创意平板折叠桌设计毕业论文

　创意平板折叠桌设计 毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教 师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加 以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研 究成果，也不包含我为获得

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　学位论文原创性声明

　本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品 0 对本文的研

　 究做出重要贡献的个人和集体，均巳在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。

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　1）

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　2）

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　外文摘要、关键词 5）

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　参考文献 8）

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　3. 附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。

　4. 文字、图表要求：

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　图表应绘制于无格子的页面上 5）

　软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5. 装订顺序 1）

　设计（论文）

　2）

　附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装

　（盖章）

　指导教师评阅书 指导教师评价：

　一、撰写（设计）过程 学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 优 □度 口屮 匚及格 学生掌握专业知识、技能的扎实程度 1 、 □ 2 、 □ 3 、 □ 4 、 □ 5 、 □ □不及格 优 □良 口中 匚及格 口不及格 学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 □不及格 设计方案的合理性 不及格 优 □良 口中 匚及格 研究方法的科学性；技术线路的可行性; 中 匚及格 期间的出勤情况 中 匚及格 优 □良 口 完成毕业论文（设计）

　优 □良 □ 不及格 二、论文（设计）质量 论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 □良 口中 匚及格 口 是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 2 、 □ 三、论文（设计）水平 不及格 优 □良 口中 匚及格 口不及格 1 、 □ 2 、 □ 3 、 □ 论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 □良 口中 匚及格 论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 □良 口中 匚及格 论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 □良 口中 匚及格 不及格 不及格 不及格 一建议成绩：□优 □良 口中 口及格 口不及格 （在所选等级前的口内画）

　指导教师: （签名）单位: 年 月 口

　 评阅教师评阅书 评阅教师评价：

　一、 论文（设计）质量 1 、 论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □优 □良 口中 匚及格 口不及格 2 、 是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）

　？ □优 □良 口中 匚及格 口不及格 二、 论文（设计）水平 1 、 论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □优 □良 口中 □及格 口不及格 2 、 论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □优 □良 口中 □及格 口不及格- 3 、 论文（设计说明书）所体现的整体水平 "；-； □优 □良 口中 匚及格 口不及格 建议成绩：□优 □良 口中 □及格 口不及格 （在所选等级前的口内画“ J” ）

　评阅教师: （签名）

　单位:

　（盖章）

　（盖章）

　-1 -

　教研室（或答辩小组）及教学系意见 教研室（或答辩小组）评价：

　一、答辩过程 毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 □ 1 、 □ 2 、 □ 优 □良 口中 □及格 对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 □良 口中 □及格 学生答辩过程中的精神状态 优 □良 口中 □及格 不及格 不及格 3 、 □ 二、论文（设计）质量 论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 □良 口中 □及格 口 1 、 □ 不及格 不及格 是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 □良 口中 □及格 口不及格 2 、 □ 三、论文（设计）水平 论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 □度 □中 □及格 论文的观念是否冇新意？设计是否有创意？ 优 □良 口中 □及格 论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 □良 口中 □及格 1 、 □ 不及格 2 、 □ 不及格 3 、 □ 不及格 评定成绩：□优 □良 口中 □及格 口不及格 教研室主任（或答辩小组组长）：

　（签名）

　年 月 日 教学系意见：

　系主任：

　（签名）

　年 月 日

　-2-

　摘要 本文是关于某公司生产一种可折叠的桌子，建立相关的数学模型解决此折叠桌的设 计加工参数，以及最优设计加工参数，以满足客户所期望的创意平板折叠桌。

　问题一，给定长方形平板尺寸、每根木条宽度，以及连接桌腿木条的钢筋固定在桌 腿最外侧木条的中心位置，首先建立空间坐标的方法，以桌面圆心为坐标原点 (0,0), Y 方向为桌脚中线钢筋固定线的平行线方向， X 为地平面上垂直于钢筋线的方向， Z 为过 原点垂直于地平面的方向，描述折叠的动态设计过程，即折叠夹角。的变换过程 (0<^<90°)o 再根据不同。角度的折叠效果设计，由桌脚边缘线的空间几何关系，计 算出不同桌腿木条开槽长度，最终通过 Matlab 拟合函数，求解出每条桌腿边缘线的空 间曲线方程。

　问题二，建立优化模型，桌子的稳定性可以表示为桌腿的在地平面上的投影面积。

　扌艮据问题一的分析，定义第一条桌腿对应的外边区域的面积为中心桌腿对应的面积为 5, 建立优化目标函数，选取最长桌脚与桌高度、开槽长度最大值、边缘第一个桌腿切口预留长度为约 束条件，利用 Lingo软件编写程序优化求解，得到折叠桌最优的长度 L 、钢筋位置、开槽 长度等参数数值。

　问题三，在问题二的基础上，先给出一个比较简单的桌面形状，并给定一个高度, 再通过合理的方法将将问题三转化到问题二上进行建模求解。在此之后我们再给出一般 的数学模型，并给出了一些简单的设计草图。

　关键词 直纹曲面折叠桌 开槽的长度加工参数 Lingo 优化模型

　-3-

　一、问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着钗链的活动可以平摊成一张平板（如图 1-2 所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定 在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图 3）

　。桌子外形由直 纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

　试建立数学模型讨论下列问题：

　1. 给定长方形平板尺寸为 120 cm x 50 cm x 3 cm, 每根木条宽 2.5 cm, 连接桌腿木条的钢筋固 定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm 。试建立模型描述此折叠桌的动态变 化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线 （图 4 中红色曲线）的数学描述。

　2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆 形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢 筋位置、开槽长度等。对于桌高 70cm, 桌面直径 80cm 的情形，确定最优设计加工参数。

　3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大 小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得 生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型， 并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画 出至少 8 张动态变化过程的示意图。

　二、变量说明 L 桌长的一半 R 桌面半径 H 桌高 d 木条宽 m 锯齿边缘调整参数 n 每排桌脚数 N 从最短脚向侧边桌脚编号 I 桌脚长度 吗、吗、吗 各桌脚绕点 W 坐标

　-4-

　01 、 02 折叠后钢筋与各桌脚的交点 0, 即开槽末端

　边缘第一个桌腿开槽预留长

　边缘第一个桌腿与地面垂线之间的夹角 0 中心桌腿与地面垂线之间的夹角

　三、 约束条件 1 .桌退的开槽以直角向园内切割，问题一和问题二中不考虑斜角切割的情况； 2. 桌子的平衡稳定性不考虑不同材质的摩擦问题； 3. 各个桌腿间的缝隙设定为常量； 4. 假设桌子的平面是水平的，旦折叠后桌子的高度一定，地面是水平光滑的。

　四、 问题一求解 4.1 设计要求 给定长方形平板尺寸为 120 cm x 50 cm x 3 cm, 每根木条宽 2.5 cm, 连接桌腿木条的钢筋固定在 桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm 。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过 程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图 4 中红色曲线）的数学描述。

　4.2 已知条件 给定长方形平板尺寸为 120 cm x 50 cm x 3 cm, 每根木条宽 2.5 cm, 连接桌腿木条的钢筋固定 在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm o

　长方形平板长 L 度：

　120cm； 桌面圆心半径 R：

　25cm； （注：桌面直径是长方形平板的宽度）

　材料厚度 w：

　3cm； 每根木条宽 d：

　2.5 cm； 桌高 H：

　53cm 4.3 问题分析 4.3.1 桌脚直纹曲面 根据折叠桌的动态变化过程的视频材料分析，给定长方形平板尺寸、高度和钢筋位置时，当折 叠角

　-5-

　度变化的情况下，桌腿桌脚边缘线的变换规律，最外最长的桌脚作为支撑点着地，其余桌脚悬 空，距离中心越近的桌脚悬空和旋转的角度越大；由于连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条 的中心位置固定（30cm 处），为了能够形成折叠角度，只要设计合适的桌腿木条开槽的长度，就能 够实现不同角度的折叠效果。也就是说，桌子外形由直纹曲面构成，而且直纹曲面中间共线的点就 是开槽的最低点，即桌脚钢筋位置。当不同折叠角度时，直纹曲面的对应的不同参数就是要求解的 桌面设计参数。

　4.3.2 空间坐标建立 折叠的动态设计过程可以表述为，求解不同折叠角度卜的桌腿木条升槽的长度即可，而桌脚边 缘线的空间参数方程也就是不同桌腿木条开槽长度的函数。为了表述清楚，下面给出相对位置关系 的空间坐标表示，如图 1 所示。

　其中，地平面为参考面，以桌面圆心为坐标原点 （0,0）, Y 方向为桌脚中线钢筋固定线的平行 线方向，X 为地平面上垂直于钢筋线的方向， Z 为过原点垂直于地平面的方向，具体见图 2 所示。

　坐标原点 （ 0,0 ）: 选取:束面•屮心，在 地平向上的投城点 地平面 X 轴：地平面上垂 直于钢筋线方向 图 1 三维空间坐标平面 为了描述折叠的动态效果，将第一条桌腿与 Z 轴的夹角定义为。，表示折叠的程度，。的变化 范围为 [90°,0°], 如图 3 所示。

　-6 -

　 图 2 折叠夹角示意图 4.3.3 桌面边缘预留长度 因为圆桌是对称的，我们在这里仅仅分析一半桌腿设计参数的情况，另外一半相同。桌面边缘 第一个桌腿切口要有一定的预留长度才能够支撑和固定，左右边缘的第一个桌腿是唯一的着地的， 要承载桌面的多部分重量。因此，要在符合桌高固定的约束条件下，预留足够的长度使得桌面平衡。

　具体定义见图 4 所示。

　 图 3 桌面边缘预留长度 4.4 问题一模型建立 根据以上分析，当长方形平板尺寸、桌高度和钢筋位置是常量时，桌脚的折叠程度取决于桌 面边缘长度的预留值 X 。桌高度 H 和长方形平板长宽一定时，折叠夹角。与长度存在固定几何关系。

　具体见图 4 0

　第•条桌腿与 z 轴火角 X Y

　-7-

　图 4 第一个桌脚长度与桌高的几何关系 其余桌脚的开口位置从圖上向内直切，依此可以计算出各个桌腿的长度。由于圖上对策的, 在这里仅仅给出左边四分子一的圆桌桌脚切割设计，具体设如图 5 所示。

　-8-

　 图 5 桌脚长度裁剪设计图 根据勾股定理，可以计算出所有裁剪后的桌腿的长度为: 匕= J&2—0* 刁）

　2 。= 2, ,10 然后根据图 4 的儿何关系，我们可以直接计算出折叠夹角。，然后给出转夹角增量 A 。, 以依此计算出每个桌腿的升槽长度: E-姦济" 2,.. 』。

　4.5. 问题一求解结果就可

　-9-

　4.5.1 每条桌腿的开槽长度 求桌脚的长度公式为：

　 桌脚短点的坐标为: X = W] < y = cos3^L + d z =| sin 9 * £ I +d xyz = [x\y;z]. Matlab 运行结果，如下表 1 所示：

　表 1 桌腿最下边个点坐标 桌腿最下边个点坐标 木槽长度 X y Z k -24. 7000 29. 3868 50. 0000 0. 0000 -22. 2000 21.2423 47.5146 4. 7026 -19. 7000 17.5878 44. 5540 8.0531 -17. 2000 20. 6808 41.7802 10.7856 -14. 7000 25. 8872 39. 3729 13.0448 -12. 2000 29.5916 37.3798 14.8900

　 求桌边缘的公式为: 求各桌脚绕点的坐标的公式为: I = L-y/(R) 2 + . wl = c(N — \) + m . 求最长桌腿与桌面夹角 theta TE 玄值公式为: sin 7 10 求折叠后钢筋与各桌脚的交点 q, 即开糟末端公式为: 01 =州 务=《 o + 2jT(sinqo)2 匕 10 2 sin 03 =

　-10-

　-9. 7000 32.2307 35. 7979 16.3540 -7. 2000 34. 0693 34. 6075 17.4576 -4. 7000 35.2716 33. 7867 18.2146 -2. 2000 35.9364 33.3176 18.6340 2.2000 35. 9364 33.3176 18.6340 4.7000 35.2716 33. 7867 18.2146 7.2000 34. 0693 34. 6075 17.4576 9. 7000 32.2307 35. 7979 16.3540 12.2000 29.5916 37. 3798 14.8900 14.7000 25. 8872 39. 3729 13.0448 17.2000 20. 6808 41.7802 10.7856 19.7000 17.5878 44. 5540 8.0531 22. 2000 21.2423 47.5146 4. 7026 24. 7000 29. 3868 50. 0000 0. 0000

　图 6 空间曲面 4.5.2 桌脚边缘线空间曲线方程 由上面所得的数据，在不同的视角下的 MATLAB 编程拟合曲线以及立体图形

　 Linear interpo,—3 where x and th* Coefficients ：

　p = coe 三 Goodness of fi

　SSE: 0 R-square ：

　1 Adjusted R-s ▼

　Results wr — —r Table of Frts

　图 7 桌角边缘空间曲线

　图 8 桌角边缘空间曲线 4.5.3 折叠桌的动态变化过程 -H-

　-12-

　 图 9 MATLAB 动态过程示意图角边缘空间曲线 五、问题二求解 5.1 设计要求 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形 桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋 位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm, 桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。给定长方 形平板尺寸、高度和钢筋位置的圆桌参数设计。

　5.2 已知条件 已知桌高 70cm, 桌面直径 80cm 。

　5.3 .问题分析 5.3.1 基本参数说明 ( ( 1 ) ) 变量定义 H ：

　桌子高度，初始值为 70cm； L ：

　桌子长度的一半; R

　:桌面半径，初始值为 40cm； d

　:木条宽度; X：

　边缘第一个桌腿切口预留长度; t ：

　钢筋位置，以地面为参考点; 耳:边缘第一个桌謳与地面垂线之间的夹角， cosQ= 一七 L — x 0：

　中心桌腿与地面垂线之间的夹角， cos0 = H — “/—’7)c°s° (2) 可计算相关参数 L—… 丄 S1

　L_ 』 R2_d2

　-13-

　 图 10 桌脚长度裁剪设计图 (注：第一条桌腿对应的外边区域的面积为 3, 中心桌腿对应的面积为 $2 ) ) 桌面面积：

　桌角在地平面上的投缘面积: 钢筋位置：

　5.3 优化模型建立 在桌子高度和木条宽度一定的情况下，桌子的稳定性可以表示为桌腿的在地平面上的投影面积, 根据第一个问题的分析可以知道，第一条桌腿的折叠角度一定时，中心桌腿的旋转角度最大。因此, 定义第一条桌腿对应的外边区域的面积为中心桌腿对应的面积为如图 6 所示。

　因此，建立优化目标函数: Max y=— § L — x — d>H. 建立 Lingo 优化模型如下所示：

　MODEL: min=(R-@sqrt((L-x)A 24-HA 2))/(R+@sqrt((L-x)A 2+H A 2)S=2R x

　2L + 2x] x 2R 约束条件为: (1) 最长桌脚与桌高度约束关系 (2) 开槽长度最大值约束关系 (3) 边缘第一个桌腿切曰预留长度约束 x>=2d.

　-14-

　 ); !面积比可以近似转换为内外侧半径长度的比值 L-x-d>H; L-@sqrt(RA 2-x A 2)<=I72+d; x>=2*d; data: H=70;

　R-40; d=2.5; enddata END 5.4 优化模型求解 (1) 运行结果 Local optimal solution found. Objective value:

　-2.215250

　Infeasibilit ies:

　0.000000

　Extended solver steps:

　2

　Total solver iterations:

　9

　 Variable Value Reduced Cost

　R 40.00000 0.000000

　L 84.37254 0.000000

　X 5.000000 0.000000

　H 70.00000 0.000000

　D 2.500000 0.000000

　Row Slack or Surplus Dual Price

　1 -2.215250 1.000000

　2 6.872539 0.000000

　3 0.000000 0.2769063E-01

　4 0.000000 -0.173340 IE-01 (2) 敏感度分析

　当 d 取不同的值时，我们可以进行敏感度分析：

　d=3 时

　 Local optimal solution found. Objective value:

　-2.219104

　Infeasibilit ies:

　0.000000

　Extended solver steps:

　2

　Total solver iterations:

　8

　Variable

　Value Reduced Cost

　R 40.00000 0.000000

　L 85.09488 0.000000

　X 6.000000 0.000000

　H 70.00000 0.000000

　D 3.000000 0.000000 d=4 时

　Local optimal solution found.

　Objective value:

　-2.229059

　Infeasibilit ies:

　0.000000

　-14-

　-15-

　 Extended solver

　 2

　Total solver iterations:

　 9

　 Variable Value

　Reduced Cost

　R 40.00000

　0.000000

　L 86.38367

　0.000000

　X 8.000000

　0.000000

　H 70.00000

　0.000000

　D 4.000000

　0.000000 d=5 时

　 Local optimal solution found.

　Objective value:

　-2.242177

　In teas ibi lit ies:

　0.000000

　Extended solver steps:

　 2

　Total solver iterations:

　 8

　 Variable Value

　Reduced Cost

　R 40.00000

　0.000000

　L 87.45967

　0.000000

　X 10.00000

　0.000000

　H 70.00000

　0.000000

　D 5.000000

　0.000000 d=6 时

　 Local optimal solution found.

　Objective value:

　-2.258718

　Infeasibilit ies:

　0.000000

　Extended solver steps:

　 2

　Total solver iterations:

　 8

　 Variable Value

　Reduced Cost

　R 40.00000

　0.000000

　L 88.31514

　0.000000

　X 12.00000

　0.000000

　H 70.00000

　0.000000

　D 6.000000

　0.000000 d=7 时,

　 为无效的解，既不满足高度约束条件。

　 5.5 求解结果分析 表 2 优化参数 d

　(cm) L

　(cm) x

　(cm) 0

　（角度）

　§ (

　io 4>

　5 2

　(10 n

　2.5 843759 5 28. 1256 1.35 1.0677

　厂 555 数据 m 的值" 7

　& 3 3 6 6 10 12 27.7469 R6. 3836] 87.45967 26.7418 25.3518 23. 4728 W"* 们每给-E 1 对于给定的杲丁冋 U ，‘ 方向高的夹角"此" 5 。由恤 1.3821 1.3994 1.413 1.1282 1.1721 1.2193 A*

　图 12 ■ -16-

　-17-

　图 13 折叠桌平面图

　由于影响桌了性能的因素不止一个，而是不计其数，甚至我们无法预料，所以我们所得的最优 化尺寸可能仅仅是一个相对的值，但是我们建立的尺寸模型满足人们最基本的要求，即：用材最少、 性能最高，稳定性最好且符合人们舒适的要求。

　六、问题三求解 6.1 设计要求 根据用户要求的高度和桌面形状，在满足稳定性好、加工方便、用材最少的基础上讨论折叠桌 的最优设计加工参数，例如，平板尺寸，开槽长度等。对于高 70cm, 桌面为正方形的情形，确定最 优设计加工参数。

　旗：

　6.2 模型建立 已知桌高 70, 桌面形状为正方形。

　基本参数和问题二中一致，除了 R 未知。由于桌面为正方型，所以当以他的外接圆为桌面的设 计达到优时也就是桌面为正方形的最优设计。此时我们就可以将此问题转化为问题二，根据问题二 的建模思路及计算方法，我们可以先给 R 一个定值，让 d 的取值变化，用 lingo 编程就可以到一组 数值。然后我们在给 d 一个定值，让 R 在变化，用同样的方法也可以的到一组数据。（数据如下表）

　（为了计算方便在此我们对 R 只取六个值）继续被利用模型二计算方法解出最优值。

　6.3 模型求解分析 用 Matlab 编程得到的结果如表 3 所示。

　表 3 运行结果数据 d =2. 5 d =3 R (cm) L (cm) e sl(10"4) R (cm) L (cm) e sl(10"4) 42 88. 40264 32. 9335 1.7852 42 89. 13844 33. 6992 1.4975 44 92. 42997 36. 8087 1.6268 44 93. 17798 37.4533 1.6398 46 96.45491 40. 057 1. 7748 46 97.21403 40.6148 1. 7888 48 100. 4717 42. 8445 1.9291 48 101. 247 43. 3399 1.944 50 104. 1499 45. 0895 2.083 50 105. 2774 45. 7282 2. 1055 d 二 4 d=5 R (cm) L (cm) e sl(10"4) R (cm) L (cm) e sl(l(T4) 42 90.46211 35.0076 1.5386 42 91.58431 36. 0542 1.4852

　-18-

　 44 94. 53323 38.5713 1.6843 44 95.69714 39. 4842 1.6268 46 98.59801 41.593 1.8364 46 99. 79978 42. 4048 1.7747 48 102. 6573 44. 2097 1.9947 48 103. 8936 44.9413 1.927 50 106. 7117 46.5106 2.1597 50 107. 9796 47.1762 2.083 d=6

　R (cm) L (cm) e si (10^4) 42 92. 49845 36. 8685 1.5539 44 96. 66404 40.2122 1.7013 46 100. 8114 43.0631 1.8553 48 104. 9516 45. 5458 2.015 50 109. 0773 47. 7337 2. 1815 基于问题二的最优性检验，我们很容易得到当 S1 的值最大时，依然得到最优设计。此时的设计数据 为：

　H=70

　R=50 A =109.773 =47.7337 用 auto CAD 做出该设计的平面图如图 10 所示:

　 图 14 6.4 模型推广 对于更一般的情形我们可以建立空间坐标给出如下模型 模型建立：

　1. 给定桌面和桌啣边缘曲线，桌子高度人 •桌面边缘曲线方程：

　X = 0 (，)

　" y = W\(t) z = 0 •桌脚边缘最终的曲线方程：

　X = ( p(t) < 顽) z=y )

　其中， ”*=59.037 。

　2 •点的坐标处理:

　-19-

　 •如图， A,B,E 坐标如下:

　 顼。（。）,％何）, 0）

　其中 "10）

　= 0 ； 与（処）,化。

　2 ）

　,0）

　其中。

　C ）

　-风 2 ）

　= w ； /做 2 ）,0,0）

　•最外侧桌腿最终状态桌脚点的坐标， Q（风 2）

　必（政伊*），知 2 伊*））"其中（用），求解匚 根据勾股定理可得：

　sin/?* =£ =彳少 C I h_d 则， 广=巳兰 s i 审

　 七、模型评价 对问题一和问题二中利用优化可以反应木板长度宽度和模板面积之间的相关性进 行分析，处理；所建立的模型与实际紧密联系，利用 MATLAB 软件和 lingo 软件编程就 能达到很好的效果，有很好的通用性和推广型且可信度高；对数处理用曲线拟合避免了 一些特殊点（如：误差大的点）

　-20-

　 的丢失和因此而产生的误差。在建立模型时，由于我们 考虑到的影响桌子性能的因素不是很全面，只是取其最重要的因素来建立模型，所以求 得的最优解可能也只是一个相对最优解，但也符合人们的需求。总之我们的设计模型还 是一个比较完美的设计。

　参考文献 [1] 陈国华，韦程东,将检出，付军.数学模型与数学建模方法 .[M]. 天津：南开大学出版社 .2012 年 6 月. [2] 徐萃薇，孙绳武.计算方法引论 .[M]. 北京：高等教育出版社 .2007 年 4 月. [3] 刘卫国 .MATLAB 程序设计与应用 .[M]. 北京：高等教育出版社 .2006 年 7 月. [4] 王正林.精通 MATLAB 最优化计算 .[M] .北京：电子工业出版社 .2011 年 12 月. [5] 汪晓银，周保平.数学建模与数学实验 .[M]. 北京:科学出版社 .2010 年 2 月. [6] 陈志杰.高等代数 [M]. 北京：高等教育出版社 2008 年 12 月. [7] 中国知网.便携式家具研究（硕士论文）

　.2013 年 6 月.

　-21-

　附录 问题一源代码: 程序一(求解坐标) clear all; clc; a=120; b=50; h=3; H=53; c=2.5; m=2.2; n=b/c; N=l:(n/2); L=a/2-sqrt((b/2). A 2-(c*(N- l)+m). A 2); d=sqrt((b/2). A 2-(c*(N-l)+m). A 2); wl=c*(N・l)+m; w2=d; w3=zeros(l,n/2); w=[wl;w2;w3]; sin_thetal0=(H-h)/L(10); ql=wl; 端％ %桌长％ %桌宽％ %厚％ %桌高％ %木条宽％ %锯齿边缘调整参数％ %每排桌脚数％ %从最短桌脚向侧边桌脚编号％ %桌脚长度％ %桌边缘％ %各桌脚绕点 w 坐标％ %最长桌腿与桌面夹角 theta 正玄值％ %折叠后钢筋与各桌脚的交点 q，即开槽末 q2=d( 10)+L( 10)/2*abs(sqrt( 1 -sinjhetal 0 A 2)); q3=L(10)/2*sin_thetal0; q=[q 1 ;ones(l ,n/2)*q2;ones(l ,n/2)*q3]; t=L-L( 10)/2*ones(l ,n/2); T=sqrt((ql-wl). A 2+(q2-w2). A 2+(q3-w3). A 2); T_t=T-t; zl=oncs(l,n/2)*q3; z2=w3; y 1=ones( 1 ,n/2) * q2; y2=d； tan_theta=(zl-z2)./(y l-y2); s in_t het a=sin( at an(t ant heta)); cos_theta=cos(atan(tan_theta)); x=wl; y=cos_theta.*L+d; z=abs(sin_theta).*L; xyz=[x;y;z]，； display (咨桌脚的开槽长度)； T_t, displayed 脚端点坐标，)； %各桌脚开槽的起点％ %各桌脚开槽的终点％ %各桌脚的开槽长度％ %各桌脚的正切值％ %各桌脚的正玄值％ %各桌脚的余弦值％ %桌脚端点坐标％ x_y_z=xyz

　-22 -

　 display （各桌脚的 数据一 桌脚个点坐标 凹槽长度

　X y z P -24. 7000 29. 3868 50. 0000 0.0000 -22. 2000 21.2423 47.5146 4. 7026 -19. 7000 17.5878 44. 5540 8.0531 -17. 2000 20. 6808 41.7802 10.7856 -14. 7000 25.8872 39. 3729 13.0448 -12. 2000 29.5916 37.3798 14.8900 -9. 7000 32. 2307 35. 7979 16.3540 -7. 2000 34 0693 34. 6075 17.4576 -4. 7000 35.2716 33. 7867 18.2146 -2. 2000 35. 9364 33.3176 18.6340 2.2000 35. 9364 33.3176 18.6340 4. 7000 35.2716 33. 7867 18.2146 7.2000 34. 0693 34. 6075 17.4576 9. 7000 32. 2307 35. 7979 16.3540 12.2000 29.5916 37.3798 14.8900 14.7000 25. 8872 39.3729 13.0448 17.2000 20. 6808 41.7802 10.7856 19.7000 17.5878 44.

　5540 8.0531 22. 2000 21.2423 47.5146 4. 7026 24. 7000 29. 3868 50. 0000 0. 0000

　程序二（数据拟合）

　x=[-24.7-222,-19.7-17.2,-14.7,-12.2,-9.7,-7.2,-4.7,-2222,4.7,72,9.7,12.2,14.7,172,19.722.2,24.7] x = Columns 1 through 9 -24.7000 -22.2000 -19.7000 -17 2000 -14.7000 -12.2000 -9.7000 -7.2000 -4.7000 Columns 10 througli 18 -2.2000 2.2000 4.7000 7.2000 9.7000 12.2000 14.7000 1 7.2000 19.7000 Columns 19 through 20 22.2000 24.7000 »y=[29.3868,21.2423,17.5 87820.6808,25.887229.5916,32.2307,34.0693,35.271635.9364,35.9364,352716,34.0693,32.230729.5916,25. 8 872 2

　0.680 8,17.5878^1.2423,2 9.3868] y = Columns 1 through 9 293868 21.2423 17.5878 20.6808 25.8872 29.5916 32.2307 34.0693 35.2716 Columns 10 through 18

　-23 -

　 35.9364 35.9364 35.2716 34.0693 32.2307 29.5916 25.8872 20.6808 17.5878

　-24 -

　 Columns 19through 20 21.2423 293868 »z=[50,47.5146,44.554,41.7802,39.3729,37.3 798,3 5.7979,34.6075,33.7867,33.3176,33.3176,3 3.786 7,34.6075,35.7979 37.3798,39.3729,4 1.7802.44.554.50] z = Columns 1 tlirough 9 50.0000 47.5146 44.5540 41.7802 39.3729 373798 35.7979 34.6075 33.7867 Columns 10 through 18 33.3176 33.3176 33.7867 34.6075 35.7979 37.3798 393729 41.7802 44.5540 Column 19 50.0000 >>z=[50,47.5146,44.554,41.7802,39.3729,37.3798,35.7979,34.607533.7867,33.317633.3176,33.7867,34.6075,35.7979,37.3798,39.3729,4 1.7802.44.554.47.5146.50] z = Columns 1 through 9 50.0000 47.5146 44.5540 41.7802 39.3729 37.3798 35.7979 34.6075 33.7867 Columns 10 through 18 33.3176 33.3176 33.7867 34.6075 35.7979 37.3798 393729 41.7802 44.5540 Columns 19 through 20 47.5146 50.0000 » cftool(x,y,z) 程序三(凹槽形状拟合) a=[0.0000 , 4.7026 , 8.0531 , 10.7856 , 13.0448 , 14.8900 , 16.3540 , 17.4576 , 18.2146 , 18.6340 , 18.6340 , 18.2146 , 17.4576 , 16.3540 , 14.8900 , 13.0448 , 10.7856 , 8.0531 , 4.7026 , 0.0000 ]; » plot(a) 程序四(三维曲线绘图) > x=[-24.7000 , -22.2000 , -19.7000 , -17.2000 , -14.7000 , -12.2000 , -9.7000 , -7.2000 -4.7000 , -2.2000 ,2.2000 , 4.7000 , 7.2000 , 9.7000 , 12.2000 , 14.7000 , 17.2000 , 19.7000 , 22.2000 , 24.7000]； >y=[29.3868 , 21.2423 ,17.5878 ,20.6808 , 25.8872 , 29.5916 , 32.2307 , 34.0693 ,35.2716 ,35.9364 ,35.9364 , 35.2716 , 34.0693 , 32.2307 , 29.5916 , 25.8872 , 20.6808 17.5878 , 21.2423 , 29.3868 ]； > z=[50.0000 , 47.5146 , 44.5540 ,41.7802 , 39.3729 ,37.3798 , 35.7979 , 34.6075 , 33.7867 ,33.3176 ,33.3176 , 33.7867 , 34.6075 , 35.7979 , 37.3798 , 39.3729 , 41.7802 44.5540 , 47.5146 , 50.0000]； »plot3(x,y,z) 程序五(动态过程表示) L=120;D=50;d=2.5;hL=L/2;R=D/2;% 木板长；宽；腿木条宽；半长；圆桌面半径 ye=・R+d/2:d:R・d/2; xe=sqrt(RA 2-ye. A 2); %折叠点的 y 坐标， x 坐标，各 20 个 legL=hL-xe;hH=legL(l)/2;ddeg=2; %腿长度， 20 个;最长腿半 K; 角度增量

　%桌面数据 %桌腿数据 %钢筋轴数据

　-25 -

　 Tx=[xe -xe;xe -xe] ;Tx=Tx(:) ;Tz=zeros(s ize(Tx)); Ty=[ye-d/2 fliplr(ye)+d/2;ye+d/2 fliplr(ye)-d/2];Ty=Ty(:); legx=[hL*ones(size(xe));hL*ones(size(xe));xe;xe]; legy=[ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2];legz=zeros(size(legx)); zhoux=[hL-legL( 1 )/2;hL-legL( 1 )/2] ;zhouy=[-R R];zhouz=[0;0];

　-26-

　 yb=linspace(ye(l),ye(end),50);xb=sqrt(RA 2-yb. A 2); Bx=hL*ones(size(xb)); By=yb; Bz=zeros(size(xb)); %腿尖曲线数据 figure(l),clf;hold on hl=patch(Tx,Ty,Tz^facecoloF,[l 0.5 0] 「 edgecoloF,[l 1 1]);% 画桌面 h2=patch(legxjegy,legz,f facecolor\[ 1 0.5 O],"edgecolor",[l 1 1]);% 画桌腿 h3=patch(-legx,legy,legz/facecolor\[l 0.5 0]：edgecolor"1 1 1]);% 画桌腿 h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz/c");h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhouz/c");% 画钢筋轴 h6=plot3(Bx,By,Bz,k);h7=plot3(・Bx,By,Bz,k);% 腿尖曲线 hold off;view(3);axis equal;axis([-hL hL -R R 0 2*hH]);axis off; for deg=0:ddeg:75 %最长桌腿相对桌面折叠角度 zz=-hH*sind(deg);xz=xe(l)+hH*cosd(deg); %钢筋轴, z 坐标和 x 坐标 alldeg=atan2(-zz*ones(size(xe)),xz-xe); % 每个条腿折叠角度 ,20 个 allx= legL. *cos(alldeg)+xe; %每条腿末端 x 坐标， 20 个 allz=-legL.*sin(a 1 Ideg); %每条腿末端 z 坐标， 20 个 alldeg2=atan2( -zz* ones (s ize(xb)), xz-xb); Bx=(hL-xb).*cos(alldeg2)+xb;Bz=-(hL-xb).*sin(alldeg2);% 腿尖曲线 x 数据 minz=min(Bz); %最低腿 z 坐标，桌子当前高度 legx=[allx;allx;xe;xe]; % 桌腿数据 legz=[allz;allz;zeros(size(allz));zeros(size(allz))]-minz; s et(h 1/ZData" ， -minz*ones( s ize(T z))); set(h2,"XData, ,legx, , ZData , ,legz);set(h3,"XData",-legx, , ZData , ,legz); s et(h4/XData, , [xz;xz]/ZData f

　,[zz;zz] -minz); set(h5,"XData",・[xz;xz]；ZData",[zz;zz] ・ minz); set(h6,"XData",Bx,, ZData",Bz-minz);set(h7,"XData\-Bx,, ZData , ,Bz-minz); pause(0. l);drawnow; end caochang=sqrt((xe-xe(l)).A 2+hH. A 2-2*hH.*(xe-xe(l)).*cos(alldeg))-(legL-hH); 问题二源代码：

　程序五(方程拟合) MODEL: max=(R+@sqrt ( (L-x) A 2 + H A 2) )/(R-@sqrt( (L-x) A 2 + H A 2)); L-x-d>H; L-@sqrt(R A 2-x A 2)<=L/2+d; x>=2*d; data : H=70; R=40; d=2 ・ 5; enddata END 程序六(最优性检验) d=i; 表示一个变化的数，按照已经计算出的数据输入 R=40; X=j; 箱是一个代号，用已经得到的数据依次更换 H=70;

　-27 -

　 L=s; %是变化的数据 ， 用前面的值代替 jiaodul=acos(H./(L-X)) j iaodu2=acos(L-sqrt(R A 2-d A 2)) . / (H-(sqrt(R A 2-d A 2)-x)cos (j iaodul)) S(touying) = [2H./cos(j iaodul)+2x]*2R S=2R*2L tl=L./2 t2=L-sqrt(R A 2-d A 2) tl<=t<=t2