高数公式(全)

　高数 公式 大全

　1 1 、 基本积分表: :

　三角函数得有理式积分: :

　 一些初等函数 :

　 两个重要极限: :

　三 角 函 数 公式: :

　·诱导公式: :

　                  C a x xa xdxC shx chxdxC chx shxdxCaadx aC x ctgxdx xC x dx tgx xC ctgx xdxxdxC tgx xdxxdxxx) ln(lncsc cscsec seccscsinseccos2 22 22222Caxx adxCx ax aa x adxCa xa xa a xdxCaxarctga x adxC ctgx x xdxC tgx x xdxC x ctgxdxC x tgxdx         arcsinln21ln211csc ln cscsec ln secsin lncos ln2 22 22 22 2                   Cax ax axdx x aC a x xaa xxdx a xC a x xaa xxdx a xInnxdx xdx Inn nnarcsin2 2ln2 2) ln(2 21cos sin22 2 2 22 222 2 2 22 222 2 2 222020 xxarthxx x archxx x arshxe ee echxshxthxe echxe eshxx xx xx xx x      11ln21) 1 ln(1 ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦

　 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·与差角公式 :

　·与差化积公式: :

　·倍角公式: :

　 ·半角公式: :

　     cos 1sinsincos 1cos 1cos 12 cos 1sinsincos 1cos 1cos 122cos 12cos2cos 12sin    ctg tg 　　　　 　　　　　　　　　　 ·正弦定理: :

　 ·余弦定理: :

　·反三角函数性质: : 高阶导数公式 —— 莱布尼兹 (Leibniz) 公式: :

　) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) (0) ( ) ( ) (!) 1 ( ) 1 (! 2) 1 () (n k k n n n nnkk k n knnuv v ukk n n nv un nv nu v uv u C uv            中值定理与导数应用: :

　 曲率: :

　.1; 0.) 1 (lim Ms M M : ., 13 2 02aK aKyydsdsKM MsKtg y dx y dss           的圆：

　半径为直线：点的曲率：弧长。

　：

　化量； 点，切线斜率的倾角变 点到 从 平均曲率：其中 弧微分公式：  定积分得近似计算: :

　              ban n nban nbany y y y y y y yna bx fy y y yna bx fy y yna bx f)] ( 4 ) ( 2 ) [(3) (] ) (21[ ) () ( ) (1 3 1 2 4 2 01 1 01 1 0 抛物线法：梯形法：矩形法：

　定积分应用相关公式: :

　  babadt t fa bdx x fa bykrm mk FA p Fs F W) (1) (1,222 1均方根：函数的平均值：为引力系数 引力：水压力：功：

　空间解析几何与向量代数: :

　。

　代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

　与 是 向量在轴上的投影：点的距离：

　空间  , cos ) ( ] [. . sin ,cos, , cosPr Pr ) ( Pr, cos Pr) ( ) ( ) ( 22 2 2 2 2 22 1 2 121 221 221 2 2 1c b ac c cb b ba a ac b a c b ar w v b a cb b ba a ak j ib a cb b b a a ab a b a b ab a b a b a b a b aa j a j a a ju AB AB AB jz z y y x x M M dz y xz y xz y xz y xz y xz y x z y xz z y y x xz z y y x xuu                                        

　（马鞍面）

　双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）

　（ 、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：

　其中 空间直线的方程：面的距离：

　平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中 、点法式：平面的方程：113, ,2 221 1}; , , { ,1 30 2) , , ( }, , , { 0 ) ( ) ( ) ( 12222222222222 22222220000 0 02 2 20 0 00 0 0 0 0 0 0                         czbyaxczbyaxq p zqypxczbyaxpt z znt y ymt x xp n m s tpz zny ymx xC B AD Cz By AxdczbyaxD Cz By Axz y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用

　zyzxyxyxyxy xFFyzFFxzz y x FdxdyFFy FFx dxy dFFdxdyy x Fdyyvdxxvdv dyyudxxuduy x v v y x u uxvvzxuuzxzy x v y x u f ztvvztuuzdtdzt v t u f zy y x f x y x f dz zdzzudyyudxxudu dyyzdxxzdz             ，　　 ，　 隐函数＋ ，　　 ，　　 隐函数隐函数的求导公式：　 　　　时， ， 当　 　　　　 　　　：

　多元复合函数的求导法全微分的近似计算：　　　 全微分：0 ) , , () ( ) ( 0 ) , () , ( ) , ()] , ( ), , ( [)] ( ), ( [) , ( ) , (22

　) , () , ( 1) , () , ( 1) , () , ( 1) , () , ( 1) , () , (0 ) , , , (0 ) , , , (y uG FJ yvv yG FJ yux uG FJ xvv xG FJ xuG GF FvGuGvFuFv uG FJv u y x Gv u y x Fv uv u        　　　　　　　　　　　 隐函数方程组：

　微分法在几何上得应用: :

　) , , ( ) , , ( ) , , (30 ) )( , , ( ) )( , , ( ) )( , , ( 2)} , , ( ), , , ( ), , , ( { 1) , , ( 0 ) , , (} , , { ,0 ) , , (0 ) , , (0 ) )( ( ) )( ( ) )( () ( ) ( ) () , , () () () (0 0 000 0 000 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 00000000 0 0z y x Fz zz y x Fy yz y x Fx xz z z y x F y y z y x F x x z y x Fz y x F z y x F z y x F nz y x M z y x FG GF FG GF FG GF FTz y x Gz y x Fz z t y y t x x t Mtz zty ytx xz y x Mt zt yt xz y xz y xz y xy xy xx zx zz yz y             、过此点的法线方程：：

　、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

　上一点 曲面则切向量 若空间曲线方程为：处的法平面方程：

　在点处的切线方程：

　在点 空间曲线    方向导数与梯度: : 上的投影。

　在 是单位向量。方向上的 ，为 ，其中 ：

　它与方向导数的关系是的梯度：

　在一点 函数的转角。

　轴到方向 为 其中的方向导数为：

　沿任一方向 在一点 函数l y x flfl j i e e y x flfjyfixfy x f y x p y x f zl xyfxflfl y x p y x f z) , ( gradsin cos ) , ( grad) , ( grad ) , ( ) , (sin cos ) , ( ) , (            多元函数得极值及其求法: :        　　　　　　　不确定 时值 时，　　　　　　无极为极小值为极大值时，则：　 　 ，令：

　设, 00) , ( , 0) , ( , 00) , ( , ) , ( , ) , ( 0 ) , ( ) , (220 00 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0B ACB ACy x Ay x AB ACC y x f B y x f A y x f y x f y x fyy xy xx y x

　重积分及其应用: :

　                DzDyDxz y xDyDxDDyDxDD Da y xxd y xfa Fa y xyd y xf Fa y xxd y xf FF F F F a a M z xoyd y x x I y d y x y I xd y xd y x yMMyd y xd y x xMMxdxdyyzxzA y x f zrdrd r r f dxdy y x f232 2 2232 2 2232 2 22 2D22) () , () () , () () , (} , , { ) 0 ( ), , 0 , 0 () , ( , ) , () , () , (,) , () , (1 ) , () sin , cos ( ) , (              ，　　 ，　　，其中：

　的引力：

　轴上质点 平面）对 平面薄片（位于轴 　　对于 轴 对于 平面薄片的转动惯量：　　 平面薄片的重心：的面积 曲面 柱面坐标与球面坐标: :                                dv y x I dv z x I dv z y Idv x M dv zMz dv yMy dv xMxdr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x fd drd r dr d r rd dvr zr yr xz r r f z r Fdz rdrd z r F dxdydz z y x fz zr yr xz y xr                            ) ( ) ( ) (1,1,1sin ) , , ( sin ) , , ( ) , , (sin sincossin sincos sin) , sin , cos ( ) , , (, ) , , ( ) , , ( , sincos2 2 2 2 2 220 0) , (02 22，　　 ，　　 转动惯量：，　　其中 　　 　　 重心：，　　 球面坐标：其中：　　　 柱面坐标：

　曲线积分: :       ) () ( ) ( ) ( )] ( ), ( [ ) , (), ( ,) () () , (2 2t yt xdt t t t t f ds y x ftt yt xL L y x fL      　　特殊情况：

　　　则：

　　　 的参数方程为：

　上连续， 在 设长的曲线积分）：

　第一类曲线积分（对弧

　。

　，通常设的全微分，其中：

　才是二元函数 时， ＝ 在：

　二元函数的全微分求积注意方向相反！

　减去对此奇点的积分，，应 。注意奇点，如 ＝ ，且 内具有一阶连续偏导数 在 ， 、是一个单连通区域； 、无关的条件：

　平面上曲线积分与路径的面积：

　时，得到 ，即：

　当格林公式：

　格林公式：的方向角。

　上积分起止点处切向量分别为 和 ，其中 系：

　两类曲线积分之间的关，则：

　的参数方程为 设标的曲线积分）：

　第二类曲线积分（对坐0 ) , ( ) , ( ) , () , (·) 0 , 0 ( ) , ( ) , ( 21·212 ,) ( ) () cos cos ()} ( )] ( ), ( [ ) ( )] ( ), ( [ { ) , ( ) , () () (0 0) , () , (0 0                      y x dy y x Q dx y x P y x uy x u Qdy PdxyPxQyPxQG y x Q y x PGydx xdy dxdy A DyPxQx Q y PQdy Pdx dxdyyPxQQdy Pdx dxdyyPxQLds Q P Qdy Pdxdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x Pt yt xLy xy xD LD L D LL LL         曲面积分: :

　                ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydzdzdx z x z y x Q dzdx z y x Qdydz z y z y x P dydz z y x Pdxdy y x z y x R dxdy z y x Rdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x Pdxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x fzxyzxyxyDDDDy x) cos cos cos (] ), , ( , [ ) , , (] , ), , ( [ ) , , ()] , ( , , [ ) , , () , , ( ) , , ( ) , , () , ( ) , ( 1 )] , ( , , [ ) , , (2 2   系：

　两类曲面积分之间的关号。

　，取曲面的右侧时取正号； ，取曲面的前侧时取正号； ，取曲面的上侧时取正，其中：

　对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：

　高斯公式: :                    ds A dv Ads R Q P ds A ds n AzRyQxPds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dvzRyQxPnn div) cos cos cos (... , 0 div , div) cos cos cos ( ) (成：

　因此，高斯公式又可写， 通量：则为消失 的流体质量，若 即：单位体积内所产生 散度：—通量与散度：

　— 高斯公式的物理意义     

　斯托克斯公式 —— 曲线积分与曲面积分得关系: :             ds t A Rdz Qdy Pdx AR Q Pz y xAyPxQxRzPzQyRR Q Pz y xR Q Pz y xdxdy dzdx dydzRdz Qdy Pdx dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR 的环流量：

　沿有向闭曲线 向量场旋度：，　 ，　 关的条件：

　空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k j irotcos cos cos) ( ) ( ) (   常数项级数: :

　 级数审敛法: :

　散。

　存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则 设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则 设：别法）：

　—根植审敛法（柯西判 — 、正项级数的审敛法nnn nnnnnnns u u u sUUu      lim ;3111lim2111lim12 11 。

　的绝对值 其余项 ，那么级数收敛且其和 如果交错级数满足—莱布尼兹定理：

　— 的审敛法 或 交错级数1 113 2 1 4 3 2 1,0 lim) 0 , (          n n nnnn nnu r r u suu uu u u u u u u u   绝对收敛与条件收敛: :

　        时收敛１时发散 ｐ　　 级数：

　　　收敛； 　　级数：收敛； 发散，而 调和级数：为条件收敛级数。

　收敛，则称 发散，而 如果收敛级数； 肯定收敛，且称为绝对 收敛，则 如果为任意实数； ，其中111) 1 ( 1) 1 ( ) 1 ( ) 2 () 1 ( ) 2 () 2 () 1 (23 2 12 1p npnn nu u u uu u u upnnn n   幂级数: :

　0010) 3 ( lim) 3 (111111122 1 03 2               RRRa aaaRR xR xR xRx a x a x a axxxx x x xn nnnnnnn时，时，时，的系数，则 是 ， ，其中 求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

　，其中时不定时发散时收敛，使 在 数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全 ，如果它不是仅在原点 　 对于级数时，发散时，收敛于　　   函数展开成幂级数: :                   nnnnnnnnnxnfxfx f f x f xR x f x xnfRx xnx fx xx fx x x f x f!) 0 (! 2) 0 () 0 ( ) 0 ( ) ( 00 lim ) ( , ) ()! 1 () () (!) () (! 2) () )( ( ) () (2010) 1 (00) (2000 0时即为麦克劳林公式：充要条件是：

　可以展开成泰勒级数的 余项：函数展开成泰勒级数： 一些函数展开成幂级数: : ) ()! 1 2 () 1 (! 5 ! 3sin) 1 1 (!) 1 ( ) 1 (! 2) 1 (1 ) 1 (1 215 32                  xnx x xx xx xnn m m mxm mmx xnnn m　　　　　　  欧拉公式: :

　 三角级数: :

　。

　上的积分＝在 任意两个不同项的乘积 正交性：。

　， ， ， 其中，0] , [ cos , sin 2 cos , 2 sin , cos , sin , 1cos sin) sin cos (2) sin( ) (0 01010               nx nx x x x xx t A b A a aA anx b nx aat n A A t fn n n n n nnn nnn n 傅立叶级数: :

　是偶函数 　 　　 ， 余弦级数：是奇函数 　 　　 ， 正弦级数：（相减）（相加）　　　　　　　其中，周期                            nx aax f n nxdx x f a bnx b x f n xdx x f b an nxdx x f bn nxdx x f anx b nx aax fn n nn n nnnnn ncos2) ( 2 , 1 , 0 cos ) (20sin ) ( 3 , 2 , 1 n sin ) (2012 41312116 413121124 6141218 51311) 3 , 2 , 1 ( sin ) (1) 2 , 1 , 0 ( cos ) (12 ) sin cos (2) (00022 2 222 2 222 2 222 210 微分方程得相关概念: 即得齐次方程通解。， 代替 分离变量，积分后将 ， ， ，则 设的函数，解法：

　，即写成 程可以写成 齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

　　　得：的形式，解法：

　为 ：一阶微分方程可以化 可分离变量的微分方程　或　 一阶微分方程：uxyu uduxdxudxduudxdux udxdyxyuxyy x y x fdxdyC x F y G dx x f dy y gdx x f dy y gdy y x Q dx y x P y x f y             ) () () , ( ) , () ( ) ( ) ( ) () ( ) (0 ) , ( ) , ( ) , ( 一阶线性微分方程: ) 1 , 0 ( ) ( ) ( 2) ) ( ( 0 ) (, 0 ) () ( ) ( 1) ( ) () (     n y x Q y x Pdxdye C dx e x Q y x QCe y x Qx Q y x Pdxdyndx x P dx x Pdx x P， 、贝努力方程：时，为非齐次方程， 当为齐次方程， 时 当、一阶线性微分方程：

　全微分方程: 通解。

　应该是该全微分方程的， ，其中：分方程，即：

　中左端是某函数的全微 如果C y x uy x Qyuy x Pxudy y x Q dx y x P y x dudy y x Q dx y x P    ) , () , ( ) , ( 0 ) , ( ) , ( ) , (0 ) , ( ) , (