线性规划应用教案

　线性规划的实际应用

　教学目标

　（ 1 ）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；

　（ 2 ）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

　重点难点

　 理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点。

　如何将实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点。

　情感态度与价值观：（ 1 ）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生 “ 建模 ” 和解决实际问题的能力，同时在学生解决问题的过程中渗透环保意义，使学生认识环保的重要性；

　（ 2 ）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和 “ 用数学 ” 的意识，激励学生勇于创新．

　教学步骤

　（一）引入新课

　我们已研究过以二元一次不等式组为约束条件的二元线性目标函数的线性规划问题。那么是否有多个两个变量的线性规划问题呢？又什么样的问题不用线性规划知识来解决呢？

　（二）新课：

　1 。线性规划问题的教学模型

　线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题，一般地，线性规划问题的数字模型是     0 , 0002 2 21 1 1y xC y B x AC y B x A

　（这里≥号可改为≤， = 号）

　目标函数：by ax z  ，已知其中b a C C B B A A , , , , , , ,2 1 2 1 2 1都是常数，求目标函数：by ax z  的最大值或最小值。

　2 ．线性规划在实际中的应用

　线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见问题有：

　（ 1 ）．物调运问题

　例如，已知2 1 ,AA两煤矿每年的产量，煤需经2 1 ,BB两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知2 1 ,BB两煤矿运往2 1 ,AA两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小？

　（ 2 ）．产品安排问题

　例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A 、 B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大？

　（ 3 ）．下料问题

　例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？

　探究活动

　如何确定水电站的位置

　小河同侧有两个村庄 A ， B ，两村庄计划于河上共建一水电站发电供两村使用．已知

　A ， B 两村到河边的垂直距离分别为 300m 和 700m ，且两村相距 500m ，问水电站建于何处，送电到两村电线用料最省？

　[ 解 ] 视两村庄为两点 A ， B ，小河为一条直线 L ，原问题便转化成在直线上找一点 P ，使 P点到 A ， B 两点距离之和为最小的问题．

　以 L 所在直线为x 轴， y 轴通过 A 点建立直角坐标系，如图所示．作 A 关于 x 轴的对称点1A，连接2 1 BA，2 1 BA与X 轴交于点 P ．由平面几何知识得，点 P 即为所求．据已知条件，A （ 0 ， 300 ），1A （ 0 ，－ 300 ）．过 B 作 x BB 1轴于点1B，过 A 作1BB AH 于点 H ．

　由 |1BB |=700 ， |BH|=700-300=400 ， |AB|=500 ，得 B （ 300 ， 700 ）．于是直线B A 1的方程为300300700 300700  x y

　即300310  x y 所以 P 点的坐标即为B A 1与 x 轴的交点（ 90 ， 0 ），即水电站应建在河边两村间且离A 村距河边的最近点 90 m 的地方。

　（三）小结：通过上面的分析要解决实际问题，要善于将实际问题转化为数学问题，找相应的数学模型，解决数学问题，就能解决实际问题。

　（四）课堂练习：《世纪金榜》练习 （五）作业：了解环保方面的知识，联系数学知识解决。

　应用基本不等式解应用题

　 高二数学：罗月娟 （一）教学目标

　 1 ．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的 2 倍的重要不等式；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．

　2 ．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想，环保意识。

　（三）教学重点、难点、关键

　重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．

　难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．

　关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．

　（一）．引入新课 复习回顾：若 a，b 都是正数，则 （1）

　ab b a 2  

　（2）4) (22b aabb aab 

　当且仅当 a=b 时取等号。

　（二）新课讲解：

　在上述的两个结论中，要注意：（1）x，y 一定是正数；（2）求和 x+y 的最小值时，应看xy 是否为定值，求积 xy 的最大值时，应看 x+y 是否为定值：（3）“=”号是否成立 简记为：

　一正

　二定

　 三相等 1．引例：已知xx x1, 0   求 的最小值。

　讲解上面的三个条件都满足。

　2．学习课本例题：两个实际问题. 某小区要建两个大小相等的矩形草坪，占地面积 600 平方米，草坪四周各留空地 5 米，问怎样设计草坪的长和宽，使整个草坪和小路的总面积最小。

　解：设每块草坪的长为 x 米，则宽为 y 米，整个草坪和小路的总面积为 z 平方米，依题意有

　xy=300 ) 10 )( 15 2 (    y x Z

　 1350750 300 2750 300 2750 15 20 2750 15 20150 15 20 2           xyy xy xy x xy 当且仅当 20x=15y 时，等号成立，由 y xxy15 20300

　得2015yx 答：当每块草坪的长为 15 米，宽为 20 米，总占地面积最小，最小为 1350 平方米。

　（三）课堂练习：课后练习 1，2 （四）课堂小结：通过基本不等式解决有关最大最小的问题，学会如何将实际问题转化为数学问题，领会数学的化归思想，在学习的过程中，学习一些环保知识，增强环保意识。

　（五）作业：课后习题 1，2，3。