Bochner-Riesz算子的交换子在变指数Herz-Morrey空间的有界性

杨 丹, 叶晓峰, 余 标

(华东交通大学 理学院, 南昌 330013)

Bochner-Riesz算子定义为

其中t+=max{t,0}.其卷积形式可表示为

定义Bk={x∈n: |x|≤2k},k∈,Ak∶=BkBk-1,χk∶=χAk,其中χk表示特征函数.定义n)表示所有满足1

定义1[6]设p(·):→[1,∞)是一个可测函数.变指数Lebesgue空间Lp(·)(n)定义为

下面给出在变指数空间的局部连续条件:

定义2[10]令p(·)∈P(n), 若p(·)满足

则称p(·)∈LH(n).

注1当p(·)∈LH(n)时, 由文献[8]知p(·)∈B(n).

定义3[11]设α∈, 0

其范数为

定义4设β(·)∈P0(n), 变指数Lipschitz空间n)的范数定义[12]为

变指数Lipschitz空间的一个重要刻画[4]为：
若p(·)∈P(n), 则

(1)

引理1[7]设p(·)∈P(n), 若f∈Lp(·)(n),g∈Lp′(·)(n), 则有

引理2[7]若p(·)∈P(n), 则存在C>0, 使得对包含于n的任意球体B, 下列不等式成立：

引理3[13]令p(·)∈B(n), 则存在C>0, 使得对包含于n的任意球体B及B的子集S, 有

其中γ1,γ2为常数, 且 0<γ1,γ2<1.

(2)

(3)

令f(x)={b(x)-bB}m/δχB, 显然m/δ>1, 且m/δ∈P(n), 根据式(1)变指数Lipschitz空间的性质, 有

利用引理3, 可得

综上可知式(2)成立.

下证式(3)成立.对∀j,i∈,j>i, 有

‖(b-bBi)mχBj‖Lp(·)(n)≤C{‖(b-bBj)mχBj‖Lp(·)(n)+‖χBj‖Lp(·)(n)}.

利用文献[7]中结论及式(1), 可得

再联合式(2)可得式(3).

引理6[5]令β(·)∈P0(n)∩LH(n),p(·)∈B(n), 且若且则

下面对I,J,L三部分分别进行有界性估计：

1) 估计I.对∀k∈,j≤k-2, 令x∈Ak,y∈Bj, 则|x-y|≥|x|-|y|≥2k-1-2j≥2j, 故

首先估计I1.对I1取范数, 可得

利用引理5中式(2)可得

其次估计I2.将式(4)代入I2, 再对I2取范数, 可得

最后估计I3.类似I1的估计方法, 对I3先取范数, 再利用式(2)可得

将I1,I2,I3范数相加, 有

由文献[9]可推出:

再由引理4可得

‖χBk‖Lq2(·)(n)≤C2-kβ(·)‖Iβ(·)(χBk)‖Lq2(·)(n)≤C2-kβ(·)‖χBk‖Lq1(·)(n).

(6)

将式(6)代入式(5), 有

利用引理2和引理3可得

将式(7)代入I中， 有

若00, 有

2) 估计J.由引理6可得

3) 估计L.对∀k∈,j≥k+2,x∈Ak,y∈Bk, 显然, |x-y|≥|y|-|x|≥C2k,

类似对I1,I2,I3的估计可得对L1,L2,L3的估计如下：

结合L1,L2,L3的范数可得

由文献[9]可推出

利用引理4可得

通过移项有

(9)

将式(9)代入式(8), 有

利用引理3可得

代入L中, 有

若00知,

若1

综上所述, 有

证毕.