四边形添加辅助线

　 一 、三角形中常见辅助线的添加

　1. 与角平分线有关的ⅰ 可向两边作垂线。

　ⅱ 可作平行线，构造等腰三角形

　ⅲ 在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

　2. 与线段长度相关的ⅰ 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

　ⅱ 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

　ⅲ 倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

　ⅳ 遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

　3. 与等腰等边三角形相关的ⅰ 考虑三线合一

　ⅱ 旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转

　二 、四边形

　 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

　1、和平行四边形有关的辅助线作法

　 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

　ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形

　ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形

　ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形

　2、和菱形有关的辅助线的作法

　 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

　ⅰ. 作菱形的高；

　ⅱ．连结菱形的对角线.

　3、与矩形有辅助线作法

　和矩形有关的题型一般有两种：

　ⅰ. 计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；

　ⅱ．证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

　4、与正方形有关辅助线的作法

　 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

　5、与梯形有关的辅助线的作法

　 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

　（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；

　（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；

　（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；

　（4） 延长两腰构成三角形；

　（5）作两腰的平行线等.

　三 、圆

　1．

　常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

　 作用：① 利用垂径定理；

　 ② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

　 ③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

　2．

　 常常添加（画）直径所对的圆周角。

　 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

　?3．90度的圆周角时

　 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

　 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

　4．

　常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

　作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

　5．遇到有切线时

　 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

　 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

　?（2）常常添加连结圆上一点和切点

　 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

　6．

　 （1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

　 作用：若OA=r，则l为切线。

　 （2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证OA⊥l，则l为切线。

　 （3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

　7．?

　常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

　 作用：据切线长及其它性质，可得到：

　 ① 角、线段的等量关系；

　 ② 垂直关系；

　 ③ 全等、相似三角形。

　8．遇到三角形的内切圆时

　连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

　 作用：利用内心的性质，可得：

　①?内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

　②?内心到三角形三条边的距离相等。

　9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

　 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

　10．

　常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

　 作用：①利用切线的性质； ②利用解直角三角形的有关知识。

　11．遇到两圆相交时

　常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

　 作用：① 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；

　 ② 利用圆内接四边形的性质；

　 ③ 利用两圆公共的圆周的性质；

　 ④?垂径定理。

　12．

　常常作连心线、公切线。

　 作用：① 利用连心线性质；

　 ② 切线性质等。

　13．?

　常常作每两个圆的连心线。

　 作用：可利用连心线性质。

　?14．

　 作用：以便利用圆的性质。

　例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.

　求证:OE与AD互相平分.

　2．利用两组对边平行构造平行四边形

　例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.

　3．利用对角线互相平分构造平行四边形

　例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.

　分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.

　二、和菱形有关的辅助线的作法

　 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

　例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.

　例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.

　例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.

　分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

　例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=∠AEB.

　例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.

　例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.

　分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.

　例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.

　分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.

　例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

　例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

　例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

　3、平移对角线：

　例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

　例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。

　例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

　例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

　例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

　例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

　例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，

　求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．

　例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

　证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。

　例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

　例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。

　例15、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

　例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？

　例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．