高考卷-高考数学押题卷（一）文科

2017届高考数学押题卷（一）文 本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1．集合，集合，则集合＝（ ）
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，所以集合＝．故选D． 2．已知复数z在复平面对应点为，则＝（ ）
A．1 B．－1 C． D．0 【答案】C 【解析】根据题意可得，则＝．故选C． 3．sin2040°＝（ ）
A． B． C． D． 【答案】B 【解析】．故选B． 4．世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从 选址到启用历经22年．FAST选址从开始一万多个地方逐一审查，最后敲定三个地方：贵州省黔南州、黔西南 州和安顺市境内．现从这三个地方中任选两个地方重点研究其条件状况，则贵州省黔南州被选中的概率为（ ）
A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】从三个地方中任选两个地方，基本事件总数，贵州省黔南州被选中基本事件个数，∴贵州省黔南州被选中的概率．故选D． 5．《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的 容积为（ ）立方寸．（π≈3．14）
A．12．656 B．13．667 C．11．414 D．14．354 【答案】A 【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成． 由题意得：立方寸．故选A． 6．在等差数列中，若，，那么等于（ ）
A．4 B．5 C．9 D．18 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以公差，所以．故选B． 7．已知函数，则函数的大致图象是（ ）
A B C D 【答案】C 【解析】因为，所以函数为偶函数，所以排除D，又，所以排除A、B，故选C． 8．根据下列流程图输出的值是（ ）
A．11 B．31 C．51 D．79 【答案】D 【解析】当n＝2时，，， 当n＝3时，，， 当n＝4时，，， 当n＝5时，，， 输出．故选D． 9．已知单位向量满足，向量，（t为正实数），则的最小值为（ ）
A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， ，而，所以，，所以，设，则，所以，因为，所以．故选A． 10．若x，y满足约束条件，设的最大值点为A，则经过点A和B的直线方程为（ ）
A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直角坐标系中，满足不等式组可行域为：
表示点到可行域的点的距离的平方减4．如图所示，点到点的距离最大，即，则经过A，B两点直线方程为．故选A． 11．已知双曲线C的中心在原点O，焦点，点A为左支上一点，满足|OA|＝|OF|且|AF|＝4，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图，由题意可得，设右焦点为F′，由|OA|＝|OF|＝|OF′|知，∠AFF′＝∠FAO，∠OF′A＝∠OAF′，所以∠AFF′+ ∠OF′A＝∠FAO+∠OAF′，由∠AFF′+∠OF′A+∠FAO+∠OAF′＝180°知，∠FAO+∠OAF′＝90°， 即AF⊥AF′．在Rt△AFF′中，由勾股定理，得，由双曲线的定义，得|AF′|－|AF|＝2a＝8－4＝4，从而a＝2，得a2＝4，于是b2＝c2－a2＝16，所以 双曲线的方程为．故选C． 12．已知函数，有下列四个命题， ①函数是奇函数；

②函数在是单调函数；

③当时，函数恒成立；

④当时，函数有一个零点， 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①函数的定义域是，，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以①错误；
②取，， ，所以函数在不是单调函数，所以②错误；
③当x＞0时，，要使，即，即，令，，，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以③正确；
④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， 问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在 外面的木头，锯口CD深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是__________．（注：1尺＝10寸）
【答案】26寸 【解析】设圆柱形木料的半径是，则，得，所以圆柱形木料的直径是26寸． 14．下图是北方某地区从2010年至2016年患“三高”（即高血压，高血糖，高血脂的统称）人数y（单位：
千人）折线图，如图所示，则y关于t的线性回归方程是______________．（参考公式：，）
【答案】 【解析】根据题意得，， ， ， ，， 所求回归方程为． 15．已知一条抛物线的焦点是直线与x轴的交点，若抛物线与直线l交两点A，B，且，则___________． 【答案】 【解析】根据题意设抛物线方程为与直线方程联立方程组，化简整理得，，进一步整理，，另设，则有，则 ①，根据题意，直线l与x轴的焦点为，抛物线焦点为，即，，代入到①中，得，解得或（舍），即． 16．已知数列满足（，，且为常数），若为等比数列，且首项为，则的通项公式为________________． 【答案】或 【解析】①若，则， 由，得，由，得， 联立两式，得或，则或，经检验均合题意． ②若，则，由，得，得，则，经检验适合题意． 综上①②，满足条件的的通项公式为或． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C的大小；

（2）若，且，求△ABC的面积． 【答案】（1）；
（2）． 【解析】（1）由， ∴， ∴，·················································3分 ∴，····························································5分 ∴C＝．································································6分 （2）由， ∴， ∴， ∴，·································································8分 根据正弦定理，可得，解得，··················10分 ∴．····12分 18．（本小题满分12分）2016年袁隆平的超级杂交水稻再创新亩产量世界纪录．为了测试水稻生长情 况，专家选取了甲、乙两块地，从这两块地中随机各抽取10株水稻样本，测量他们的高度，获得的高度数 据的茎叶图如图所示：
（1）根据茎叶图判断哪块田的平均高度较高；

（2）计算甲乙两块地株高方差；

（3）现从乙地高度不低于133cm的样本中随机抽取两株，求高度为136cm的样本被抽中的概率． 【答案】（1）乙平均高度高于甲；
（2），；
（3）． 【解析】（1）由茎叶图可知：甲高度集中于122cm～139cm之间，而乙高度集中于130cm～141cm之 间．因此乙平均高度高于甲．····································2分 （2）根据茎叶图给出的数据得到 ，·······3分 ，·····4分 ；
·········6分 ．········8分 （3）设高度为136cm的样本被抽中的事件为A，从乙地10株水稻样本中抽中两株高度不低于133cm 的样本有：（133，136），（133，138），（133，139），（133，141），（136，138），（136，139）， （136，141），（138，139），（138，141），（139，141）共10个基本事件，······· ··········10分 而事件A含有4个基本事件．∴．·····························12分 19．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱中，已知，，S是的中点． （1）求证：；

（2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析；
（2）． 【解析】（1）证明：在正四棱柱中， 底面是正方形，可得，又，所以①，·····2分 由平面，可得②，··································4分 由①②，且，所以平面， 而平面，所以．······································6分 （2）由S是的中点，可得， 由（1）中平面，可知平面，即平面， 所以． ··················12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点， （1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程． 【答案】（1），（2）． 【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点，， 所以椭圆的C：中a＝5，········································1分 根据，解得c＝，所以，·································3分 所以椭圆的标准方程为．·································4分 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，另设，， 设在处切线的方程为，与椭圆C：联立：， 消去可得：， 由，得， 化简可得：， 由，可得，， 所以上式可化为：， ∴，， 所以椭圆在点A处的切线方程为：①，··························7分 同理可得椭圆在点B的切线方程为：②，·······················8分 联立方程①②，消去x得：，解得，··········9分 而A，B都在直线上，所以有，所以， 所以，即此时的交点的轨迹方程为；
·····11分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，则，则椭圆在点A处的切线方程为：①，椭圆在点B的切线方程为：，此时无交点． 综上所述，交点的轨迹方程为．······································12分 21．（本小题满分12分）已知函数（a是常数）， （1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析；
（2）或． 【解析】（1）根据题意可得，当a＝0时，，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．···········································1分 当a≠0时，，因为＞0， 令，解得x＝0或．·····························3分 ①当a＞0时，函数在，上有，即，函数单调递减；
函数在上有，即，函数单调递增；
························4分 ②当a＜0时，函数在，上有，即，函数单调递增；
函数在上有，即，函数单调递减；
························5分 综上所述，当a＝0时，函数的单调递增区间，递减区间为；

当a＞0时，函数的单调递减区间为，，递增区间为；

当a＜0时，函数的单调递增区间为，，递减区间为；
·······6分 （2）当时，函数有两个零点，所以函数在（0，16）内不是单调函数；
而的两个零点为x＝0，，所以，解得①；
···············8分 又由（1）可知：时，，是增函数，时，，是减函数， ∴在上；

令，解得②；
······································10分 又，即，解得③；
······················11分 由①②③组成不等式组，解得；

∴实数a的取值范围是．·······································12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为：，曲线C2的极坐标方程：， （1）写出C1和C2的普通方程；

（2）若C1与C2交于两点A，B，求的值． 【答案】（1），；
（2）． 【解析】（1）将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；
·····2分 将曲线C1的方程消去t化为普通方程：；
··············4分 （2）若C1与C2交于两点A，B，可设， 联立方程组，消去y，可得，··················6分 整理得，所以有，·····························8分 则．·················10分 23．（本小题满分10分）已知函数， （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对于实数x，y，有，，求证:． 【答案】（1）；
（2）见解析． 【解析】（1）根据题意可得恒成立， 即， 化简得， 而是恒成立的， 所以，解得；
·········································5分 （2）， 所以．·····················································10分