北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学答案

来源:雅思 发布时间:2020-10-18 点击:

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高三数学参考答案 2020.1 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 10. 11. 12. 13.答案不唯一,如 14.;

注:第14题第一问2分,第二问3分. 三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)因为 ……………… 2分 ……………… 5分 , ……………… 7分 所以函数的最小正周期为. ……………… 8分 (Ⅱ)因为,所以. ……………… 9分 所以当,即时,取得最小值. ……………… 11分 当,即时,取得最大值. ……………… 13分 16.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设事件:“在样本中任取1个,这个出行人恰好不是青年人”为, ……………… 1分 由表可得:样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为,,, ……………… 2分 所以在样本中任取1个,这个出行人恰好不是青年人的概率. ………………3分 (Ⅱ)由题意,的所有可能取值为:0,1,2. ……………… 4分 因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取1人次,此人为老年人概率是, ……………… 5分 所以, ……………… 6分 , ……………… 7分 . ……………… 8分 所以随机变量的分布列为:
……………… 9分 故. ……………… 10分 (Ⅲ)答案不唯一,言之有理即可. 如可以从满意度的均值来分析问题,参考答案如下:
由表可知,乘坐高铁的人满意度均值为:, 乘坐飞机的人满意度均值为:, ……………… 12分 因为, 所以建议甲乘坐高铁从A市到B市. …………… 13分 B1 C D B A A1 C1 E 17.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由题意,三棱柱为正三棱柱. 连接. 设,则是的中点. 连接. 由,分别为和的中点, 得. ……………… 2分 又因为平面,平面, 所以平面. ……………… 4分 (Ⅱ)取的中点,连接. B1 C D B A A1 C1 z y x F 因为△为正三角形,且为中点, 所以. 由,分别为和的中点,得, 又因为平面, 所以平面, 所以,. 分别以,,为轴,轴,轴,如图建立空间直角坐标系,… 5分 则,,,,, 所以,,,, …… 6分 设平面的法向量, 由,,得 令,得. ……………… 8分 设平面的法向量, 由,,得 令,得. ……………… 9分 设二面角的平面角为,则 , 由图可得二面角为锐二面角, 所以二面角的余弦值为. ……………… 10分 (Ⅲ)结论:直线与平面相交. ……………… 11分 证明:因为,,且, 所以. ……………… 12分 又因为平面的法向量,且, 所以与不垂直, 所以平面,且与平面不平行, 故直线与平面相交. ……………… 14分 18.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由题意,得,直线(), ……………… 2分 设,, 联立消去,得,…… 3分 显然,, ……………… 4分 则点的横坐标, ……………… 5分 因为, 所以点在轴的右侧. ……………… 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得点的纵坐标. ……………… 7分 即. 所以线段的垂直平分线方程为:. ……… 8分 令,得;
令,得. ……………… 9分 所以△的面积, ……… 10分 △的面积. …… 11分 因为△与△的面积相等, 所以,解得. 所以当△与△的面积相等时,直线的斜率. ……… 13分 19.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由,得, ……………… 2分 所以,. 所以曲线在点处的切线方程为. …………… 4分 (Ⅱ)由,得, 则. … …………… 5分 当时,由,得, 所以函数在上单调递增;

……………… 7分 当时,由,得, 所以函数在上单调递减. 综上,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. … 8分 (Ⅲ)由,得在上恒成立. 设, ……………… 9分 则. 由,得,(). ……………… 10分 随着变化,与的变化情况如下表所示:
0 ↘ 极小值 ↗ 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以函数的最小值为. 由题意,得,即 . …………… 12分 设,则. 因为当时,;

当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减. 所以当时,. 所以当,,即,时,有最大值为. …………… 14分 20.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)答案不唯一. 如;

……………… 3分 (Ⅱ)假设存在一个使得, ……………… 4分 令,其中且, 由题意,得, ……………… 6分 由为正整数,得,这与为集合中的最大元素矛盾, 所以任意,. ……………… 8分 (Ⅲ)设集合中有个元素,, 由题意,得,, 由(Ⅱ),得. 假设,则. 因为, 由题设条件,得, 因为, 所以由(Ⅱ)可得, 这与为中不超过的最大元素矛盾, 所以, 又因为,, 所以. ……………… 10分 任给集合的元子集,令, 以下证明集合符合题意:
对于任意,则. 若,则有, 所以,,从而. 故集合符合题意, ……………… 12分 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同, 故满足条件的集合有个. ……………… 13分

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