三视图命题规律总结

　三视图命题规律总结

　三视图是从三个不同视角反映出的图形信息,每个视角都只能反映几何体的局部信息，并且随着几何体、几何体放置位置等条件的改变，视图也在改变，所以从开发学生空间想象能力的角度出发,三视图在高中课本中出现以来，一直是高考的“宠儿”.本文通过例题来探索高考中三视图的命题规律. 一、几何体结构定性识别 例 例 1 如图，△ ABC 为正三角形，AA//BB //CC , CC ⊥平面 ABC 且3AA=32BB=CC =AB,则多面体△ABC - ABC    的正视图（也称主视图）是（

　 ）

　：

　解析：对照几何体来画它的三视图，本题从外向内看，看到 AB、 AA 、 BB 、, , AB AC BC       这六条线， CC 被遮挡，画为虚线，C 的投影为 AB 的中点，故答案为 D. 点评：对照直观图、实物模型画出三视图，这类问题是三视图问题中的基础题，解答时要注重实物模型的引导作用，关键要把握住几何体的属性，只有这样才有可能正确的描述几何体的三视图. 拟 模拟 1 下图是一个球体与一个圆台的组合体，则此组合体的俯视图可能是（

　 ）

　 A.（2）（3）（5）

　 B.（1）（3）（5）

　 C.（1）（2）（3）（5）

　 D.（2）（3）（4）（5）

　提示：当组合体上部球的半径大于圆台下底面圆的半径时，组合体的俯视图为（3）；当组合体上部球的半径等于圆台下底面圆的半径时，组合体的俯视图为（5）； 当组合体上部球的半径小于圆台下底面圆的半径时，组合体的俯视图为（2）； 组合体的俯视图不可能为（1）（4），故选 A. 二、几何体直观图与三视图的转化

　例 例 2 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（

　）

　解析：本题主要是确定去掉的小长方体在原长方体什么位置.解题时先要把三视图转化为直观图，再由直观图转化到三视图.其实只要根据正视图就可以发现长方体是去掉左上角靠近前面的一个小长方体，由左视图可以进一步确认该几何体的俯视图为选项 C.

　小结：“对应位置对比看，联想比照视图看”，几何体中的元素在三视图中都会有所体现，三视图中表现几何体同一元素的部分，就是此元素在几何体中的对应位置.由三视图确定直观图时先注意三个视图的共性，联想几何体的大致形状，再由三视图的差异，确定几何体；由直观图画三视图时，注意寻找对应位置，先联想三视图的某一部分，再由“长对正、高平齐、宽相等”的原理对比确定联想是否正确. 拟 模拟 2 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右，俯视图是边长为 2 的正三角形，侧视图是有一直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 (

　)

　 A．

　 B．

　C．

　D． 提示：根据三视图间的关系知，该三棱锥的底面是边长为 2 的正三角形，外侧面是直角边为 2 的等腰直角三角形，且外侧面垂直于底面．故选 C. 三、几何体的性质 例 例 3 如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为

　. 解析：由多面体的三视图知，该多面体是一个四棱锥 P—ABCD，如图所示，底面是一个边长为 2 的正方形，PA⊥底面 ABCD，且 PA=2，那么 PC 就是所求的最长的一条棱，而PC=2 2) 2 2 ( 2  =2 3 ； AC=2 2 ， 那 么

　 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 俯视图 侧视图 DCBAP

　小结：解决三视图问题时，要能根据三视图准确提炼出几何体中的线线关系、线面关系、面面位置关系，以及各种关键的长度数据．对于一些常见的几何体，要熟悉它的三视图和简单几何性质. 拟 模拟 3 四棱柱 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 的三视图如图所示：则 下列命题正确的是

　（把所有正确命题的序号都填上）

　①1 15 AC  ；②1 1DC AC  ；③045 BCD   ； ④1AD BCD 平面 . 提示：由三视图可知四棱柱 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 直观图 如图所示，所以2 21 1 15 AC AD DC    ，①正确； 因为1 1AD D DCC  面 ，所以1AD DC  ，又因为四边形 1 1D DCC 为正方形，所以1 1DC DC  ，可得1 1DC AC D  面

　所以1 1DC AC  ，②正确；在下底面梯形中容易算出 045 BCD   ，故③正确；1 1AD AD ，所以1AD BCD 平面 ， ④正确.正确命题的序号为①②③④.

　四、几何体的面积和体积 例 例 4 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（

　 ）

　A.3523cm 3

　B.3203cm 3

　C.2243cm 3

　D.1603cm 3

　解析：由三视图知该几何体是一个上面是长方体、下面为正四棱台的组合体，对应的长方体长、宽、高分别为4、4、2，正四棱台的上底边长为 4，下底边长为 8，高为2，那么相应的体积. 小结：此类问题在高考中考查最为频繁，是三视图这一热点中的热点，解答的关键是由三视图想象出这个几何体的构成，画出其直观图. 拟 模拟 4 一个装修工人用 14 个边长为 1 m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么他涂色的总共面积为

　 . 提示：

　法一：直接求解；法二：利用三视图 分别画出该组合体的三视图如下：根据三视图可知其露出的表面积为 33 9 2 6 2 6      （2m ）.

　侧 视 图 正 视 图 B

　俯视图 A

　C

　1 1 1A

　1B

　1C

　2 1A

　1D

　A

　D

　1 1A

　1C1D

　1B

　A

　B

　C D 1A

　1C

　1B

　1D

　 主视图 左视图

　 五、立体几何知识综合运用 例 例 5 一个多面体的直观图和三视图（正视图、左视图、俯视图）如图所示，M、N 分别为 A 1 B、B 1 C 1 的中点. 求证：（1）MN∥平面 ACC 1 A 1 ； （2）MN⊥平面 A 1 BC； （3）求多面体 A 1 B 1 BC 的体积. ：

　解析：（1）证明：由三视图可得：1 1 1ABC ABC 为直三棱柱，底面是直角三角形， BC AC 

　连结

　1 1, B A AC1B A C  中， , M N 分别是1 1 1, B A BC 的中点1/ / MN AC 

　而1 1 1 1, MN ACC A AC ACC A   面 面 ，1 1/ / MN ACC A  面

　（2）证明：1 1 1 1, AC AC BC ACC A  面 ，1 1, AC BC BC AC C     又

　1 1 1, / / AC A BC MN AC   面 又1/ / MN A BC  面

　（3）解：1 1 1 1 1 1 131 13 6A ABC C A B C ABC A B CV V V a    

　1 1 1 1 1 1 1 1 1316A B BC ABC A B C A ABC C A B CV V V V a       . 小结：立体几何的主要问题就是平行垂直的定性判断与角、距离、体积、表面积的定量运算，在三视图这一知识背景下，把这些问题糅合在一起考查，较好的体现了新课标的精神，但不管怎样，随着新课改的进一步推进，各个省市对三视图的考查将会稳定于以上五种形式. 拟 模拟 5 已知长方体的一条体对角线长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条对角线的投影长为 6 ,侧视图中,这条对角线的投影长为 3 ,则俯视图中,这条对角线的投影长为 (

　 ) A. 2

　B.2

　 C. 2 3

　 D. 5

　提示:设长方体的棱长分别为 a,b,c(c 为高),则2 2 22 22 2763a b ca cb c     ,则212abc,则俯视图中,投影长为2 25 a b   ，故选 D.