广东省佛山市2020届高三上学期第一次模拟考试数学理试题

2019～2020 学年普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(理科) 2020 年 月 日 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项：
1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；
如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知集合A = {x| x2 - x - 2 < 0} ， B = {x| | x |> 1}，则 A∩B = （ ）
A． (-2, -1) B． (-1,1) C． (0,1) D． (1, 2) 3.已知 x, y Î R ，且 x > y > 0 ，则（ ）
A. cos x - cos y > 0 B. cos x + cos y > 0 C． ln x - ln y > 0 D． ln x + ln y > 0 4.函数 f (x)的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = ex 关于 y 轴对称，则 f (x) = （ ）
A. B. C. D. 5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶 点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯 基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）
A. B. C. D. 6.已知等比数列满足，则使得取得最大值的n为（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 7.已知为锐角，则（ ）
8.已知双曲线C:，O为坐标原点，直线与双曲线C的两条渐近线交于A, B 两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）
9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图． 根据以上信息，正确的统计结论是（ ）
A．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B．10 年来全球新增装机容量连年攀升 C．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 10.已知函数，且，则的取值范围是（ ）
11.已知函数 f (x) = sin x + sin(πx)，现给出如下结论：
① f (x)是奇函数 ② f (x)是周期函数 ③ f (x)在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x) 的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4 12.已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱长为4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1 , BB1 ,CC1分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（ ）
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）
14.在△ ABC 中， AB = 2 ， AC = 3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP × BC = 。

15.函数 f (x) = ln x 和 g(x) = a - x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则这条切线方程 为 . 16.在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P ，P到直线x +1 = 0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与 y 轴的交点坐标是 ；
设点A，则|PO|+|PA|的最小值为 . 三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展。景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁。该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立。

（1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 18.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B = b sin. （1）求A; （2）D 是线段 BC 上的点，若 AD = BD = 2 ， CD = 3 ，求△ ADC 的面积. 19.（本小题满分12分）
已知椭圆C :的离心率为，点A在椭圆C上，直线过椭圆C的有交点与上顶点，动直线与椭圆C交于M、N两点，交于P点. （1）求椭圆C的方程；

（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|=|MN|，求此时|MN|的长度. 20.（本小题满分12分）
如图，三棱锥 P - ABC 中，平面 PAB ^ 平面 ABC ， PA = PB ，ÐAPB = ÐACB = 90o ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心． （1）证明：
GF / / 平面 PAC ；

（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60o ，求二面角B-AP-C的余弦值. 21.（本小题满分12分）
已知函数 f (x) = 1 + x - 2 sin x, x > 0 （1）
求 f (x) 的最小值；

（2）
证明：. 请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号． 22．(本小题满分 10 分)[选修 4 - 4 :坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数）
（1）
写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（2）
已知倾斜角互补的两条直线，其中与曲线C交于A，B两点，与C交于M，N两点，与交于点，求证：. 23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数. （1）
若，求的取值范围；

（2）
当时，函数的值域为[1,3]，求k的值.