人教版平行四边形单元专项训练检测试题

　人教版平行四边形单元专项训练检测试题

　 一、选择题 1．如图，E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点，且 AB＝CD．结论：①EG⊥FH；②四边形 EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG；④EG12 BC；⑤四边形 EFGH 的周长等于2AB．其中正确的个数是(

　 )

　 A．1 B．2 C．3 D．4

　2．如图,在四边形 ABCD 中,

　AD//BC,且 AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P、Q 分别从 A、C 同时出发,P 以 1cm/s 的速度由 A 向 D 运动,Q 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动,多少 s 时直线将四边形 ABCD 截出一个平行四边形(

　 )

　 A．1 B．2 C．3 D．2 或 3

　3．如图， E 是边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，且 AE AB  ， F 为 BE 上任意一点， FG AC ^ 于点 G ， FH AB  于点 H ，则 FG FH  的值是（

　）

　 A．22 B．2

　C．2 D．1

　4．如图，在矩形 ABCD 中， P 是边 AD 上的动点， PE AC  于 E ， PF BD  于 F ，如果 3, 4 AB AD   ，那么(

　)

　 A．125PE PF  

　B．12 135 5PE PF   

　C． 5 PE PF  

　D． 3 4 PE PF   

　5．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 P 是 AD 边上的一个动点，过点 P分别作 PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F.若 AB＝3，BC＝4，则 PE＋PF 的值为(

　)

　 A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4

　6．如图所示，在周长是 10cm 的 ABCD 中， AB AD  ， AC 、 BD 相交于点 O ，点 E在 AD 边上，且 OE BD  ，是 ABE △ 的周长是(

　)

　 A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

　7．如图，在 Rt ABC 中， 90 ACB    ，分别以 AB ， AC ， BC 为边，在 AB 的同侧作正方形 ABHI ， ACFG ， BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（

　）

　 A．1 2S S 

　B．1 2S S =

　C．1 2S S 

　D．无法确定

　8．如图，在 ABC 中，AB=AC=6，∠B=45°，D 是 BC 上一个动点，连接 AD，以 AD 为边向右侧作等腰 ADE ，其中 AD=AE，∠ADE=45°，连接 CE．在点 D 从点 B 向点 C 运动过程中， CDE △ 周长的最小值是（

　）

　 A． 6 2

　B． 6 26  C． 9 2

　D． 9 2 6 

　9．如图，在一张矩形纸片 ABCD 中， 4 AB ， 8 BC  ，点 E ， F 分别在 AD ， BC

　上，将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论：

　①四边形 CFHE 是菱形；② EC 平分 DCH  ；③线段 BF 的取值范围为 3 4 BF   ；④当点 H 与点 A 重合时， 2 5 EF  ．

　以上结论中，你认为正确的有（

　）个．

　 A．1 B．2 C．3 D．4

　10．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4．将矩形沿 AC 折叠，CD′与 AB 交于点 F，则AF：BF 的值为（

　）

　 A．2 B．53 C．54 D． 3

　二、填空题 11．如图，∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F，连接 A′E．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．

　 12．如图，正方形 ABCD 中， DAC  的平分线交 DC 于点 E，若 P，Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 能取得最小值 4 时，此正方形的边长为______________．

　 13．如图，在菱形 ABCD 中， AB 的垂直平分线 EF 交对角线 AC 于点 F ，垂足为点E ，若 27 CDF    ，则 DAB  的度数为____________．

　 14．已知：一组邻边分别为 6cm 和 10cm 的平行四边形 ABCD ， DAB  和 ABC  的平分线分别交 CD 所在直线于点 E ， F ，则线段 EF 的长为________ cm ．

　15．如图，矩形 ABCD 中， CE CB BE   ，延长 BE 交 AD 于点 M ，延长 CE 交 AD于点 F ，过点 E 作 EN BE  ，交 BA 的延长线于点 N ， 2 3 FE AN   ， ，则BC =_________．

　 16．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F，若 AD=11，EF=5，则 AB=

　___．

　17．如图，长方形 ABCD 中 AB＝2，BC＝4，正方形 AEFG 的边长为 1．正方形 AEFG 绕点 A旋转的过程中，线段 CF 的长的最小值为_____．

　 18．如图，在△ABC 中，AB＝AC，E，F 分别是 BC，AC 的中点，以 AC 为斜边作 Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE 平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝2 CD；其中正确的是_____（填序号）

　 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点 D 为平面内动点，且满足 AD＝4，连接 BD，取 BD 的中点 E，连接 CE，则 CE 的最大值为_____．

　 20．如图，在平行四边形 ABCD 中， 5 3 AB AD   ， ， BAD  的平分线 AE 交 CD 于点E ，连接 BE ，若 BAD BEC   ，则平行四边形 ABCD 的面积为__________．

　 三、解答题 21．在等边三角形 ABC 中，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B，C 重合），以 AD 为边在 AD 的上方作菱形 ADEF，且∠DAF=60°，连接 CF．

　（1）（观察猜想）如图（1），当点 D 在线段 CB 上时，

　① BCF  

　o ；

　② , , BC CD CF 之间数量关系为

　．

　（2）（数学思考）：如图（2），当点 D 在线段 CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．

　（3）（拓展应用）：如图（3），当点 D 在线段 BC 的延长线上时，若 6 AB  ，13CD BC  ，请直接写出 CF 的长及菱形 ADEF 的面积．

　 ．

　22．（1）如图①，在正方形 ABCD 中， AEF  的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求 EAF  的度数；

　（2）如图②，在 Rt ABD  中， 90 , BAD AD AB   ，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且 45 MAN ，将 ABM  绕点 A 逆时针旋转 90 度至 ADH  位置，连接 NH，试判断 MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由；

　（3）在图①中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为 12，GF=6，BM= 3 2 ，求 EG，MN 的长．

　 23．如图所示，四边形 ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点 D ，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动(点 E 不与点 A B 、 重合)，另一直角边与CBM  的平分线 BF 相交于点 F ．

　(1)求证: ADE FEM   ;

　(2)如图(1)，当点 E 在 AB 边的中点位置时，猜想 DE 与 EF 的数量关系，并证明你的猜想;

　(3)如图(2)，当点 E 在 AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

　 24．如图， M 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点.过 M 作 BD 的垂线交 AD 于 E ，连BE ，取 BE 中点 O ．

　（1）如图 1，连 AO MO 、 ，试证明 90 AOM ；

　 （2）如图 2，连接 AM AO 、 ，并延长 AO 交对角线 BD 于点 N ，试探究线段DM MN NB 、 、 之间的数量关系并证明；

　（3）如图 3,延长对角线 BD 至 Q 延长 DB 至 P ,连 , CP CQ 若 2, 9 PB PQ   ,且135 PCQ  ，则 PC=

　．（直接写出结果）

　25．如图 1，点 E 为正方形 ABCD 的边 AB 上一点， EF EC  ，且 EF EC  ，连接AF ，过点 F 作 FN 垂直于 BA 的延长线于点 N ．

　（1）求 EAF  的度数；

　（2）如图 2，连接 FC 交 BD 于 M ，交 AD 于 P ，试证明：2 BD BG DG AF DM     ．

　 26．已知：如下图， ABC 和 BCD 中， 90 BAC BDC   o ，E 为 BC 的中点，连接 DE AE 、 .若 DC AE ，在 DC 上取一点 F ，使得 DF DE  ，连接 EF 交 AD 于 O .

　（1）求证：

　EF DA  .

　（2）若 4, 2 3 BC AD   ，求 EF 的长.

　 27．已知：在矩形 ABCD 中，点 F 为 AD 中点,点 E 为 AB 边上一点，连接 CE、EF、CF，EF平分∠AEC．

　(1)如图 1，求证：CF⊥EF;

　(2)如图 2，延长 CE、DA 交于点 K, 过点 F 作 FG∥AB 交 CE 于点 G 若，点 H 为 FG 上一点，连接 CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;

　 (3)如图 3, 过点 H 作 HN⊥CH 交 AB 于点 N,若 EN=11,FH-GH=1,求 GK 长.

　 28．在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 CD 边于点 E．点 F 在 BC 边上，且 FE⊥AE．

　（1）如图 1，①∠BEC=_________°；

　②在图 1 已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；

　（2）如图 2，FH∥CD 交 AD 于点 H，交 BE 于点 M．NH∥BE，NB∥HE，连接 NE．若 AB=4，AH=2，求 NE 的长．

　 29．在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的直线 EF，GH 分别交边AB、CD，AD、BC 于点 E、F、G、H．

　（1）观察发现：如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 EF⊥GH，易知 S △BOE ＝S △AOG ，又因为 S △AOB ＝14S 四边形 ABCD ，所以 S 四边形 AEOG ＝

　 S 正方形 ABCD ；

　（2）类比探究：如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S 四边形 AEOG ＝14S 矩形 ABCD ，若 AB＝a，AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）；

　（3）拓展迁移：如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 S 四边形 AEOG ＝14S ▱ ABCD ，若 AB＝3，AD＝5，BE＝1，则 AG＝

　 ．

　 30．如图，在矩形 ABCD 中， AB a = ， BC b  ，点 F 在 DC 的延长线上，点 E 在 AD上，且有12CBE ABF    ．

　 （1）如图 1，当 a b  时，若 60 CBE    ，求证：

　BE BF  ；

　（2）如图 2，当32b a  时，

　①请直接写出 ABE  与 BFC  的数量关系：_________；

　②当点 E 是 AD 中点时，求证：

　2 CF BF a   ；

　③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCDS S 矩形的值．

　 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

　 一、选择题

　 1．C 解析：C

　【解析】

　【分析】

　根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与 AB=CD 可得四边形 EFGH 是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案．

　【详解】

　∵E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点，

　∴EF=12CD，FG=12AB，GH=12CD，HE=12AB，

　∵AB=CD，

　∴EF=FG=GH=HE，

　∴四边形 EFGH 是菱形，故②错误，

　∴EG⊥FH，HF 平分∠EHG；故①③正确，

　∴四边形 EFGH 的周长= EF=FG=GH=HE =2AB，故⑤正确，

　没有条件可证明 EG=12BC，故④错误，

　∴正确的结论有：①③⑤，共 3 个，

　故选 C.

　【点睛】

　本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD 判定四边形 EFGH 是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．

　2．D 解析：D

　【解析】

　【分析】

　根据题意设 t秒时，直线将四边形 ABCD 截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有 AP=BQ 或 CQ=PD，计算即可求出 t 值.

　【详解】

　根据题意设 t秒时，直线将四边形 ABCD 截出一个平行四边形

　则 AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t

　要使构成平行四边形

　则：AP=BQ 或 CQ=PD

　进而可得：

　6 2 t t  

　或 2 9 t t  

　 解得 2 t 

　或 3 t 

　 故选 D.

　【点睛】

　本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可.

　3．B 解析：B

　【分析】

　过点 E 作 EM⊥AB，连接 AF，先求出 EM，由 S △ABE ＝12AB•EM＝12AE•GF+12AB•FH，可得FG+FH=EM，则 FG+FH 的值可求．

　【详解】

　解：如图，过点 E 作 EM⊥AB，连接 AF，

　 ∵四边形 ABCD 是正方形，

　∴∠ACB=45°，

　∴△AEM 是等腰直角三角形，

　∵AB=AE=2，

　∴2 2 2 22 4 AM EM EM AE     ∴EM＝2 ，

　∵S △ABE =S △AEF +S △ABF ，

　∴S △ABE ＝12AB•EM＝12AE•GF+12AB•FH，

　∴EM=FG+FH=2 ；

　故选：B．

　【点睛】

　本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，运用面积法得出线段的和差关系是解题的关键．

　4．A 解析：A

　【分析】

　设 AC、BD 交于点 O，连接 OP，根据矩形的性质及勾股定理求出 OA=OD=2.5，再求出△AOD 的面积，根据面积关系即可求出答案.

　【详解】

　设 AC、BD 交于点 O，连接 OP，

　∵ 3, 4 AB AD   ,

　∴BD=AC=5，

　∴OA=OD=2.5，

　∵1 13 4 34 4AOD ABCDS S     矩形，

　∴ 3AOP DOPS S   ，

　∵ PE AC  于 E ， PF BD  于 F ，

　∴1 12.5 2.5 32 2PE PF     ，

　1 5( ) 32 2PE PF    ，

　∴125PE PF   ，

　故选：A.

　 【点睛】

　此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD 的面积是解题的关键.

　5．D 解析：D

　【分析】

　连接 OP,由矩形 ABCD 的可求 OA=OD=52 ，最后由 S △ AOD =S △ AOP +S △ DOP 即可解答.

　【详解】

　解：如图：连接 OP

　∵矩形 ABCD，AB＝3，BC＝4

　∴S 矩形 ABCD =AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,2 25 AC= AB +BC =

　∴S △ AOD =14S 矩形 ABCD =3，OA=OD=52 ∴S △ AOD =S △ AOP +S △ DOP = 1 1 1 532 2 2 2OA PE OD PF PE PF     

　 ∴PE+PF=2.4

　故答案为 D．

　 【点睛】

　本题考查了矩形的性质，正确的做出辅助线和运用数形结合思想是解答本题的关键．.

　6．D

　解析：D

　【分析】

　根据平行四边形的性质求出 AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出 BE=DE,求出 ABE  的周长等于 AB+AD，代入求出即可．

　【详解】

　∵ 10ABCDC cm  ∴ =5 AB AD cm 

　∵在 ABCD 中，OB=OD， OE BD 

　∴EB=ED

　∴AEBC AB AE BE AB AE BE AB AD         ∴ 5AEBC cm  故选：D．

　【点睛】

　本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．

　7．B 解析：B

　【分析】

　连接 EH，过点 H 作 HK⊥BF 于点 K，令 AE 与 BH 交于点 J，HL 与 BF 交于点 L，根据已知条件易证△BHK≌△ABC，继而由全等三角形的性质得 S △ BHK ＝S △ ABC ，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，再由全等三角形的判定可得△BCJ≌△HKL，进而可得 S 1 ＝S △ BHK ＝S △ ABC ，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC≌△AIG，继而可得 S △ ABC ＝S △ AIG ＝S 2 ，等量代换即可求解．

　【详解】

　解：连接 EH，过点 H 作 HK⊥BF 于点 K，令 AE 与 BH 交于点 J，HL 与 BF 交于点 L，

　由题意可知：四边形 BCED 是正方形，四边形 ACFG 是正方形，四边形 ABHI 是正方形，∠ACB＝90°

　∴∠CEH＝∠ECK＝90° ,CE＝BC

　∵∠BKH＝90°,

　∴四边形 CEHK 是矩形，

　∴ CE＝HK

　又∠HBK＋∠ABC＝90°, ∠BAC＋∠ABC＝90°

　∴∠HBK＝∠BAC

　∴△BHK≌△ABC（AAS）

　∴S △ BHK ＝S △ ABC ，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，

　∵∠ABC＋∠CBJ＝90°，∠BHK＋∠KHL＝90°

　∴∠CBJ＝∠KHL

　∴△BCJ≌△HKL（ASA）

　∴S △ BCJ ＝S △ HKL ，

　∴S 1 ＝S △ BHK ＝S △ ABC ，

　∵四边形 ACFG 是正方形，四边形 ABHI 是正方形，

　∴AB＝AI，AC＝AG，∠G＝∠ACB＝90°

　∴△ABC≌△AIG（SAS）

　∴S △ ABC ＝S △ AIG ＝S 2 ，

　即 S 1 ＝S 2

　故选：B

　 【点睛】

　本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．

　8．B 解析：B

　【分析】

　如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得90 , 6 2, 2 BAC DAE BC DE AD        ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 BD CE  ，从而可得 CDE △ 周长为2 BC AD ，然后根据垂线段最短可求出 AD的最小值，由此即可得．

　【详解】

　在 ABC 中， 6, 45 AB AC B      ，

　ABC  是等腰直角三角形，2 290 , 6 2 BAC BC AB AC      ，

　在 ADE 中， , 45 AD AE ADE     ，

　ADE V 是等腰直角三角形，2 290 , 2 DAE DE AD AE AD      ，

　90 BAD CAD CAE CAD       ，

　BAD CAE   ，

　在 ABD △ 和 ACE △ 中，AB ACBAD CAEAD AE   ，

　( ) ABD ACE SAS   ，

　BD CE   ，

　CDE  周长为6 2 2 CD CE DE CD BD DE BC DE AD         ，

　则当 AD 取得最小值时， CDE △ 的周长最小，

　由垂线段最短可知，当 AD BC  时，AD 取得最小值，

　AD  是 BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一），

　13 22AD BC    （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

　CDE  周长的最小值为 6 22 3 2 6 2 6    ，

　故选：B．

　 【点睛】

　本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．

　9．C 解析：C

　【分析】

　①先判断出四边形 CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得 CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

　②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时 EC 平分∠DCH，判断出②错误；

　③点 H 与点 A 重合时，设 BF=x，表示出 AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到 BF 的最小值，点 G 与点 D 重合时，CF=CD，求出最大值 BF=4，然后写出 BF 的取值范围，判断出③正确；

　④过点 F 作 FM⊥AD 于 M，求出 ME，再利用勾股定理列式求解得到 EF，判断出④正确．

　【详解】

　解：

　①∵FH 与 CG，EH 与 CF 都是矩形 ABCD 的对边 AD、BC 的一部分，

　∴FH∥CG，EH∥CF，

　∴四边形 CFHE 是平行四边形，

　由翻折的性质得，CF=FH，

　∴四边形 CFHE 是菱形，（故①正确）；

　②∴∠BCH=∠ECH，

　∴只有∠DCE=30°时 EC 平分∠DCH，（故②错误）；

　③点 H 与点 A 重合时，此时 BF 最小，设 BF=x，则 AF=FC=8-x，

　在 Rt△ABF 中，AB 2 +BF 2 =AF 2 ，

　即 4 2 +x 2 =（8-x）

　2 ，

　解得 x=3，

　点 G 与点 D 重合时，此时 BF 最大，CF=CD=4，

　∴BF=4，

　∴线段 BF 的取值范围为 3≤BF≤4，（故③正确）；

　过点 F 作 FM⊥AD 于 M，

　 则 ME=（8-3）-3=2，

　由勾股定理得，

　EF=2 2MF ME =2 24 2 = 2 5 ，（故④正确）；

　综上所述，结论正确的有①③④共 3 个，

　故选 C．

　【点睛】

　本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．

　10．B 解析：B

　【分析】

　由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得 FA＝FC，设 BF＝x，在 Rt△BCF 中，根据 CF 2 ＝BC 2 +BF 2 ，可得方程（8﹣x）

　2 ＝x 2 +4 2 ，可求 BF＝3，AF＝5，即可求解．

　【详解】

　解：设 BF＝x，

　∵将矩形沿 AC 折叠，

　∴∠DCA＝∠ACF，

　∵四边形 ABCD 是矩形，

　∴CD∥AB，

　∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，

　∴FA＝FC＝8﹣x，

　在 Rt△BCF 中，∵CF 2 ＝BC 2 +BF 2 ，

　∴（8﹣x）

　2 ＝x 2 +4 2 ，

　∴x＝3，

　∴BF＝3，

　∴AF＝5，

　∴AF：BF 的值为53，

　故选：B．

　【点睛】

　本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

　 二、填空题

　 11． 4 3 或 4

　【解析】

　分析：当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：

　①当∠A"EF=90°时，如图 1，根据对称的性质和平行线可得：A"C=A"E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A"B=8，最后利用勾股定理可得 AB 的长；

　②当∠A"FE=90°时，如图 2，证明△ABC 是等腰直角三角形，可得 AB=AC=4．

　详解：当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：

　①当∠A"EF=90°时，如图 1，

　.

　∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，

　∴A"C=AC=4，∠ACB=∠A"CB，

　∵点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，

　∴D、E 是△ABC 的中位线，

　∴DE∥AB，

　∴∠CDE=∠MAN=90°，

　∴∠CDE=∠A"EF，

　∴AC∥A"E，

　∴∠ACB=∠A"EC，

　∴∠A"CB=∠A"EC，

　∴A"C=A"E=4，

　Rt△A"CB 中，∵E 是斜边 BC 的中点，

　∴BC=2A"E=8，

　由勾股定理得：AB 2 =BC 2 -AC 2 ，

　∴AB=2 28 4 =4 3 ；

　②当∠A"FE=90°时，如图 2，

　.

　∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

　∴∠ABF=90°，

　∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，

　∴∠ABC=∠CBA"=45°，

　∴△ABC 是等腰直角三角形，

　∴AB=AC=4；.

　综上所述，AB 的长为 43 或 4；

　故答案为 43 或 4.

　点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．

　12． 4 2

　【分析】

　作 P 点关于线段 AE 的对称点P，根据轴对称将 DQ PQ  转换成 DP ，然后当DP AC的时候 DP 是最小的，得到 DP 长，最后求出正方形边长 DC．

　【详解】

　∵AE 是 DAC  的角平分线，

　∴P 点关于线段 AE 的对称点一定在线段 AC 上，记为P 由轴对称可以得到 PQ P Q ，

　∴ DQ PQ DQ PQ DP     ，

　如图，当 DP AC的时候 DP 是最小的，也就是 DQ PQ  取最小值 4，

　∴ 4 DP ，

　由正方形的性质P是 AC 的中点，且 DP PC    ，

　在 Rt DCP 中，2 2 2 24 4 32 4 2 DC DP PC        ．

　故答案是：

　4 2 ．

　 【点睛】

　本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出 DQ PQ  取最小值的状态，并将它转换成 DP 去求解．

　13． 102

　【分析】

　根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出 AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得 3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．

　【详解】

　连接 BD，BF，

　 ∵四边形 ABCD 是菱形，

　∴AD=CD，

　∴∠DAC=∠DCA．

　∵EF 垂直平分 AB，AC 垂直平分 BD，

　∴AF=BF，BF=DF，

　∴AF=DF，

　∴∠FAD=∠FDA，

　∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即 3∠DAC+∠CDF=180°，

　∵∠CDF=27°，

　∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，

　∴∠DAB=2∠DAC=102°．

　故答案为：102°．

　【点睛】

　本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接 BD，BF，这是解答本题的突破口．

　14． 2 或 14

　【分析】

　利用当 AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又 AE 平分∠BAD，由此

　可以推出所以∠BAE=∠DAE，则 DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而 EF=CF+DE-DC，由此可以求出 EF 长；同理可得：当 AD=10cm,AB=6cm 时，可以求出 EF 长

　【详解】

　解：如图 1，当 AB=10cm,AD=6cm

　∵ AE 平分∠ BAD

　∴ ∠ BAE=∠ DAE，

　又∵ AD∥ CB

　∴ ∠ EAB=∠ DEA，

　∴ ∠ DAE=∠ AED，则 AD=DE=6cm

　同理可得：CF=CB=6cm

　∵ EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

　如图 2，当 AD=10cm,AB=6cm,

　∵ AE 平分∠ BAD，

　∴ ∠ BAE=∠ DAE

　又∵AD∥ CB

　∴ ∠ EAB=∠ DEA，

　∴ ∠ DAE=∠ AED 则 AD=DE=10cm

　同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）

　故答案为：2 或 14.

　图 1

　图 2

　【点睛】

　本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．

　15． 6 6 3 +

　【分析】

　通过四边形 ABCD 是矩形以及 CE CB BE   ，得到△FEM 是等边三角形，根据含 30°直角三角形的性质以及勾股定理得到 KM，NK，KE 的值，进而得到 NE 的值，再利用 30°直角三角形的性质及勾股定理得到 BN，BE 即可．

　【详解】

　解：如图，设 NE 交 AD 于点 K，

　∵四边形 ABCD 是矩形，

　∴AD∥BC，∠ABC=90°，

　∴∠MFE=∠ FCB，∠FME=∠ EBC

　∵ CE CB BE   ，

　∴△BCE 为等边三角形，

　∴∠BEC=∠ECB=∠ EBC=60°，

　∵∠FEM=∠ BEC，

　∴∠FEM=∠ MFE=∠FME=60°，

　∴△FEM 是等边三角形，FM=FE=EM=2，

　∵EN⊥BE，

　∴∠NEM=∠ NEB=90°，

　∴∠NKA=∠ MKE=30°，

　∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，

　∴在 Rt△ KME 中，KE=2 22 3 KM EM  ，

　∴NE=NK+KE=6+ 2 3 ，

　∵∠ABC=90°，

　∴∠ABE=30°，

　∴BN=2NE=12+ 4 3 ，

　∴BE=2 26 6 3 BN NE   ，

　∴BC=BE= 6 6 3+，

　故答案为：

　6 6 3 +

　【点睛】

　本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含 30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用 30°直角三角形的性质．

　16．8 或 3

　【分析】

　根据 AE 和 DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．

　【详解】

　解：①当 AE 和 DF相交时，如下图所示

　∵四边形 ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，

　∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD

　∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD

　∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC

　∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF

　∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF

　∴BE=AB，CF=CD

　∴BE=AB= CD= CF

　∵BE＋CF=BC＋EF

　∴2AB=11＋5

　解得：AB=8；

　②当 AE 和 DF不相交时，如下图所示

　 ∵四边形 ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，

　∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD

　∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD

　∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC

　∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF

　∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF

　∴BE=AB，CF=CD

　∴BE=AB= CD= CF

　∵BE＋CF＋EF =BC

　∴2AB＋5=11

　解得：AB=3

　综上所述：AB=8 或 3

　故答案为：8 或 3．

　【点睛】

　此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．

　17．25 ﹣ 2

　【分析】

　连接 AF，CF，AC，利用勾股定理求出 AC、AF，再根据三角形的三边关系得到当点 A，F，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为 25 ﹣ 2 .

　【详解】

　解：如图，连接 AF，CF，AC，

　∵长方形 ABCD 中 AB＝2，BC＝4，正方形 AEFG 的边长为 1，

　∴AC＝25 ，AF＝ 2 ，

　∵AF+CF≥AC，

　∴CF≥AC﹣AF，

　∴当点 A，F，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为 25 ﹣ 2 ，

　故答案为：25 ﹣ 2 ．

　 【点睛】

　此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.

　18．①②③⑤

　【分析】

　根据三角形中位线定理得到 EF＝12AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到 DF＝12AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．

　【详解】

　∵E，F 分别是 BC，AC 的中点，

　∴EF＝12AB，EF∥AB，

　∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，

　∴∠ACD＝45°，

　∴∠BAC＝∠ACD，

　∴AB∥CD，

　∴EF∥CD，故①正确；

　∵∠ADC＝90°，F 是 AC 的中点，

　∴DF＝CF=12AC，

　∵AB=AC，EF＝12AB，

　∴EF＝DF，故②正确；

　∵∠CAD=∠ACD=45°，点 F 是 AC 中点，

　∴△ACD 是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，

　∴∠DFC=90°，

　∵EF//AB，

　∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，

　∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，

　∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，

　∵∠FDC＝45°，

　∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，

　∴∠FDE=∠CDE，

　∴DE 平分∠FDC，故③正确；

　∵AB＝AC，∠CAB＝45°，

　∴∠B＝∠ACB＝67.5°，

　∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；

　∵△ACD 是等腰直角三角形，

　∴AC 2 =2CD 2 ，

　∴AC=2 CD，

　∵AB=AC，

　∴AB＝2 CD，故⑤正确；

　故答案为：①②③⑤．

　【点睛】

　本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

　19．【分析】

　作 AB 的中点 E，连接 EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得 CE 和 EM 的长，然后确定 CM 的范围．

　【详解】

　解：作 AB 的中点 M，连接 EM、CM．

　在 Rt△ ABC 中，AB＝2 2AC BC ＝2 28 6 ＝10，

　∵M 是直角△ABC 斜边 AB 上的中点，

　∴CM＝12AB＝5．

　∵E 是 BD 的中点，M 是 AB 的中点，

　∴ME＝12AD＝2．

　∴5﹣2≤CE≤5+2，即 3≤CE≤7．

　∴最大值为 7，

　故答案为：7．

　 【点睛】

　本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．

　20． 10 2

　【分析】

　根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明 AD=DE=3，再根据 BAD BEC   证明BC=BE，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出 BF，即可求出平行四边形的面积.

　【详解】

　 过点 B 作 BF CD  于点 F ，如图所示．

　∵ AE 是 BAD  的平分线，

　∴ DAE BAE   ．

　∵四边形 ABCD 是平行四边形，

　∴ 5 3 CD AB BC AD BAD BCE AB CD       ， ， ， ∥ ，

　∴ BAE DEA   ，

　∴ DAE DEA   ，

　∴ 3 DE AD   ，

　∴ 2 CE CD DE    ．

　∵ BAD BEC   ，

　∴ BCE BEC   ，

　∴BC=BE,

　∴112CF EF CE    ，

　∴2 2 2 23 1 2 2 BF BC CF     ．

　∴平行四边形 ABCD 的面积为2 2 5 10 2 BF CD    ．

　故答案为：

　10 2 .

　【点睛】

　此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性

　质、三线合一的性质，勾股定理.

　三、解答题

　21．（1）①120°；② BC＝CD+CF；（2）不成立，见解析；（3）8， 26 3

　【分析】

　（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF≌△ABD，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到 CF=BD，再根据 BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；

　（2）依据△ABD≌△ACF，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到 AB∥CF；依据△ABD≌△ACF 可得 BD=CF，依据 CD-BD=BC，即可得出 CD-CF=BC；

　（3）依据  △ △ ADB AFC ，即可得到 8     CF BD BC CD ，利用 ABC  是等边三角形， AH BC  ，可得132   BH HC BC ，即可得出 HD 的长度，利用勾股定理即可求出 AD 的长度，即可得出结论．

　【详解】

　解：（1）在等边△ABC 中，AB=AC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°

　∴∠BAD+∠DAC=60°

　在菱形 ADEF 中

　AD=AF

　∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°

　∴∠CAF=∠DAB

　又∵AC=AB，AF=AD

　∴△ACF≌△ABD

　∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD

　∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°

　故答案为：120°

　②∵BC=BD+CD，BD=CF

　∴BD=CF+CD

　故答案为：BC=CD+CF

　（2）不成立

　理由：∵ ABC  是等边三角形

　∴ 60 BAC ABC ACB     ， AB AC 

　又∵ 60 DAF  

　∴ BAC BAF DAF BAF    

　∴ FAC DAB  

　∵四边形 ADEF 是菱形

　∴ AD AF 

　∴  △ △ ADB AFC

　∴ DB FC  ， 180 60 120 ACF ABD     

　∴ 120 60 60 BCF ACF ACB      

　∵ BC CD BD  

　∴ BC CD CF  

　（3）

　8  CF ，菱形 ADEF 的面积是 26 3

　∵ 60 BAC DAF   

　∴ BAD CAF  

　又∵ AB AC  ， AD AF 

　∴  △ △ ADB AFC

　∴16 6 83CF BD BC CD       

　∴如图，

　 过点 A 作 AH BC  于点 H，连接 FD

　∵ ABC 是等边三角形， AH BC 

　∴1 16 32 2BH HC BC     

　∴ 3 2 5 HD HC CD     

　∵2 2 236 9 27 AH AB BH     

　∴2 227 25 2 13 AD AH DH      ∴1 32 2 2 13 2 13 26 32 2AFD ADEFS S        菱形.

　【点睛】

　此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB≌△FAC 是解本题的关键．

　22．（1）见解析；（2）MN 2 =ND 2 +DH 2 ，理由见解析；（3）EG=4，MN= 5 2

　【分析】

　（1）根据高 AG 与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．

　（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．

　（3）设 EG=BE=x，根据正方形的边长得出 CE，CF，EF，在 Rt△CEF 中利用勾股定理得到方程，求出 EG 的长，设 MN=a，根据 MN 2 =ND 2 +BM 2 解出 a 值即可．

　【详解】

　解：（1）在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中，AB=AG，AE=AE，

　∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．

　∴∠BAE=∠GAE．

　同理，∠GAF=∠DAF．

　∴∠EAF＝12∠BAD＝45°；

　（2）MN 2 =ND 2 +DH 2 ．

　∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，

　∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．

　∴∠HAN=∠MAN，

　又∵AM=AH，AN=AN，

　∴△AMN≌△AHN（SAS）．

　∴MN=HN，

　∵∠BAD=90°，AB=AD，

　∴∠ABD=∠ADB=45°，

　∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，

　∴NH 2 =ND 2 +DH 2 ，

　∴MN 2 =ND 2 +DH 2 ；

　 （3）∵正方形 ABCD 的边长为 12，

　∴AB=AG=12，

　由（1）知，BE=EG，DF=FG．

　设 EG=BE=x，则 CE=12-x，

　∵GF=6=DF，

　∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6，

　在 Rt△CEF 中，

　∵CE 2 +CF 2 =EF 2 ，

　∴（12-x）

　2 +6 2 =（x+6）

　2 ，

　解得 x=4，

　即 EG=BE=4，

　在 Rt△ABD 中，

　BD=2 2AB AD = 12 2 ，

　在（2）中，MN 2 =ND 2 +DH 2 ，BM=DH，

　∴MN 2 =ND 2 +BM 2 ．

　设 MN=a，则 a 2 ＝   2 212 2 3 2 3 2 a    ，

　即 a

　2 =   2 29 2 3 2 a   ，

　∴a= 5 2 ，即 MN＝ 5 2 ．

　【点睛】

　本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．

　23．（1）详见解析；（2）

　DE EF  ，理由详见解析；（3）

　DE EF  ，理由详见解析

　【分析】

　（1）根据 90 , 90 AED FEB ADE AED         ，等量代换即可证明；（2）DE=EF，连接 NE，在 DA 边上截取 DN=EB，证出△DNE≌△EBF 即可得出答案；（3）在 DA 边上截取 DN EB  ，连接 NE ，证出   DNE EBF ASA ≌ 即可得出答案．

　【详解】

　(1)证明:∵ 90 DAB DEF     ，

　∴ 90 , 90 AED FEB ADE AED         ，

　∴ ADE FEM   ;

　(2) ; DE EF  理由如下:

　如图，取 AD 的中点 N ，连接 NE ，

　 ∵四边形 ABCD 为正方形，

　∴ AD AB 

　，

　∵ , N E 分别为 , AD AB 中点

　∴1 1,2 2AN DN AD AE EB AB     ，

　∴ , DN BE AN AE  

　又∵ 90 A   

　∴ 45 ANE   

　∴ 180 135 DNE ANE      ，

　又∵ 90 CBM    ， BF 平分 CBM 

　∴ 45 , 135 CBF EBF       ．

　∴ DNE EBF  

　 在 DNE △ 和 EBF △ 中

　ADE FEBDN EBDNE EBF        DNE EBF ASA ≌ ，

　∴ DE EF 

　(3) DE EF  .理由如下:

　如图，在 DA 边上截取 DN EB  ，连接 NE ，

　 ∵四边形 ABCD 是正方形， DN EB  ，

　∴ AN AE  ，

　∴ AEN △ 为等腰直角三角形，

　∵ 45 ANE   

　∴ 180 45 135 DNE      ，

　∵ BF 平分 CBM  ， AN AE  ，

　∴ 90 45 135 EBF      ，

　∴ DNE EBF   ，

　在 DNE △ 和 EBF △ 中

　ADE FEBDN EBDNE EBF      ∴   DNE EBF ASA ≌ ，

　∴ DE EF  ．

　【点睛】

　此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE≌△EBF．

　24．（1）见解析；（2）2 2 2MN BN DM   ，理由见解析；（3）

　3 2

　【分析】

　（1）由直角三角形的性质得 AO=MO=12BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；

　（2）在 AD 上方作 AF⊥AN，使 AF=AN，连接 DF、MF，证△ABN≌△ADF（SAS），得BN=DF，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM≌△FAM（SAS），得 MN=MF，在

　Rt△FDM 中，由勾股定理得 FM 2 =DM 2 +FD 2 ，进而得出结论；

　（3）作 P 关于直线 CQ 的对称点 E，连接 PE、BE、CE、QE，则△PCQ≌△ECQ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP，△PCE 是等腰直角三角形，得 CE=CP=22PE，证△BCE≌△DCP（SAS），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出 BE= 4 2 ，PE=6，即可得出 PC 的长．

　【详解】

　解：（1）证明：

　四边形 ABCD 是正方形，

　90 ABC BAD     ， 45 ABD ADB     ，

　ME BD ，

　90 BME    ，

　O 是 BE 的中点，

　12AO MO BE BO EO      ，

　ABO BAO   ， OBM OMB   ，

　2 2 2 90 AOM AOE MOE ABO MBO ABD            ；

　（2）2 2 2MN BN DM   ，理由如下：

　在 AD 上方作 AF AN  ，使 AF AN  ，连接 DF 、 MF ，如图 2 所示：

　则 90 NAF    ，

　四边形 ABCD 是正方形，

　AB AD  ， 90 BAD NAF     ，

　BAN DAF   ，

　45 NAM    ，

　45 FAM NAM    ，

　在 ABN  和 ADF  中，AB ADBAN DAFAN AF   ，

　( ) ABN ADF SAS   ，

　BN DF   ， 45 DAF ABN     ，

　90 FDM ADB ADF      ，

　45 NAM    ，

　45 FAM NAM    ，

　在 NAM  和 FAM  中，AN AFNAM FAMAM AM   ，

　( ) NAM FAM SAS   ，

　MN MF   ，

　在 Rt FDM  中，2 2 2FM DM FD  ，

　即2 2 2MN BN DM   ；

　 （3）作 P 关于直线 CQ 的对称点 E ，连接 PE 、 BE 、 CE 、 QE ，如图 3 所示：

　则PCQ ECQ   ，135 ECQ PCQ     ， 9 EQ PQ  ，

　360 90 PCE PCQ ECQ       ，

　BCE DCP   ， PCE  是等腰直角三角形，

　22CE CP PE    ，

　在 BCE  和 DCP  中，BC DCBCE DCPCE CP   ，

　( ) BCE DCP SAS   ，

　45 CBE CDB CBD      ，

　90 EBQ    ，

　90 PBE    ，

　2 PB Q ，9 PQ  ，

　7 BQ PQ PB    ，

　2 2 2 29 7 4 2 BE EQ BQ       ，

　2 2 2 22 (4 2) 6 PE PB BE       ，

　23 22PC PE    ；

　故答案为：

　3 2 ．

　 【点睛】

　本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．

　25．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析．

　【分析】

　（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC≌△FNE（AAS）即可解决问题；

　（2）过点 F作 FG∥AB 交 BD于点 G．首先证明四边形 ABGF为平行四边形，再证明△FGM≌△DMC（AAS）即可解决问题；

　【详解】

　（1）解：∵四边形 ABCD 是正方形，

　∴ 90 B N CEF      ，

　∴90 NEF CEB   ，90 CEB BCE   ，

　∴ NEF ECB   ，

　∵ EC EF  ，

　∴ EBC  ≌ FNE 

　∴ FN BE  ， EN BC  ，

　∵ BC AB 

　∴ EN AB 

　 ∴ EN AE AB AE   

　∴ AN BE  ，

　∴ FN AN  ，

　∵ FN AB  ，

　∴45 NAF  ，

　∴ 135 EAF  ∠

　（2）证明：过点 F 作 // FG AB 交 BD 于点 G .

　 由（1）可知 135 EAF  ∠ ，

　∵ 45 ABD   

　∴ 135 180 EAF ABD      ，

　∴ // AF BG ，

　∵ // FG AB ，

　∴四边形 ABGF 为平行四边形，

　∴ AF BG  ， FG AB  ，

　∵ AB CD  ，

　∴ FG CD  ，

　∵ // AB CD ，

　∴ // FG CD ，

　∴ FGM CDM   ，

　∵ FMG CMD  

　∴ FGM  ≌ CDM 

　∴ GM DM  ，

　∴ 2 DG DM  ，

　∴ 2 BD BG DG AF DM     .

　【点睛】

　本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

　26．（1）见解析；（2）2

　【分析】

　（1）由 ABC 和 BCD 中， 90 BAC BDC     ， E 为 BC 的中点，得到12DE AE BC   ，从而 EDA EAD   ，根据 // DC AE 得到 ADC EDA   ，再根据等腰三角形的性质得到 EF DA  ；

　（2）由 4 BC  求出 DE=AE=2，根据 EF DA  ，得到132DO AD   ，利用勾股定理求出 EO，由此得到 2 2 EF EO   .

　【详解】

　（1）∵ ABC 和 BCD 中， 90 BAC BDC     ， E 为 BC 的中点

　∴12DE AE BC  

　∴ EDA EAD  

　∵ // DC AE

　 ∴ ADC EAD  

　∴ ADC EDA  

　∵ DF DE 

　∴ EF DA  .

　(2)∵ 4 BC  ,

　∴122DE BC  

　∵ DE AE  , , 2 3 EF DA AD  

　∴132DO AD  

　Rt DEO 中，2 21 EO DE DO    ∵ DF DE 

　∴ 2 2 EF EO  

　【点睛】

　此题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用.（1）中点的运用很关键，确定边相等，利用等边对等角求得角的相等关系；（2）在证明中利用（1）的结论求得132DO AD   是解题的关键.

　27．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.

　【解析】

　【分析】

　(1)如图，延长 EF 交 CD 延长线于点 Q，先证明 CQ=CE，再证明△ FQD≌ △ FEA，根据全等三角形的对应边相等可得 EF=FQ，再根据等腰三角形的性质即可得 CF⊥EF；

　(2)分别过点 F、H 作 FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为 M、P，证明四边形 DFHP 是矩形，继而证明△ HPC≌ △ FMK，根据全等三角形的性质即可得 CH=FK；

　(3)连接 CN，延长 HG 交 CN 于点 T，设∠ DCF=α，则∠ GCF=α， 先证明得到 FG=CG=GE，∠ CGT=2  ，再由 FG 是 BC 的中垂线，可得 BG = CG， ∠ CGT=∠ FGK=∠ BGT=2  ，再证明HN∥ BG，得到四边形 HGBN 是平行四边形，继而证明△ HNC≌ △ KGF，推导可得出HT=CT=TN ，由 FH-HG=1，所以设 GH=m，则 BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据2 2 2 2 2BC CN BN CE BE    ，可得关于 m 的方程，解方程求得 m 的值即可求得答案.

　【详解】

　(1)如图，延长 EF 交 CD 延长线于点 Q，

　 ∵矩形 ABCD，AB∥ CD，

　∴∠ AEF=∠ CQE， ∠A=∠ QDF，

　又∵EF 平分∠ AEC ，

　∴∠ AEF=∠ CEF，

　∴∠ CEF=∠ CQE，

　∴CQ=CE，

　∵ 点 F 是 AD 中点，

　∴AF=DF，

　∴ △ FQD≌ △ FEA，

　∴EF=FQ，

　又∵ CE=CQ，

　∴CF⊥EF；

　(2)分别过点 F、H 作 FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为 M、P，

　 ∵CQ=CE ，CF⊥EF，

　∴∠ DCF=∠ FCE，

　又∵FD⊥CD，

　∴FM=DF，

　∵FG//AB，∴ ∠ DFH=∠DAC=90°，

　∴ ∠DFH=∠ FDP=∠ DPH=90°，

　∴四边形 DFHP 是矩形，

　∴DF=HP，

　∴FM= DF=HP，

　∵∠ CHG=∠ BCE，AD∥ BC，FG∥ CD，

　∴∠ K=∠ BCE=∠ CHG=∠ DCH，

　又∵ ∠ FMK=∠ HPC=90°，

　∴△ HPC≌ △ FMK，

　∴CH=FK；

　(3)连接 CN，延长 HG 交 CN 于点 T，设∠ DCF=α，则∠ GCF=α，

　∵FG∥ CD ，∴∠ DCF=∠CFG，

　∴ ∠ FCG=∠ CFG，∴FG=CG，

　∵CF⊥EF，

　∴∠ FEG+∠FCG=90°，∠ CFG+∠ GFE=90°，

　∴ ∠GFE=∠ FEG，∴ GF=FE，

　∴ FG=CG=GE，∠ CGT=2  ，

　∵FG 是 BC 的中垂线，

　∴ BG = CG， ∠ CGT=∠ FGK=∠ BGT=2  ，

　∵∠ CHG=∠ BCE=90°-2  ，∠ CHN=90°，

　∴∠ GHN=∠ FGK=∠ BGT=2  ，

　∴HN∥ BG，

　∴四边形 HGBN 是平行四边形，

　∴HG=BN，HN=BG = CG =FG，

　∴△ HNC≌ △ KGF，

　∴GK=CN，∠ HNC=∠ FGK=∠ NHT=2  ，

　∴HT=CT=TN ，

　∵FH-HG=1，∴设 GH=m，则 BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，

　∵GT=112 2EN ，∴CN=2HT=11+2m，

　∵2 2 2 2 2BC CN BN CE BE    ，

　∴2 2 2 2(11 2 ) (4 2) (11 ) m m m m      

　 ∴1176m   (舍去)，27 m  ，

　∴CN=GK=2HT=25.

　【点睛】

　本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

　28．（1）①45；②△ADE≌△ECF，理由见解析；（2）2 5 .

　【分析】

　（1）①根据矩形的性质得到 90 ABC BCD     ，根据角平分线的定义得到45 EBC    ，根据三角形内角和定理计算即可；

　②利用 ASA 定理证明 ADE ECF  ；

　（2）连接 HB ，证明四边形 NBEH 是矩形，得到 NE BH  ，根据勾股定理求出 BH 即可.

　【详解】

　（1）①∵四边形 ABCD 为矩形，

　∴∠ABC=∠BCD=90°，

　∵BE 平分∠ABC，

　∴∠EBC=45°，

　∴∠BEC=45°，

　故答案为 45；

　②△ADE≌△ECF，

　理由如下：∵四边形 ABCD 是矩形，

　∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC．

　∵FE⊥AE，

　∴∠AEF=90°．

　∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°．

　∵∠AED+∠DAE=90°，

　∴∠FEC=∠EAD，

　∵BE 平分∠ABC，

　 ∴∠BEC=45°．

　∴∠EBC=∠BEC．

　∴BC=EC．

　∴AD=EC．

　在△ADE 和△ECF 中，

　DAE CEFAD ECADE ECF     ，

　∴△ADE≌△ECF；

　（2）连接 HB，如图 2，

　∵FH∥CD，

　∴∠HFC=180°-∠C=90°．

　∴四边形 HFCD 是矩形．

　∴DH=CF，

　∵△ADE≌△ECF，

　∴DE=CF．

　∴DH=DE．

　∴∠DHE=∠DEH=45°．

　∵∠BEC=45°，

　∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°．

　∵NH∥BE，NB∥HE，

　∴四边形 NBEH 是平行四边形．

　∴四边形 NBEH 是矩形．

　∴NE=BH．

　∵四边形 ABCD 是矩形，

　∴∠BAH=90°．

　∵在 Rt△BAH 中，AB=4，AH=2，

　【点睛】

　本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

　29．（1）14；（2）mbAGa ；（3）53 【分析】

　（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；

　（2）如图②，过 O 作 ON⊥AD 于 N，OM⊥AB 于 M，根据图形的面积得到14mb＝14AG•a，于是得到结论；

　（3）如图③，同理：过 O 作 QM⊥AB，PN⊥AD，先根据平行四边形面积可得 OM 和 ON的比，同理可得 S △BOE ＝S △AOG ，根据面积公式可计算 AG 的长．

　【详解】

　解：（1）如图①，

　∵四边形 ABCD 是正方形，

　∴OA＝OC，∠OAG＝∠EBO＝45°，∠AOB＝90°，

　∵EF⊥GH，

　∴∠EOG＝90°，

　∴∠BOE＝∠AOG（SAS），

　∴△BOE≌△AOG，

　∴S △BOE ＝S △AOG ，

　又∵S △AOB ＝14S 四边形 ABCD ，

　∴S 四边形 AEOG ＝14S 正方形 ABCD ，

　故答案为：14．

　（2）解：如图②，过 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥AD 于 N，

　 ∴S △AOB ＝S △AOD ＝14S 矩形 ABCD ，

　∵S 四边形 AEOG ＝14S 矩形 ABCD ，

　∴S △AOB ＝S 四边形 AEOG ，

　∴S △BOE ＝S △AOG ，

　∵S △BOE ＝12BE•OM＝14mb，

　S △AOG ＝12AG•ON＝14AG•a，

　∴mb＝AG•a，

　∴AG＝mba；

　（3）如图③，过 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥AD 于 N，

　∵S △AOB ＝S △AOD ＝14S ▱ ABCD ，S 四边形 AEOG ＝14S ▱ ABCD ，

　∴S △AOB ＝S 四边形 AEOG ，

　∴S △BOE ＝S △AOG ，

　∵S △BOE ＝12BE•OM＝12OM，S △AOG ＝12AG•ON，

　∴OM＝AG•ON，

　∵S ▱ ABCD ＝3×2OM＝5×2 ON，

　∴53OMON ，

　∴AG＝53；

　【点睛】

　本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明 S △BOE ＝S △AOG 是解决问题的关键．

　30．（1）见解析；（2）① 2 ABE BFC   ；②见解析；③732 【分析】

　（1）证明( ) BAE BCF ASA   可得结论．

　（2）①结论：

　2 ABE BFC   ．如图 2 中，设 EBC x   ，BFC y  ，则 2 ABF x   ，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．

　②将 ABE  绕 BE 翻折得到 BEH  ，延长 BH 交 CD 于 T ，连接 ET ．设2 AB CD k   ，则 3 AD BC k   ，利用全等三角形的性质解决问题即可．

　③求出 CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．

　【详解】

　解：（1）证明：如图 1 中，

　 四边形 ABCD 是矩形，

　90 ABC BCD BCF      ，

　60 EBC    ，12CBE ABF    ，

　120 ABF    ，

　90 60 30 ABE         ， 120 90 30 CBF      ，

　ABE CBF   ，

　AB BC  ，

　( ) BAE BCF ASA   ，

　BE BF   ．

　（2）①结论：

　2 90 EBC BFC     ．

　理由：如图 2 中，设 EBC x   ，BFC y  ，则 2 ABF x   ，

　90 BCF    Q ，

　90 FBC y   ，

　=2 ABE FBC ABF EBC x x x       ，

　(90 ) ABE x y    ，

　90 ABE EBC     ，

　(90 ) 90 x y x       ，

　2 180 x y     ，

　2 180 EBC BFC      ，

　  2 90 180 ABE BFC      ，

　2 ABE BFC    ．

　②证明：将 ABE  绕 BE 翻折得到 BEH  ，延长 BH 交 CD 于 T ，连接 ET ．设2 AB CD k   ，则 3 AD BC k   ，

　ABE EBH   ，12EBC ABF    ，

　FBC CBT   ，

　90 FBC F CBT BTC       ，

　F BTC   ，

　BF BT   ， CT CF  ，

　DE AE EH   ， ET ET  ， 90 D EHT     ，

　Rt ETD Rt ETH(HL)    ，

　DT TH   ，

　在 Rt BCT  中，则有2 2 2(2 ) (3 ) (2 ) k x k k x     ，

　解得98x k  ，

　2 BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB              ．

　 ③由②可知， 3 BC k  ，9 728 8CF CR k k k     ，

　2...