概率统计

　1.【2015 高考新课标 2，理 18】某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A ， B两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

　A 地区：62

　73

　81

　92

　95

　85

　74

　64

　53

　76

　 78

　86

　95

　66

　97

　78

　88

　82

　76

　89 B 地区：73

　83

　62

　51

　91

　46

　53

　73

　64

　82

　 93

　48

　65

　81

　74

　56

　54

　76

　65

　79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

　（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

　满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率．

　A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9

　 2.【2015 高考福建，理 16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望．

　 3.【2015 高考山东，理 19】若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137,359,567 等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 1  分；若能被10 整除，得 1 分. （I）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX .

　 4.【2015 高考安徽，理 17】已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束.

　 （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望）.

　 5.【2015 高考天津，理 16】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率； (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.

　6.【2015 高考重庆，理 17】

　端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个。

　（1）求三种粽子各取到 1 个的概率；

　（2）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望

　7.【2015 高考四川，理 17】某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐 3 名男生，2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3人，女生中随机抽取 3 人组成代表队 （1）求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 得分布列和数学期望.

　8.【2015 高考湖北，理 20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 , A B 两种奶制品．生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元．要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 , A B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W

　12 15 18 P

　0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z （单位：元）是一个随机变量． （Ⅰ）求 Z 的分布列和均值； （Ⅱ）

　若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率．

　9.【2015 高考陕西，理 19】（本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为  ，  只与道路畅通状况有关，对其 容量为 100 的样本进行统计，结果如下：

　 （分钟）

　25 30 35 40 频数（次）

　20 30 40 10 （I）求  的分布列与数学期望  ； （II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率．

　 10.【2015 高考新课标 1，理 19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费ix 和年销售量iy （ i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

　x

　y

　w

　821( )iix x 821( )iiw w 81( )( )i iix x y y  81( )( )i iiw w y y  46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中i iw x 

　， w

　=1881iiw （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

　（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

　(ⅰ)年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据1 1( , ) u v ,2 2( , ) u v ，……， ( , )n nu v ,其回归线 v u     的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

　121( )( )=( )ni iiniiu u v vu u ， =v u   

　12.【2015 高考北京，理 16】

　A ， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

　A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14， a

　假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率； (Ⅱ) 如果 25 a  ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

　13.【2015 高考广东，理 17】某工厂 36 名工人的年龄数据如下表：

　工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值 x 和方差2s ； （3）36 名工人中年龄在 s x  与 s x  之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01％）？

　14. 【2015 高考湖南，理 18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.

　1. （本小题满分 12 分）

　某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，

　方案一：每满 200 元减 50 元：

　方案二：每满 200 元可抽奖一次．具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲箱，装有 2 个红球、2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）

　(I)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； (II)若某顾客购物金额为 320 元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

　2．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为

　3 2 1, ,4 3 2，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用  表示甲队总得分． （I）求随机变量  的分布列及其数学期望 E  ； （Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率．