第8讲　分式方程（讲练）（原卷版）

　战 备战 2021 年中考数学总复习一轮讲练测 第 二 单元

　方程（组）与不等式（组）

　第 第 8 讲

　分式方程

　 1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因； 2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根； 3.会列分式方程解决实际问题.

　1．（2018•荆州）解分式方程 ﹣3＝ 时，去分母可得（

　）

　A．1﹣3（x﹣2）＝4 B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4

　C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4 D．1﹣3（2﹣x）＝4 2．（2020•长兴县一模）关于 x 的分式方程 ﹣1＝2 的解是（

　）

　A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝

　3．（2020•瓜州县一模）A，B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（

　）

　A．

　B．

　 C． +4＝9 D．

　4．（2019•平邑县一模）关于 x 的方程 的解为 x＝1，则 a＝（

　）

　A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 5.（2020•义乌市模拟）对于实数 a、b，定义一种新运算“Θ”为：aΘb＝ ，例如：1Θ2＝ ，则 xΘ（﹣2）＝ ﹣1 的解是（

　）

　A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 6．（2020 春•北仑区期末）若分式方程 ＝4﹣ 无解，则 a 的值为

　． 7．（2019 秋•正定县期末）关于 x 的分式方程 的解为正数，则 m 的值为

　． 8．（2020 春•东阳市期末）小明在解一道分式方程 ，过程如下：

　第一步：方程整理

　第二步：去分母„ （1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是

　、

　； （2）请把以上解分式方程过程补充完整． 9.（2019•翁牛特旗模拟）解方程：

　﹣ ＝ ．

　1． ． 分式方程的概念：

　 的方程叫做分式方程． ． 2． ． 分式方程的解法：

　(1) 基本思路：分式方程转化为整式方程． ． (2)：

　基本方法和步骤：

　① 去分母：在方程两边同时都乘

　 ； 转化为整式方程； ② 解这个整式方程； ③ 检验：把求得的根代入

　， ，使 使

　的就是原方程的根 ， 使最简公分母＝ ＝0 的 的就是增根 ， 应舍去 ． 有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验． ． 3． ． 分式方程的 增根 ：解分式方程时 ， 把分式方程转化为整式方程这一过程中 ， 产生了使原于 分式方程的最简公分母等于 0 的未知数的值 ， 称为 增根． ． 4． ． 分式方程的应用：

　列分式方程解应用题的一般步骤：审 审( 审清题意)、 、设 设( 设未知数)、 、找 找( 找相等关系)、 、列 列(列 列方程)、 、解 解( 解出这个方程)、 、验 验( 既要检验所得的根是否是所列分式方程的根 ， 又要检验这个根是否符合题意) 、答( 写出答案) ．

　 【考点一

　解分式方程及分式方程的解】

　例 1．（2019•衢州一模）解分式方程：

　﹣1＝ ．

　【变式训练】

　1．（2019•平顶山二模）已知分式方程 ﹣ ＝1，去分母后得（

　）

　A．x（x+2）﹣1＝1 B．x（x﹣2）﹣1＝x 2 ﹣4

　 C．x（x+2）﹣1＝x 2 ﹣4 D．x﹣1＝x 2 ﹣4 2．（2019•拱墅区校级模拟）在正数范围内定义一种运算“△”，其规则是 a△b＝ ，根据这一规则，方程 x△（x+1）＝ 的解是

　． 3．（2020•滨州模拟）数学家们在研究 15、12、10 这三个数的倒数时发现：

　﹣ ＝ ﹣．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如 6、3、2 也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x＞5），则 x 的值是

　． 4．（2020•下城区一模）解分式方程 ＝ ﹣2 圆圆的解答如下：

　解：去分母，得 1﹣x＝﹣1﹣2 化简，得 x＝4 经检验，x＝4 是原方程的解． ∴原方程的解为 x＝4． 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 5.（2020•甘肃模拟）如图，点 A、B 在数轴上且点 A 在点 B 的左侧，它们所对应的数分别是 和 ． （1）当 x＝1.5 时，求 AB 的长． （2）当点 A 到原点的距离比 B 到原点的距离多 3，求 x 的值．

　 【考点二

　分式方程的增根问题】

　例 2．（2019 春•兰州期末）分式方程 ＝ ﹣3 有增根，则增根为

　，a 为

　． 【变式训练】

　1．（2020•武威模拟）若分式方程 2+ ＝ 有增根，则 k 的值为（

　）

　A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．（2018•上城区二模）已知关于 x 的方程 的解为正数，则 k 的取值范围是（

　）

　A．k＞﹣1 B．k＞1

　C．k＞﹣1 且 k≠1 D．k＞1 且 k≠2 3．（2020•甘南县模拟）已知关于 x 的分式方程 的解是非负数，则 m 的取值范围是

　． 4.（2019 春•越城区期末）若关于 x 的方程 ＝ +1 无解，则 a 的值是

　 ． 5.（2020•拱墅区校级模拟）（1）若解关于 x 的分式方程 + ＝ 会产生增根，求m 的值． （2）若方程 ＝﹣1 的解是正数，求 a 的取值范围． 【考点三

　分式方程的应用】

　例 3．（2020•萧山区一模）某公司研发生产的 560 件新产品需要精加工后才能投放市场．现由甲、乙两个工厂来加工生产，已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的 1.5 倍，并且加工生产 240 件新产品甲工厂比乙工厂少用 4 天． （1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品？ （2）若甲工厂每天的加工生产成本为 2.8 万元，乙工厂每天的加工生产成本为 2.4 万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过 60 万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？ 【变式训练】

　1．（2020•上城区一模）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，杭州上塘高架路上共 22km 的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均

　提升了 15%，节省时间 5 分钟，设提速前车辆平均速度为 xkm/h，则下列方程正确的是（

　）

　A． ﹣ ＝5 B． ﹣ ＝

　 C． ﹣ ＝5 D． ﹣ ＝

　2．（2019•西宁一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长 3000 米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“„”，设实际每天铺设管道 x 米，则可得方程 ，根据此情景，题中用“„”表示的缺失的条件应补为（

　）

　A．每天比原计划多铺设 10 米，结果延期 15 天才完成

　B．每天比原计划少铺设 10 米，结果延期 15 天才完成

　C．每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 15 天才完成

　D．每天比原计划少铺设 10 米，结果提前 15 天才完成 3．（2020•温岭市校级一模）某市要筑一水坝，需要在规定天数内完成，如果由甲队去做，恰能如期完成；如果由乙队去做，需超过规定天数三天．现由甲、乙两队合作 2 天后，余下的工程由乙队独自做，恰好在规定天数内完成．设规定的天数为 x，下面所列方程正确的是（

　）

　A．

　B．

　 C．

　D．

　4．（2018 秋•仙居县期末）某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的 1.5倍；若由甲队先做 10 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 30 天刚好如期完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 2.5 万元，乙队每天的施工费用为 2 万元，工程预算的施工费用为 160 万元． ①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？ ②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？