论的基础之上的（见本教材第七章），实数连续性定理共有6个，它们彼此是相互等价的，该定理为第一个，其他定理将在此基础之上展开。

　实数连续性定理及极限理论是本课程内容中最难以理解与掌握的部分，同学们要予以高度的重视，同时也不要急于求成，要反复学习与训练，方可理解其精髓，因此要有足够的耐心、信心。

　4、确界的性质

　（1）设为非空数集，若有，证明：有上确界，有下确界，且。

　证明：由条件知，均是的一个上界均是的一个下界，由上确界的定义有，此式表明是的下界，由下确界的定义知

　（2）设非空有界，，证明：

　（i），（ii）

　证明：∵非空有界，∴非空有界，故有上、下确界。

　（i）：1o、有，故有与，于是有

　与，∴。

　2 o、有或，故有或于是有

　,∴

　综合（1）、（2）知（i）得证。同理可证（ii）。

　（3）P9、习题6：设S为非空数集，定义，证明：

　与 。

　 请同学们自己证明。

　（4）P9、习题7：设皆为非空有界数集，定义，证明：

　 （i）

　 （ii）

　证明：（i），使，而

　，∴从而有

　（Ⅰ）

　又,故有，对在A取上确界得，再对在B取上确界得

　(Ⅱ)

　综合（Ⅰ）（Ⅱ）得（i）成立

　说明：注意证明两个数相等的方法，特别是证明与集合有关的数相等的方法。

　5、确界的推广

　（1）将+∞、-∞补充到实数集中，，规定-∞＜＜+∞

　（2）非正常上、下确界：S无上界，S无下界

　（3）推广的确界原理：任何非空数集皆有上、下确界。

　P9、习题