具有不可微分时滞的四元数值Cohen-Grossberg神经网络的指数稳定性

杨艳平，陈展衡，2*

（1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁 835000；
2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆伊宁 835000）

Cohen-Grossberg（C-G）神经网络模型由Cohen和Grossberg首次提出和研究［1］，被广泛应用于神经生物学、人口生物学和计算技术等各种工程和科学领域.C-G神经网络一直是广受关注的研究热点，并取得了许多研究进展.文献［2］中Dong利用M矩阵理论对一类高阶C-G神经网络的稳定性进行研究.Zhao和Song在文献［3］中利用M矩阵理论对复值C-G神经网络的稳定性进行分析，并给出了一些充分条件.徐在文献［4］中利用M矩阵理论研究了一类具有脉冲干扰的变时滞复数域C-G神经网络的平衡点的动态行为.复值系统能处理二维数据问题，但对于三维数据问题处理较为困难，而且很多问题都是三维数据问题，所以需要一种新的方法对三维空间进行研究.

四元数由Hamilton首次提出［5］.由于四元数的性质，四元数值神经网络在工程控制和科学应用中得到广泛应用，其中图像处理、颜色识别、三维空间建模、优化、控制等领域，均吸引了一大批学者的研究热情.文献［6］揭示了四元数神经网络比复值神经网络更有优越性.文献［7］中Li研究四元数值C-G神经网络时，通过分解法探究了系统平衡点的全局渐近稳定性、全局指数稳定性.然而，到目前为止，关于四元数域内C-G神经网络的研究成果仍然较少，这也是本文的研究动机之一.

基于以上研究，本文主要研究了四元数值C-G神经网络的平衡点存在唯一性和指数稳定性.

首先给出一些符号定义，R,C,Q分别代表实数域、复数域、四元数域.

1.1 四元数代数

四元数的定义是跟实数域相

结合的，一个四元数可以写成下面的形式：h=hR+hIi+hJ j+hKk,h∈Q.其中系数hR,hI,hJ,hK∈R.并且虚数单位i,j,k满足条件：i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.显然四元数不满足乘法交换律.四元数h=h0+h1i+h2j+h3k的共轭用h*表示，定义如下：h*=h0-h1i-h2j-h3k.h的模用|h|表示，|h|2=hh*=h02+h12+h22+h32.

1.2 模型描述

定理1在假设1～3成立的情况下，如果Ω=W-(|A|+|B|)L是M矩阵,则系统（2）存在唯一的平衡点.

证明：设

b21=-0.7-0.2i-0.2j+0.2k,b22=0.2+0.3i+0.2j+0.7k.

由定理1和定理2可知，上述系统存在唯一平衡点，且平衡点满足指数稳定.定理中Ω=W-(|A|+|B|)L，经Matlab计算所得结果如下：

数值仿真图像如图1.

图1 状态变量

本文研究主要创新点首先是将四元数系统作为一个整体来考虑，而不是将其分解成4个部分来研究；
其次是通过采取同胚映射和M矩阵相关原理，对神经网络的平衡点存在性、唯一性进行研究，所得到的M矩阵不仅可以通过MATLAB进行验证，也能通过数值计算来验证；
最后是利用矢量Lyapunov函数法对平衡点的指数稳定进行研究.本文不足之处在于仅讨论了四元数值Cohen-Grossberg型神经网络具有不可微分时滞情形的充分条件，还没能得到充要条件.在研究四元数值Cohen-Grossberg型神经网络的领域中还存在许多空白，例如研究网络的异时滞的稳定、分布时滞的稳定.在未来，还需要对四元数值Cohen-Grossberg型神经网络展开进一步的研究.