正弦定理和余弦定理

　解答题 19 题分析 一.考查目标

　 本小题主要考察空间中点、线、面的位置关系及求解二面角等基础知识；考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力等；考察方程思想、化归与转化思想和数形结合思想等数学思想方法. 二.解题思路 第（1）问. 思路一：建立空间直角坐标系计算向量1, AE FC 的坐标，通过1= AE FC 说明1, , , A E F C 四点共面； 思路二：选择一组基底 , , a b c ，用基底表示1, AE FC ，通过1= AE FC说明1, , , A E F C 四点共面； 思路三：通过验证1 1 1 1 1= , 1 AC xAE yAA zAF x y z + + + + = 其中 ，说明1, , , A E F C 四点共面； 思路四：通过说明1AC EF O 与 相交于体心 ， 利用“两条直线相交，则它们共面”，说明1, , , A E F C 四点共面； 思路五：作一条辅助线 DH .（1H CC 为 的三等分点 ）

　证明1 / /, EC DH // DH AF 利用平行线的传递性证明到1 / /EC AF ，从而利用“两平行直线共面”来证明； 思路六：延长 AF AE ， 构建更大的平面将证明“四点共面”问题转化为证明“三点共线”问题； 思路七：求平面 AEF 的法向量 n ，通过1n EC 与 垂直来证明；

　思路八：通过1C 点到平面 AEF 的距离为 0 来证；

　 正弦定理和余弦定理(1)

　1.正弦定理和余弦定理 定理

　正弦定理 余弦定理

　内容

　 2sin sin sina b cRA B C= = = （R 为 ABC D 外接圆半径）

　2a =

　2b =

　2c =

　 常用知识拓展 1. 三角形内角和定理：

　 3.三角形中常用的面积公式：

　在 ABC D 中， A B C p + + =

　（1）1(h a )2S ah = 表示边 上的高

　2.三角形中的三角函数关系

　（2）1 1sin sin2 2S bc A ab C = = =

　 ( )( )(1)sin sin .(2)cos cos .A B CA B C+ =+ = -

　 考点一与三角形面积有关的问题

　例 1(2019 绵阳第一学期检测)已知 ABC D 中，角 , ,C A B 所对的边分别为 , , , a b c 且足4, sin 3 cos , a a B b A = = 若△ABC 的面积 4 3, b c S = + = 则

　.

　 规律方法 1.利用正弦定理可以实现边弦互化，便于求角； 2.恰当的选择择面积公式是关键，通常选择已知角以及该角的两边代入公式； 定理 正弦定理 余弦定理

　内容

　 a =

　； b=

　 ； c =

　 ； sin A=

　； sinB=

　; sinC=

　 ; : : a b c=

　 ； sin sin sin sina b c aA B C A+ +=+ + cosA=

　 cosB=

　 cosC=

　2. 当的选择余弦定理可以建立边与边之间的关系(通常选择对边对角来建立关系)，并对式子作恰当的安形变形，有利于同题的解决. 考点二、三角形面积或周长的最值(范围)问题 例 2（2019 成都算一次教学质量检）已知 ABC D 的内角 , ,C A B 的对边分别为 , , , a b c ( ) 2 cos cos 0. a b C A - + =

　（1）求角 C ； （2）若 2 3 c = ，求 ABC D 周长的最大值.

　 迁移探究

　 在本例条件下，求下列问题 1.求 ABC D 面积的最大值； 2.求 2a b + 的最大值； 3.若是锐角 ABC D ，求 ABC D 面积的取值范图.

　课时训练：

　在 ABC D 中，内角 , ,C A B 的对边分别为 , , , a b c 且2sin cos sin2sin .C B CAb c+ =

　(1)求 b 的值； (2)若 3sin cos 2, B B + = 求 ABC D 的面积的最大值.

　 课时小结 （1）)利用正弦定理进行边弦的互化； （2）利用余弦定理可以寻找边与边之间的关系；

　（3）求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题.