初中数学一题五解学法指导学法指导

　 初中数学一题五解

　刘丽胜

　 题目：如图1所示，点D是△ABC的边BC上一点，如果AB=AD=2，AC=4，且BD：DC=2：3，则△ABC是（ ）

　 A. 锐角三角形 B. 直角三角形

　 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或直角三角形

　（第十六届（05年）“希望杯”初二1试）

　图1

　 分析：本题构思巧妙，能较好地考查学生的猜想及探究能力，而且从下面的几种解法中，不难发现，本题所用到的知识点大部分是学生在初二阶段刚学到的，涉及到等腰三角形的“三线合一定理”、“勾股定理及逆定理”、“平行线分线段成比例定理”、“相似三角形的性质及判定定理”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“圆幂定理”以及“三角形中位线定理”。可适合不同版本的教材，真正体现了以人为本的命题理念。

　 1. 用平行线

　 证法1：如图1所示，过D作DE//AB交AC于E

　 则

　 所以

　 即

　 所以

　 因为

　 所以

　 又

　 所以

　 即△ABC为直角三角形

　 选（B）

　 证法2：如图2所示，延长AD至E，使DE=3，连结CE

　 则

　图2

　 所以

　 故

　 又

　 由，得

　 因为

　 所以

　 于是有

　 故△ABC为直角三角形

　 选（B）

　 2. 设参数

　 证法3：如图3所示，过A作于E，取AC中点F，连结EF，并过F作于G

　图3

　 设BD=2k，则

　 因为

　 所以

　 又因为

　 所以 （1）

　 在

　 所以 （2）

　 在 （3）

　 由（1）、（2）、（3），得

　 解

　 所以

　 因为

　 即

　 所以△ABC为直角三角形

　 选（B）

　 证法4：如图4所示，过A作于E，延长CA至F，使，连结BF。

　图4

　 设BD=2k，则DC=3k

　 因为AB=AD

　 所以

　 故

　 即AE//BF

　 所以△CAE∽△CFB

　 即 （1）

　 由勾股定理，得 （2）

　 （3）

　 由（1）、（2），得 （4）

　 由（3）、（4），得

　 所以

　 因为

　 所以△ABC为直角三角形

　 选（B）

　 证法5：以A为圆心，AB为半径作圆交AC于F，交CA的延长线于E。

　图5

　 设BD=2k，则CD=3k

　 因为AD=2

　 所以圆A过点D

　 由，得：

　 即

　 所以

　 因为

　 所以△ABC为直角三角形

　 选（B）