高考数学大二轮专题复习：第二编数学文化及核心素养类试题

第1讲　数学文化及核心素养类试题 「考情研析」　数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等． 核心知识回顾 1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目． 2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数． 3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：割圆术、阿氏圆等． 4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题． 热点考向探究 考向1　三角函数中的数学文化 例1　(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为(　　) A． B．2 C． D．2 答案　A 解析　由a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，可得sin A cos B＋cos A sin B＋3sin C cos A＝0，即sin (A＋B)＋3sin C cos A＝0，即sin C(1＋3cos A)＝0，因为sin C≠0，所以cos A＝－，由余弦定理可得a2－b2－c2＝－2bc cos A＝bc＝2，所以bc＝3，由△ABC的面积公式可得S＝＝＝.故选A. 我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝，其中p＝(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白． (2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角． 由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是(　　) A．早于公元前6000年 B．公元前2000年到公元元年 C．公元前4000年到公元前2000年 D．公元前6000年到公元前4000年 答案　A 解析　由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，由图3近似画出如图平面几何图形，则tan α＝＝1.6，tan β＝＝0.66，tan (α－β)＝＝≈0.457. ∵0.455<0.457<0.461，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年． 考向2　数列中的数学文化 例2　(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn＝2an，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为(　　) A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列 C．a1b30＝105 D．＝ 答案　BD 解析　由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，a1＝5，由题意可得30a1＋＝390，解得d＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝，∵bn＝2an，∴＝＝2an＋1－an＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B正确；
∵5d＝5×＝≠3，＝(2d)5＝25d≠23，∴b10≠8b5，A错误；
a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，∴a1b30＝5×221>105，C错误；
a4＝a1＋3d＝5＋3×＝，a5＝a1＋4d＝5＋4×＝，∴＝＝＝，D正确．故选BD. 本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解． (2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2＝1(i＝1，2，…，12).若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为(　　) 频率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 半音 C C# D D# E F F# G G# A A# B C(八度) A.F# B．G C．G# D．A 答案　B 解析　由题意知log2＝1(i＝1，2，…，12)，∴＝2，故数列{an}是公比q＝2的等比数列． ∵a4＝D#，a8＝a4q4＝D#×(2)4＝D#×＝G， ∴＝.故选B. 考向3　立体几何中的数学文化 例3　我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________． 答案　4π 解析　因为S圆＝S环总成立，则半椭球体的体积为πb2a－πb2a＝πb2a，所以椭球体的体积为V＝πb2a，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为V＝πb2a＝π×12×3＝4π，故答案是4π. 依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化． (2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝(　　) A．2 B． C．1 D． 答案　A 解析　由球的半径为R，得半球的内部表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为πR2，∴圆柱的侧面积为πR2.设圆柱的高为h，则2πR·h＝πR2，即h＝R.∴V1＝πR2·R＝πR3，V2＝πR3，∴＝＝2.故选A. 考向4　概率中的数学文化 例4　(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；
如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　若n＝5，根据上述过程得出的整数有5，16，8，4，2，1，随机选取两个不同的数，基本事件总数n＝C＝15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m＝C＝6，则这两个数都是偶数的概率为P＝＝＝.故选C. 数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解. (2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为(　　) A. B． C． D． 答案　A 解析　金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝C＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝＝.故选A. 考向5　数学文化与现代科学 例5　2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；
②a1－c1＝a2－c2；
③<；

④c1a2>a1c2. 其中正确式子的序号是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案　D 解析　观察题图可知a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；
a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；
由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知<，即<，从而c1a2>a1c2，>.即④式正确，③式不正确． (1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运． (2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较 全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题． (2020·北京市东城区模拟) 标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为(　　) A．10a B．10a C．10a D．10a 答案　C 解析　设第n行视标边长为an，第n－1行视标边长为an－1，由题意可得an－1＝an⇔＝10，则数列{an}为公比为10的等比数列，所以a10＝a＝10a，则视力4.9的视标边长为10a.故选C. 真题押题 『真题检验』 1．(2020·新高考卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　) A．20° B．40° C．50° D．90° 答案　B 解析　画出截面图如图所示，其中CD是赤道所在平面的截线，l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l，AB是晷针所在直线，m是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得m∥CD，根据线面垂直的定义可得AB⊥m.由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE＝40°.故选B. 2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 答案　C 解析　设第n环扇面形石板块数为an，第一层共有n环，则数列{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n.设Sn为数列{an}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，即－＝－＋729，即9n2＝729，解得n＝9，所以S3n＝S27＝＝3402.故选C. 3. (2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________． 答案　26　－1 解析　先求面数，有如下两种方法． 解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面． 解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式).由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长． 作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设正八边形的边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱 长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝x.又AM＋MN＋NF＝1，即x＋x＋x＝1.解得x＝－1，即半正多面体的棱长为－1. 『金版押题』 4．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是________年；
使用干支纪年法可以得到________种不同的干支纪年． 答案　己卯　60 解析　根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；
其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；
天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年． 专题作业 一、选择题 1．(2020·山东省烟台市模拟)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设每人分到的钱数构成的等差数列为{an}，公差d>0，由题意可得，a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝5，故3a1＋3d＝2a1＋7d，5a1＋10d＝5，解得a1＝，d＝，故任意两人所得的最大差值4d＝.故选B. 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为(　　) A．48里 B．24里 C．12里 D．6里 答案　C 解析　设第一天的路程为a1里，则＝378，a1＝192，所以a5＝192×＝12. 3. (2020·河北六校联考)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭县反山文化遗址．如图，玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm，外径17.6 cm，琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．估计该神人纹玉琮王的体积为(单位：cm3)(　　) A．6250 B．3050 C．2850 D．2350 答案　D 解析　由题意，该神人纹玉琮王可大致看成底面为正方形且边长为17.6 cm，高为8.8 cm的长方体去掉底面直径为4.9 cm，高为8.8 cm的圆柱后剩余的部分，则其体积为17.6×17.6×8.8－π××8.8≈2560(cm3).由该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，结合选项，可估计该神人纹玉琮王的体积为2350 cm3. 4．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个数，则这三个数为勾股数的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　从这15个数中随机抽取3个数所有基本事件个数为C，其中为勾股数的为(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(5，12，13)，共4个，故概率P＝＝，故选C. 5．阿基米德(公元前287年～公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案　A 解析　由题意可得解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A. 6．(2020·山东省泰安市模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为(　　) A.6 B． C． D．12 答案　B 解析　如图，作FN∥AE，FM∥ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥两部分，则该刍甍的体积为VF－MNBC＋VADE－NMF＝S四边形MNBC×2＋S直截面×＝×2××2＋×＝.故选B. 7．(2020·江西省九江市二模)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，依题意得所拨数字共有n＝CC＝24种情况，所拨数字大于200包含两种情况：①上珠拨的是千位档或百位档，有CC＝12种，②上珠拨的是个位档或十位档，下珠有一颗拨的是千位档，则有CC＝6种，所拨数字大于200包含的基本事件有m＝12＋6＝18种，则所拨数字大于200的概率为P＝＝＝.故选D. 8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；
阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，堑堵ABC－A1B1C1的体积为(　　) A． B． C．2 D．2 答案　C 解析　由阳马的定义，知VB－A1ACC1＝A1A·AC·BC＝AC·BC≤(AC2＋BC2)＝AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时等号成立，所以当阳马B－A1ACC1体积最大时，堑堵ABC－A1B1C1的体积为×××2＝2，故选C. 9．(2020·四川省达州市模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1、图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm2，900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为4300 cm3，那么这个斗的体积是(　　) 注：台体体积公式是V＝(S′＋＋S)h. A．5700 cm3 B．8100 cm3 C．10000 cm3 D．9000 cm3 答案　C 解析　∵斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成，棱台两底面面积分别是400 cm2，900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为4300 cm3，∴这个斗的体积是V＝×(400＋＋900)×9＋4300＝10000(cm3).故选C. 10. (2020·辽宁省葫芦岛市模拟)地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积．某同学结合物理和地理知识得到以下结论：
①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；

②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1，因此该椭圆近似于圆形；

③已知我国每逢春分(3月21日前后)和秋分(9月23日前后)，地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天． 以上结论正确的是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①③ 答案　A 解析　①地球到太阳的距离最小值为a－c，最大值为a＋c，地球分别位于图中A点和B点，显然正确；
②离心率e＝＝＝，根据题意可得a≈149600000，b≈149580000，所以≈1，所以e≈0，所以离心率应该约为0；
③根据开普勒行星运动第二定律，地球从D点到C点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天．故选A. 二、填空题 11．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________． 答案　 解析　三位数的回文数为ABA， A共有1到9共9种可能，即1B1，2B2，3B3，… B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…共有9×10＝90个， 其中ABA是偶数则A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8.B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…共有4×10＝40个， ∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝＝. 12．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________． 答案　6 解析　设每人分得的橘子数构成等差数列{an}，首项为a1，公差为3，则S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6. 13．(2020·山东省泰安市高三一模)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成，“”表示一根阳线，“”表示一根阴线，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线、四根阴线的概率为________． 答案　 解析　观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦， 含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线、四根阴线的概率为P＝＝. 14．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________ m. 答案　54 解析　设两住宅楼楼间距实际为x m.如图，根据题意可得，tan ∠DCA＝，tan ∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan (∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去).所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m．