MATLAB三级项目范例

　MATLAB三级项目报告

　项目名称：冷轧板带轧机板型预报模型及软件

　姓 名：王志辉 李建朋 陆宇杰 李昊华

　指导教师：孙建亮

　日 期：2016.4.30

　目录

　一 摘要 2

　二 前言 3

　三 正文 4

　3.1条元法概述 4

　3.2模拟板带轧制过程的条元法 4

　3.2.1横向位移函数与条元分个模型 4

　3.2.2 横向位移函数 5

　3.2.3条元分割模型 6

　3.3流动速度和应变速度 7

　3.3.1变形区流动速度 7

　3.3.2金属相对辊面的滑动速度和位移 9

　3.4前后张力和摩擦力 9

　3.4.2后张力的横向分布 10

　3.4.3接触表面摩擦力 11

　3.5三向应力与单位轧制压力 12

　3.5.1 变形区三向应力模型 12

　3.5.2 纵向平衡微分方程 13

　3.6几个参数的确定 14

　3.6.1板带厚度 14

　3.6.2 变形抗力与变形区长度 15

　3.7节线出口横向位移的确定 15

　3.7.1 板带轧制时的变分原理 15

　3.7.2 条元法的功率泛函 15

　3.7.3优化求解节线出口横向位移 16

　四 结论 18

　五 参考文献 18

　一 摘要

　 本文提出了一种模拟带材轧制过程的一个新方法--三次样条函数条元法。在轧制宽厚比为625的条件下，用此方法对四辊轧机冷轧带材过程的三维力学行为进行了研究。得到在轧后边浪和中浪两种不同板形状态下的理论计算结果与实验结果有较好吻合。本方法对三维轧制理论、板形理论和板形控制技术的发展有重要意义。

　关键词 冷轧带材 三维分析 条元法 三次样条函数

　二 前言

　 研究辊系弹性变形采用分割模型影响函数法的原理，正确理解并且使用条元变分法确定金属塑性变形模型，最终利用辊系模型与金属模型耦合模型的办法确定计算框图。从而深化对轧制过程的认识，掌握轧制过程三维变形的规律。研究范围：HC六辊轧机、CVC四辊和六辊轧机、HCW四辊轧机、VC支承辊和PC轧机等各种板型控制轧机。（此处以四辊轧机为例）

　板带材在汽车、造船、机械制造、家用电器、电工、无线以及国防等许多工业部门都具有重要的用途。对于板形控制，虽然已经取得了重大进展，许多技术也已进入了实用阶段，但由于影响因素复杂多变，在基础理论、检测技术和控制技术方面都还有许多问题没有解决，任然是摆在人们面前的重大研究课题。

　完整的板形理论研究内容包括以下三个方面：

　轧件（金属）三维说行变形理论和数学模型

　辊系弹性变形理论和数学模型

　板形标准曲线理论和数学模型

　 上述三个理论模型之间相互联系，不可分割。关于辊系变形理论模型，人们已进行了长期大量的研究，目前理论和计算精度已达到实用的程度。关于板形标准曲线理论模型，人们研究得很少，应迅速加强。关于三维轧制理论模型，虽然已提出了许多研究方法，取得了大量近战，但还是不能满足板形控制技术的要求。三维轧制理论是板形理论的重点和难点。塑性变形问题的复杂性，决定了金属变形的分析要比辊系变形的分析困难的多。为了促进板形理论和板形控制技术的发展，必须研究精确实用的三维轧制理论模型。(上述摘自三维轧制理论及其应用)

　 预期的计算结果为：在耦合计算过程中，辊系变形模型为金属模型提供负载辊缝横向分布（出口厚度），而金属模型为辊系变形模型提供单位宽度轧制压力的横向分布。通过迭代计算，轧件塑性变形与辊系变形能得出符合实际的结果。

　研究板带轧制过程的三维力学行为对板形理论和板形控制技术的发展有重要意义。目前，用差分法、有限元法和边界元法等研究了轧件宽厚比较小（小于300）的轧制过程。且多限于对轧后潜在边浪问题的分析。

　由于带材轧制的宽厚比较大，因此，研究大宽厚比轧制时的板形控制问题更具有实际意义。在已有的适用于此类问题分析的常条元法和线性条元法的基础上。本文提出用三次条元函数构造横向位移函数的三次样条函数条元法，使理论更加完善，严密。

　项目分工

　李昊华

　进行软件编程

　王志辉

　制作PPT

　李建朋

　绘制GUI界面

　陆宇杰

　制作WORD报告

　三 正文

　3.1条元法概述

　条元法是在变分法求解辊缝中金属横向流动的基础上提出来的研究炸制过程金属三维变形问题，首先需要确定金属的横向位移。根据金属质点在变形区横向流动的特点，将横向位移函数U（x，y）沿x方向的变化用一个构造的已知函数f（x）表示。沿y方向变化用待求函数u（y）=f（x）u（y），将二维问题化为三维问题。变分法求解时，当轧件厚度沿变形区纵向用二次函数表示时。f（x）实际上是x的二次函数，而u（y）为出口横向位移函数，用变分法求u（y）的精确解是很困难的。为了避免求解复杂的欧拉微分方程，可将变形区划分为一些纵向条元，将问题转化为求条元节线上出口镜像唯一的数值解，ui=u（yi）。这就是条元法的基本思想。

　3.2模拟板带轧制过程的条元法

　3.2.1横向位移函数与条元分个模型

　（1）轧制过程为稳定轧制过程，且关于xox平面对称（见图2-1）

　（1）轧件在辊缝内部为刚塑性材料，在辊缝外部考虑其弹性形变。

　（2）流动速度、应变速度和盈利等参数沿板厚方向保持不变，且不考虑xz，yz两个剪应力。

　（4）轧件与轧辊的接触表面分为滑动区和停滞区两个区域，滑动区的摩擦力按库伦摩擦力计算，停滞区的摩擦力按预位移原理计算。

　（5）变形区长度沿板宽恒定。

　3.2.2 横向位移函数

　变形区内金属的横向流动对前、后张应力的横向分布，接触表面摩擦力和单位轧制压力的分布等影响很大。因此，研究金属三维变形问题，首先需要确定变形区内的横向位移。

　对于图2-1所示的坐标系，设变形区内的横向位移U为

　 （2-1）

　根据轧制板坯的实测边缘形状曲线，提出f（x）的一种表达式 （2-2）

　式中l为变形区长度。式2-2表示的边缘形状曲线和实测边缘形状曲线的对比如图2-2所示，课件亮着基本规律是一样的。不同的是，实测曲线在变形区入口之前已经有了宽展变形，而理论曲线则简化为从入口开始产生横向塑性变形。对于轧制薄板带情况，入口前的横向塑性变形是很小的，可以忽略不计。

　对于式2-1和式2-2表示的横向位移函数U，满足入口和出口的横向位移条件{

　3.2.3条元分割模型

　如图2-3所示，将整个板宽B划分为n-1个纵向条元。条与条的交线及板宽的两边线，称为条元节线。节线横向坐标用yi（i=1,2,3...）表示，节线上的出口横向位移用ui=u（yi）表示。弟（n-1）/2+1条节线位于板宽中心，即yn-1/2+1=0.如此划分条元，n必为奇数。条元宽度si=yi+1-yi（i=1,2,3...）。

　根据假设出口横向位移y沿条元宽度不同的变化规律，可有不同的位移插值模型。

　（1）假设u沿条元宽度按线性变化，则u（y）可用分段性插值函数表示，即

　（2）三次样条函数插值模型

　 假设u沿着条元宽度按三次样条函数规律变化，则u（y）可用分段三次样条插值函数表示，即：

　上述插值模型满足条元节线上出口横向位移的一阶及二阶导数均连续的边界条件。

　3.3流动速度和应变速度

　3.3.1变形区流动速度

　 冷轧薄板带时一般都带有比较大的前后张力。在前张力足够大的条件下，轧后带材即使存在一定程度的板形不良，也不会呈现宏观浪形，而是以平直状态前进。这是因为前张力的横向不均匀分布，使轧后带材产生了横向不均匀分布的纵向弹性延伸，补偿了由变形区塑性变形所造成的轧后纵向长度横向分布不均。

　在前张力大刀足以伸平轧后带材以平直状态前进的条件下，变形区出口截面上的纵向流动速度v1沿横向为一常亮，可表示为 v1=vr(1+?)

　在变形区横向任意位置y处取一流带，其入口宽度为dy（见图2-4）。考虑金属的横向位移（宽展），由秒流量相等原理可知，流过截面Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ的金属流量是相同的，即

　式中

　Vx-纵向流动速度

　h-变形区内轧件厚度

　h1-出口轧件厚度

　通过计算最终可得{

　这表明在变形区入口和出口都不产生横向流动速度间断。Vy沿纵向x的变化规律如图2-5所示

　3.3.2金属相对辊面的滑动速度和位移

　为了计算轧辊与轧件接触表面的摩擦力和摩擦功率，需要确定金属相对轧辊的滑动速度和滑动位移。以下辊面为研究对象，速度矢量图如图2-6所示：

　其中vsx表示金属相对轧辊的纵切向滑动速度，vxy表示其横切向滑动速度，vs表示合成胡奥东速度，vz为z向的流动速度，v为合成的绝对流动速度。由于

　通过计算得合成滑动位移为

　3.4前后张力和摩擦力

　3.4.1前张力的横向分布

　 前张应力的横向分布决定于轧后长度的横向分布。现在根据轧制前后的体积不变条件，确定轧后长度分布。

　 如图所示。在横向任意位置y处，取一长条轧前带材，其厚度为h0（y），长度为l0（y），宽度为dy。经过轧制变形区后，其厚度变为h1（y），长度变为l1（y），由于横向变形，宽度为【1+u’（y）】dy。由体积不变条件得

　对式两边取微分，再两边分别除以等号两边的两项，得

　通过计算得到最终前张应力σ1的横向分布模型为

　3.4.2后张力的横向分布

　后张应力的横向分布收到两种因素的影响：来料板形和入口处金属纵向流动速度v0（y）沿横向分布不均。换言之，后张应力的横向分布与来料板形和变形区金属的塑性流动有关。

　入口截面金属的纵向流动速度沿横向是不均匀的，这与出口处纵向流动速度横向均布的情况不同。实验研究证明，在入口之前，后张应力的横向分布随着带材向入口的运动要发生变化。这意味着在带材的运动过程中，将不断的产生弹性变形，这真是由于流动速度横向分布的不断变化造成的。

　假设后张力足以伸平来料的带材。如图所示，在距入口足够远的地方，如x=-L处，由于流动速度和张力的横向分布不受入口处金属流动的印象，故此处的流动速度沿横向为一常量，记为，张应力的横向分布仅与来料板形有关，可表示为

　最终通过计算得到σ0（y）的计算模型为

　3.4.3接触表面摩擦力

　（1）预位移原理简述

　预位位移原理认为，两个相互压紧的物体在做宏观相对滑动之前，就产生了一定量的微观相对位移，此位移称为预位移或初始位移。当此位移达到接触物体间的极限预位移时，物体间就开始做相对滑动。产生滑动的区域称为滑动区，相对位移小于极限位移的预位移区称为停滞区或粘着区，因此，轧辊与轧件间的接触面可分为滑动摩擦区和停滞区(见图2-9)，滑动区位于入口区和出口区。停滞区则位于中性点的附近两侧。对滑动区，摩擦力按库伦摩擦定律计算，对停滞区，则按预位移原理来确定。

　（2）极限预位移与停滞区长度的确定

　 将轧辊与轧件的接触视为刚性微凸体压入理想塑性材料的情况，极限预位移可表示为

　在图2-9中，取a，b两点为停滞区与滑动区的分界点，则a，b两点的合成滑动位移Wa和Wb分别达到其极限预位移[W]a，[W]b，即Wa=[W]a，Wb=[W]b。停滞区长度ln为

　3.5三向应力与单位轧制压力

　3.5.1 变形区三向应力模型

　由刚塑性模型的列维-米塞斯塑性流动方程和米塞斯塑性条件可得变形区金属塑性变形的本构方程为

　由于前三个方程只有其中两个方程是独立的，现在选取后两个方程求解，通过计算最终得到变形区三向应力模型为

　可见，剪应力可直接求出，正应力和三个未知数尚不能直接求得。可以使用纵向平衡微分方程，由入口和出口的应力边界条件先求得p，再由上述公式求得。

　3.5.2 纵向平衡微分方程

　在变形区内部区一微分单元体，其各边尺寸及受力状态如图所示。与辊面接触的单元体上表面的曲面方程为

　其外法线n的方向余弦为

　（1）合力的投影

　（2）合力的投影

　（3）合力的投影

　（4）p合力的投影

　 将上述四项相加，得单元体纵向平衡微分方程：

　+++=0

　3.6几个参数的确定

　3.6.1板带厚度

　 轧件轧前厚度横向分布函数h0（y）取决于来料情况。可根据轧前厚度横向分布实测值，或由轧机辊系弹性变形计算得到的前一道次轧后厚度横向分布计算值，按多项式回归，即

　式中B0，B1，B2,B3，B4-回归系数。

　轧件轧后的厚度横向分布函数h1（y）取决于轧制时的辊缝形状。通过计算辊系的弹性变形，可得到轧后的厚度横向分布。也可以用测厚仪实测轧后的厚度横向分布。这是辊系变形对轧后的厚度横向分布的印象反应在实测值中。所以，h1（y）可根据轧后的厚度横向分布的计算值或实测值，按多项式回归，即

　式中b0，b1，b2,b3，b4-回归系数。

　变形区内的轧件厚度沿纵向x的变化取决于工作辊表面的弹性压扁沿纵向的变化。考虑到压扁后的表面近似于抛物线，故变形区内的轧件厚度h（x，y）可表示为

　 实测法

　轧前，将待轧带材运动到分段张力检测辊上，施以足够张力伸平带材，测得张力横向分布值，再减去实测平均张力，即可得到来料纵向参与应力σ00的横向分布实测值，然后回归成

　3.6.2 变形抗力与变形区长度

　轧件的变形抗力σ和ks，可由试件的拉伸试验测得，也可通过实测的总轧制力p。前后总张力T1和T0，选用合适的二维变形条件下的轧制压力公式，反推得到变形区轧件的平均变形抗力。计算时用近似代替ks，或假设ks沿变形区长度按一定规律变化，其积分平均值等于实测反算的。

　变形区长度l可按希赤柯克公式计算。

　3.7节线出口横向位移的确定

　3.7.1 板带轧制时的变分原理

　对于板带轧制问题，由于轧件既不与轧辊分离，又不压进轧辊，其关于辊面的法向速度为0，导致单位轧制压力p的功率为0，变分原理的表示形式为

　3.7.2 条元法的功率泛函

　根据上述公式得到条元分割模型的各项功率和总得功率泛函如下：

　（1）塑性变形功率Np

　（2）接触表面摩擦功率Nf

　（3）入口速度间断面上的功率N

　（4）后张应力的功率Nσ0

　（5）前张应力的功率Nσ1

　 总功率泛函为N=Np+Nf+Ns+Nσ0

　3.7.3优化求解节线出口横向位移

　 这是一个无约束最优化问题，可由优化方法求出u1，u2,...un的数值。由于v1位常量，v1的大小对极值点没有影响，故在计算时可令v1=1.当最终需要计算与v1有关的参数时，将该参数的值乘以v1即可。优化方法可以选用利用差商的变尺度法或鲍威尔法，以避免复杂的求导运算。

　3.7.4 对称条件下的条元法模型

　 对关于轧件宽度中心对称轧制的情况，可考虑宽度的一半，将其划分为n-1个单元，如图所示，n条节线上的出口横向位移记u1,u2,...un.由于对称，u1位已知，故只需要优化计算u2，u3，...un的数值。这时，变动的有关计算模型为：

　3.8基于条元法的软件设计实例

　3.8.1 M文件的编程

　3.8.2 GUI界面形成

　四 结论

　 在本次基于MATLAB冷轧板带轧机板型预报模型及软件的论文设计中，不仅用到了MATLAB的m语言编程，还有GUI图形用户界面设计。对于课程的设计来说，m语言本身来说，功能相当强大，但是由于其复杂的编程方法，让大多数初学者望而却步；而GUI图形界面则正好弥补了它的不足，它采用的是所见即所得的编程方式，用它来做软件的界面就如图制作网页一样简单明了，用它制作出来的软件不需要太多的编程知识都可以轻松搞定；在此次论文设计中，本人尽量扬长避短，把这些工具的优点结合到一起，发挥其最大的作用。本文的程序在MATLAB2012版中调试通过。通过此次设计，不仅使我们对使我们对冷轧板带轧机板型有了进一步认识，并且使我们认识到计算机技术对工程应用的重要性。

　五 参考文献

　（1）MATLAB基础及应用（第3版），于润伟.朱晓慧,机械工业出版社，2012；

　（2）三维轧制理论及其应用，刘宏民，科学出版社，1999；

　 (3) 材料力学, 白象忠,科学出版社，2011。