函数奇偶性、周期性、对称性（一）

　函数的奇偶性、周期性、对称性

　 一、函数的奇偶性

　1．函数奇偶性的定义：函数 f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个 x 都满足

　 ① f (x)  f (x)  函数 f (x) 为偶函数；

　② f (x)   f (x)  f (x)  f (x)  0  函数 f (x) 为奇函数.

　2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称；反过来如果一个函数的图像

　关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于 y 轴对称，该函数为偶函数.

　 3．函数奇偶性的性质

　 ①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f (x)  0 ， x  D ，其中定义域 D 是

　关于原点对称的非空数集.

　 ②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数 f (x) 在

　区间 [a, b](0  a  b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间 [b, a] 上也是单调递增（减）；

　③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数 f (x) 在

　区间 [a, b](0  a  b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间 [b, a] 上也是单调递减（增）；

　④任意定义在 R 上的函数 f (x) 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即

　f (x) f (x)  f (x)  f (x)  f (x) .

　2 2

　二、函数的周期性

　1．函数的周期性定义：对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得定义域内的每一

　个 个 x 值，都满足 f (x  T )  f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这 个函数的周期，应注意 nT （ n  Z 且 n  0 )也是函数的周期．

　2．最小正周期：如果在周期函数 f (x) 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最

　小的正数就叫做 f (x) 的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期，如 f (x)  c （ c 为常数），任意一个实数 x 都是该函数的一个周期，却没有最小正周期.

　 三、函数的对称性

　1．函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.

　2．中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180 ，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.

　【必记结论】

　1．奇函数 f (x) 若在 x  0 处有定义，则必有 f (0)  0 ，但若不能判断奇函数 f (x) 的定义

　域中一定有 x  0 ，则不能使用 f (0)  0 ，求取参数的值.

　2． 函数

　f (x) 的定义域关于原点对称， 则函数 F (x) f (x)  f (x) 为偶函数， 函数

　F (x)  f (x)  f (x) 为奇函数.

　 3．几类函数的周期(约定 a  0 )问题：

　 ① 若 函 数 f (x) 满 足 ：

　f (x  a)  f (x  a) 或 f (x  a)   f (x) 或

　f (x  a) k

　 f (x)

　( f (x)  0, k  0) ， 或 f (x  a)  k

　 f (x) ( f (x)  0, k  0) ,或

　f (x  a)  1 f (x) 或 f (x  a)  f (x)  b 等，则 f (x) 的周期 T  2a ；

　1 f (x)

　 ②若 y f (x) 的图象关于直线 x  a , x  b (a  b) 对称，则函数 y f (x) 是周期为

　2 a  b 的周期函数；

　③若 y  f (x) 的图象关于 (a,0) 对称， 同时关于点 (b,0) 对称，（ b  a ）， 则函数

　y  f (x) 是周期为 2 | b  a | ；

　④若 y  f (x) 的图象关于 x  a 对称， 同时关于点 (b,0) 对称，（ b  a ）， 则函数

　y  f (x) 是周期为 4 | b  a | .

　4．函数 y f (x) 的图像的对称性

　①函数 y  f (x) 的图像关于直线 x  a 对称  f (a  x)  f (a  x)  f (2a  x)  f (x) .

　②函数 y f (x) 的图像关于点 (a,0) 对称 f (x) 

　

　f (2a 

　x)  f (a  x)   f (a  x) .

　 ③函数 y f (x) 满足 f (a  x)  f (b  x) ，则 y  f (x) 的图像关于直线 x  b  a

　2

　 对称.

　 ④ 若函数 y  f (x) 对定义域中任意 x 均有 f (a  x)  f (b  x)  c  0 ， 则函数 y  f (x) 的图像关于点 ( a  b ,  c ) 成中心对称图形.

　2 2

　5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题

　 ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.

　 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.

　 ③二次函数 f (x)  ax 2  bx  c(a  0) ：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 x   b .

　2a k ④反比例函数 y (k  0) ：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心， x y  x 与 y  x 均为它的对称轴.推广：函数 a (cx  d )  b  ad b  ad

　y  ax  b  c c

　 a  c c 2

　 ，由函数图象的平移知识易知：函数 cx  d cx  d c x  d c d

　a

　 x  2 的对称中心为 (, ) .（思考：如何快速作出函数 y c c

　 2x  5 的图象？找对称中心， 化分母变量的系数为正，并将分母为零点时的自变量的值代入分子，看正负，从而快速画出图形.）

　⑤函数 y  a | x  b | c 的图象关于直线 x  b 对称.

　 b  c ⑥函数 y | ax  b |  | ax  c | (a  0) 的对称轴为 x 

　a a  b  c ； 2 2a y | ax  b |  | ax  c | (a  0) 的对称中心为 ( b  c , 0) .

　2a

　⑦函数 y  x  a (a  0) 是奇函数，图象关于原点 (0, 0) 对称.

　x

　⑧函数 y  Asin( x  )  k 、 y  A cos( x  )  k 的图象既是轴对称图形，也是中

　心对称图形，它们的对称轴在函数取得最值（最大或最小）时取到，它们的对称中心是“平衡点”.

　 ⑨三次函数 f (x)  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) 的图象是中心对称图形，对称中心为 ( b

　3a

　, f ( b )) （二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标，在该点的函3a 数值是对称中心的纵坐标）.

　 ⑩绝对值函数：这里主要说的是 y  f (| x |) 和 y | f (x) | 两类.前者显然是偶函数，它会 关于 y 轴对称；后者是把 x 轴下方的图像对称到 x 轴的上方，是否仍然具备对称性， 这也没有一定的结论，例如 y  ln x 就没有对称性，而 y | sin x | 却仍然是轴对称.

　6．两个函数图像的对称性

　 ①互为反函数的两个函数的图像关于直线 y  x 对称.如指数函数 y  a x 与对数函数

　y  log a x 的图象关于直线 y  x 对称.

　②函数 y f (a  x) 与函数 y f (b  x) 的图像关于直线 x b  a

　 2

　对称.

　 ③函数 y f (a  wx) 与函数 y f (b  wx) 的图像关于直线 x  b  a

　 2w

　对称.

　 【解题方法】

　1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.

　 2．函数奇偶性的判断方法：

　 ①定义法判断，步骤：1）求出函数的定义域；2）判断定义域是否关于原点对称；3）

　根据定义域化简函数的解析式， 并求出 f (x) ； 4）

　判断 f (x)   f (x) 或 f (x)  f (x) 是否对定义域内的每一个 x 恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反 例，若在函数 f (x) 的定义域内有 f (m)  f (m) ，则可以断定 f (x) 不是偶函数，同 样，若在函数 f (x) 的定义域内有 f (m)   f (m) ，则可以断定 f (x) 不是奇函数）；

　 【注意】

　 （1）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f (x) 与 f (x) 的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

　 （2）对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．

　 ②函数的图像法判断（函数的图像是否关于原点对称；函数的图像是否关于 y 轴对称）；

　③函数 f (x), g(x) 的公共定义域关于原点对称

　 1）若函数 f (x), g(x) 都为奇函数或都为偶函数，则函数 F (x)  f (x)g(x) 为偶函数；

　 2）若函数 f (x), g(x) 其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数 F (x) 为奇函数；

　f (x)g(x)

　3）若函数 f (x), g(x) 都为奇函数，则函数 F (x)  f (x)  g(x) 为奇函数；

　 4）若函数 f (x), g(x) 都为偶函数，则函数 F (x)  f (x)  g(x) 为偶函数.

　 【注意】复合函数 y  f [g(x)] 的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇.

　 3． 已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：

　常采用待定系数法， 利用 f (x)  f (x)  0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.

　4．如果函数 f (x) 是偶函数，那么 f (x) f (| x |) ，通常在求解与偶函数、单调性有关的不

　等式时，利用此公式进行转化所求解的不等式.

　 5．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．

　 6．对抽象函数的周期性、对称性问题的总结

　①当括号里面 x 前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆.

　②而当 x 前面的符号相同时告诉我们的是周期性.

　③当 x 前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力.

　7．证明一个函数 y f (x) 关于直线 x  a 对称的步骤：①设函数 y  f (x) 图像上的任意点 (x, y) ；②找到点 (x, y) 关于直线 x  a 的对称点 (2a  x, y) ；③设法证明点 (2a  x, y) 也在函数 y f (x) 的图像上；④下结论.

　 8．证明一个函数 y  f (x) 关于点 (a, b) 对称的步骤：①设函数 y  f (x) 图像上的任意点 (x, y) ； ② 找到点 (x, y) 关于点 (a, b) 的对称点 (2a  x, 2b  y) ； ③ 设法证明点 (2a  x, 2b  y) 也在函数 y  f (x) 的图像上；④下结论.

　 9．对于证明两个函数的图像关于直线 x  a 对称或关于点 (a, b) 对称的方法参照一个函数的

　证明方法进行即可.

　 10．已知定义在 R 上的周期函数 f (x) ，周期为 T ，函数 f (x) 的一个对称中心为 (a, b) 或对

　T T 称轴为 x  a ，则点 (k   a, b) 必是函数 f (x) 的对称中心，直线 x  k   a 必是函 2 2 数 f (x) 的对称轴（每相邻两个对称中心之间相差半周期，每相邻两条对称轴之间相差

　半周期，只要有有一个对称中心，根据周期就可求出所有的对称中心，只要知道一条对 称轴，就可以根据周期找出所有的对称轴，但是由对称中心及周期，却不能找出对称轴， 同样由对称轴及周期，也不能找到对称中心）.

　 11．若函数 y f (x) 有对称中心，则函数 y f (x) 的对称中心求解类型有：

　①若函数 y 的横坐标；

　 ②若函数 y 坐标；

　 f (x) 的定义域有对称中心，则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心

　f (x) 的值域有对称中心，则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵

　③ 若 函 数 y  f (x) 的 定 义 域 与 值 域 都 是 R ， 则 设 对 称 中 心 为 (a, b) ， 由

　f (a  x)  f (a  x)  2b 确定参数 a, b 的值即可.

　④上些具体函数的对称中心问题：三次函数的对称中心，可通过二阶导数为零求出，对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数，可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.

　 注：函数 y  1 

　1 

　1 的对称中心为   n , 0  .

　x x 1 x  n  2  【易错提醒】

　1． 判断函数的奇偶性， 务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数

　f (x)  x 2 (x  1) ， 该函数是没有奇偶性， 但如果没有判断函数的定义域， 而直接

　f (x)  (x) 2  x 2  f (x) ，容易得出错误的结论：

　f (x)  x 2 (x  1) 是偶函数.

　 2．奇函数 f (x) 在 x  0 处可以没有定义，如 f (x) 定义，则 f (0)  0 .

　1 ；但如果奇函数 f (x) 在 x  0 处有 x

　 3． 周期函数 f (x) 的定义域至少有一边是无界的.如：

　命题“ 函数 f (x)  sin x 在

　[1000 ,1000 ] 是周期函数”是错误的；命题“函数 f (x)  sin x 在 [0, ) 是最小正

　周期为 2 的周期函数”是正确的，该函数没有负周期；命题“函数 f (x)  sin x 在 (, 0] 是周期为 2 的周期函数”是正确的，但该函数却没有最小正周期.

　 4．有对称性（对称轴 x  a ，对称中心 (a, b) ）的一个或两个函数的定义域必须关于 x  a

　对称.

　 5．在具体练习中，务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性，这两者是有区别的.如 函 数 y f (x) 满 足 f (2  x) f (4  x) ， 则 函 数 y  f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x  2  4  3 对称；函数 y 2 x  2  4  1 对称.

　2

　f (2  x) 的图象与函数 y f (x  4) 的图象则关于直线