第一章常用逻辑用语基础大题20道

　题 第一章常用逻辑用语基础大题 20 道

　 一、解答题 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：

　（1）

　p ：对任意的 xR ，21 0 x x   都成立； （2）

　q ：

　x R   ，使23 5 0 x x    ． 2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.

　（1）平面直角坐标系下每条直线都与 x 轴相交； （2）2, 1 0 x R x x     

　； （3）存在一个无理数，它的立方根是有理数. 3．写出下列命题的否定，并判断其真假． （1）有些素数是奇数； （2）所有的矩形都是平行四边形； （3）不论 m取何实数，方程22 0 x x m   都有实数根； （4）∃ xR ，22 5 0 x x   ． 4．下列命题中，判断 p是 q 的什么条件，并说明理由. （1）p：

　xy ，q：

　xy ； （2）p：

　ABC 是直角三角形，q：

　ABC 是等腰三角形； （3）p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形. 5．已知命题   :3 4 0 p a m a a   

　，命题3:12q m  

　，且 q

　是 p

　的必要不充分条件，求实数 a

　的取值范围. 6．已知: p 2 2 a    ， q ：关于 x 的方程20 x x a   有实数根. （1）若 q 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若 pq 为真命题，q 为真命题，求实数 a 的取值范围. 7．已知命题: p不等式2( 1) 1 0 x a x     的解集是 R . 命题: q函数 ( ) ( 1)xf x a  在定义域内是增函数.若“ pq ”为真命题，“ pq ”为假命题，求实数 a 的取值范围.

　试卷第 2 页，总 3 页 8．已知命题 p ：方程21 0 x mx   有实数解，命题 q ：31,2x     ， m x  . （1）若 p 是真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若 p 为假命题，且 q 为真命题，求实数 m 的取值范围. 9．已知命题   : 1,3 p x ；命题: 2 3 q m x m    . （1）若命题 p 是命题 q 的充分条件，求 m的取值范围； （2）当 2 m 时，已知 pq 是假命题， pq 是真命题，求 x 的取值范围. 10．已知: p22 3 0 { | } A x x x     ，: q 2 2| , 0 B x x m m    . （1）若 2 m ，求 A B ；

　 （2）若 p 是 q 的充分条件，求 m 的取值范围. 11．（1）已知命题 p ：

　1 a x a    ，命题 q ：24 0 x x  ，若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围； （2）已知命题 p ：“   0,1 x   ，xa e ”；命题 q ：“0x R   ，使得20 04 0 x x a    ”，若命题“ pq ”是真命题，求实数 a 的取值范围. 12．设集合  2| 3 2 0 A x x x     ，   2| 1 0 B x x m x m      ； （1）用列举法表示集合 A ； （2）若 x B  是 x A  的充分条件，求实数 m 的值. 13．设命题 p ：方程2 212 2 5x ya a  表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题2: , 1 0 q x R x ax      ，.若“ pq ”为真命题，求实数 a 的取值范围. 14．已知 p: 方程2 2110 12x yk k  表示双曲线；2q:?2x 9x k 0    在   2,3 内恒成立，若 pq 是真命题，求实数 k 的取值范围. 15．已知  23 2 0 P x x x     ，   1 1 S x m x m      . （1）是否存在实数 m ，使 x P  是 x S  的充要条件？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数 m ，使 x P  是 x S  的必要条件？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，请说明理由．

　16．已知命题 p ：方程2 216 7x ym m  表示椭圆，命题2: , 2 2 1 0 q x R mx mx m       .

　（1）若命题 q 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若 pq 为真，p 为真，求实数 m 的取值范围. 17．已知 0 c 且 1 c  ，设命题 p ：函数xy c  在 R 上单调递减，命题 q ：对任意实数x ，不等式22 0 x x c   恒成立. （1）写出命题 q 的否定，并求非 q 为真时，实数 c 的取值范围； （2）如果命题“ pq ”为真命题，且“ pq ”为假命题，求实数 c 的取值范围. 18．已知命题 p：“方程21 0 x mx   有两个不相等的实根”，命题 p 是真命题． （1）求实数 m 的取值集合 M；

　（2）设不等式 ( )( 2) 0 x a x a     的解集为 N，若 x∈N 是 x∈M 的充分条件，求 a的取值范围． 19．已知 p ：

　3 x a   （ a 为常数）； q ：代数式  1 lg 6 x x    有意义． （1）若 1 a  ，求使“ pq ”为真命题的实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 20．已知 p ：

　3 x a   （ a 为常数）； q ：代数式  1 lg 6 x x    有意义． （1）若 1 a  ，求使“ pq ”为真命题的实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．

　 答案第 1 页，总 13 页 参考答案 1．（1）全称量词命题，p ：“ x R   ，使21 0 x x   ”，假命题；（2）存在量词命题，q ：“ x R   ，有23 5 0 x x   ”，真命题． 【分析】

　（1）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假； （2）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假； 【详解】

　（1）由于命题中含有全称量词“任意的”， 因此，该命题是全称量词命题． 又因为“任意的”的否定为“存在一个”， 所以其否定是：存在一个 xR ，使21 0 x x   成立， 即p ：“ x R   ，使21 0 x x   ”， 因为 = 3 0    ，所以方程21 0 x x   无实数解， 此命题为假命题． （2）由于“ x R   ”表示存在一个实数 x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因此，该命题是存在量词命题． 又因为“存在一个”的否定为“任意一个”， 所以其否定是：对任意一个实数 x ，都有23 5 0 x x   成立． 即q ：“ x R   ，有23 5 0 x x   ”． 因为 = 11 0    ，所以对 x R   ，23 5 0 x x   总成立， 此命题是真命题． 2．（1）假命题.命题的否定见解析；（2）假命题.命题的否定见解析；（3）假命题.命题的否定见解析. 【分析】

　（1）根据全称命题的否定为特称命题，即可写出命题的否定； （2）根据特称命题的否定为全称命题，即可写出命题的否定； （3）根据特称命题的否定为全称命题，即可写出命题的否定；

　 答案第 2 页，总 13 页 【详解】

　（1）假命题.命题的否定：平面直角坐标系下存在一条直线不与 x 轴相交； （2）假命题.命题的否定：2, 1 0 x R x x      ； （3）假命题.命题的否定：任意一个无理数，它的立方根不是有理数. 3．答案见解析. 【分析】

　根据特称命题与全称命题的否定依次书写每个命题的否定并判断真假即可. 【详解】

　解：（1）所有素数都不是奇数，假命题； （2）有些矩形不是平行四边形，假命题； （3）存在实数 m，使得方程22 0 x x m   没有实数根，真命题； （4）∀ xR ，22 5 0 x x   ，假命题． 【点睛】

　本题考查特称命题与全称命题的否定及真假判断，是基础题. 4．（1）必要不充分条件，理由见解析；（2）既不充分也不必要条件，理由见解析；（3）必要不充分条件，理由见解析. 【分析】

　（1）根据 xy 与 xy 的关系以及充分条件、必要条件的定义即可得出结果. （2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果. （3）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】

　（1）∵ xy  ¿ x y  ，但 x y x y    ， ∴p 是 q 的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件. （2）∵ ABC 是直角三角形 ¿ ABC 是等腰三角形， ABC 是等腰三角形 ¿ ABC 是直角三角形， ∴p 既不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件，即既不充分也不必要条件. （3）∵四边形的对角线互相平分 ¿ 四边形是矩形，

　 答案第 3 页，总 13 页 四边形是矩形  四边形的对角线互相平分， ∴p 是 q 的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件. 【点睛】

　本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 5．1 33 8a  

　【分析】

　即 p 所对应的集合是 q

　所对应集合的真子集. 【详解】

　q 是 p

　的必要不充分条件,3 1342aa   且不能同时取等，得1 33 8a   . 【点睛】

　此题考查命题条件间的关系，注意“必要不充分条件”对应两集合的包含关系但不能取等. 6．（1）14a  ；（2）124a  

　【分析】

　（1）关于 x的方程 x 2 ﹣x+a=0 有实数根，则△=1﹣4a≥0，解得 a 的范围．（2）由题意得 p 为真命题， q 为假命题求解即可. 【详解】

　（1）

　方程20 x x a   有实数根，得：

　: 1 4 0 q a     得14a  ； （2）p q 为真命题，q 为真命题 

　p 为真命题， q 为假命题，即2 214aa   得124a   . 【点睛】

　本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假的判断方法，考查了推理能力，属于基础题． 7． ( 3,0][1, )   

　【分析】

　若命题 p 为真命题，在一元二次不等式中由判别式求出此时参数范围；若命题 q 为真命题，

　 答案第 4 页，总 13 页 由指数函数底数大于 1 则函数单调递增求出此时参数范围，又因为 pq 为真命题， pq 为假命题，所以, p q 两命题一真一假，最后分类讨论 p 真 q 假与 p假 q 真，求出答案. 【详解】

　若命题 p 为真命题，则  21 4 0 a      ，解得 3 1 a    ； 若命题 q 为真命题，则 1 1 a  ， 0 a   . 因为 pq 为真命题， pq 为假命题， 所以, p q 两命题一真一假 （1）p 真 q假，则3 10aa   ， 3 0 a   

　（2）p 假 q真，则3 10a aa   或， 1 a  

　综上所述， a 的取值范围是 ( 3,0] [1, )    . 【点睛】

　本题考查由逻辑联结词连接命题的真假求参数取值范围，还考查了一元二次不等式恒成立与指数函数的单调性，属于基础题. 8．（1）

　2 m 或 2 m ；（2）322m  

　【分析】

　（1）由方程有实数根则 0   ，可求出实数 m 的取值范围. (2) q 为真命题,即maxm x  从而得出 m 的取值范围,由（1）可得出 p 为假命题时实数 m 的取值范围.即可得出答案. 【详解】

　解：（1）方程21 0 x mx   有实数解得， 0   ，解之得 2 m 或 2 m ； （2）

　p 为假命题，则 2 2 m    ， q 为真命题时， mx  ，31,2x     ，则maxm x 

　故32m  .

　 答案第 5 页，总 13 页 故 p 为假命题且 q 为真命题时，322m   . 【点睛】

　本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题. 9．（1）

　0 1 m   ；（2）

　 12 x x   或  3 7 x   . 【分析】

　（1）根据命题 p 是命题 q 的充分条件，即 p 集合包含于 q 集合，然后根据集合的关系求解即可; （2）根据 pq 是假命题， pq 是真命题，分别求出满足条件的 x 的取值范围，然后取交集即可. 【详解】

　（1）由题知命题 p 是命题 q 的充分条件， 即 p 集合包含于 q 集合， 有    11,3 ,2 3 0 12 3 3mm m mm       ； （2）当 2 m 时，有命题   : 1,3 p x ，命题   : 2,7 q x ， 因为 pq 是假命题，即     ,2 3, x    ， 因为 pq 是真命题，即   1,7 x ， 综上，满足条件的 x 的取值范围为  1 2 x x   或  3 7 x  

　【点睛】

　本题考查了命题与集合的关系，根据命题真假求参数范围，属于基础题. 10．（1）

　  12 A B x x      ；

　（2）

　  3, ． 【分析】

　（1）先求出集合 A ，再把 2 m 代入求出集合 B，再根据交集的定义求出 A B ； （2）由 p 是 q 的充分条件得 A B  ，再根据子集的定义求解． 【详解】

　解：（1）由题意，得   1 3 A x x     ，

　 答案第 6 页，总 13 页 当 2 m 时，   2 2 x x B     ， ∴   1 2 A B x x      ； （2）由已知， p 是 q 的充分条件，则 A B  ， 又   B x m x m     ， ∴13mm   ，解得：

　3 m ，

　 ∴实数 m 的取值范围是   3, ． 【点睛】

　本题主要考查集合的交集运算，考查集合的包含关系的判定及应用，属于基础题． 11．（1）

　0< <3 a （2）

　e 4 a   . 【分析】

　（1）求出命题 q 的不等式解集， p 是 q 的充分不必要条件，转化为命题 p 的数集是命题 q 解集的在真子集，即可求解； （2）分别求出命题 p 和命题 q 为真时，实数 a 的范围，再根据“ pq ”是真命题，即可求解. 【详解】

　解：（1）令   | 1 M x a x a     ，    2| 4 0 |0 4 N x x x x x       . ∵ p 是 q 的充分不必要条件，∴ M N ， ∴01 4aa  ，解得 0< <3 a . （2）若命题“ pq ”是真命题，那么命题 p ， q 都是真命题. 由   0,1 x   ，xa e ，得 a e  ； 由0x R   ，使20 04 0 x x a    ，知 16 4 0 a    ， 得 4 a  ，

　 答案第 7 页，总 13 页 因此 e 4 a   . 【点睛】

　本题考查命题充分不必要与集合的关系，考查复合命题的真假，属于基础题. 12．（1）

　  1, 2 A   ；（2）

　1 m  或 2 m

　【分析】

　（1）解方程求集合 A ，（2）若 x B  是 x A  的充分条件，则 B A 

　，然后求解集合 B ，根据子集关系求参数. 【详解】

　（1）

　  23 2 0 1 2 0 x x x x       

　 即 1 x 或 2 x

　，   1, 2 A   ； （2）若 x B  是 x A  的充分条件， 则 B A 

　，     21 0 1 0 x m x m x x m        

　 解得 1 x

　或 xm  ， 当 1 m  时，   1 B   ，满足 B A  ， 当 2 m 时，   1, 2 B  

　，同样满足 B A  ， 所以 1 m  或 2 m . 【点睛】

　本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型. 13．522  ，

　【解析】

　【分析】

　求出命题 p 成立的 a 的范围，再求出命题 q 成立 a 的范围，利用“ pq ”为真命题列不等式组即可得解。

　【详解】

　 答案第 8 页，总 13 页 若 p 为真命题，则    2 2 5 0 a a   

　得：522a   

　若 q 为真命题：则：24 0 a     得：

　2 2 a   

　所以由：5222 2aa a 或    ，得：522a   ， 所以实数 a 的范围为522  ， . 【点睛】

　本题主要考查了双曲线的标准方程形式及一元二次不等式恒成立问题，考查复合命题的真假判断，属于基础题。

　14． 9]1012    （ ， （ ，）

　【分析】

　先假设命题 pq ，分别为真，分别求出对应的 k 的范围，再由 pq 是真命题，确定 p,q 至少有一个为真，从而可求出结果. 【详解】

　因为 p: 方程2 2110 12x yk k  表示双曲线，所以    10 12 0 k k    ，所以 10 12 k   ， 又2q:?2x 9x k 0    在   2,3 内恒成立，所以8 18 018 27 0kk     ，解得 9 k  ， 因为 pq 是真命题，所以 p,q 至少有一个为真，所以 9 k  或 10 12 k  

　即实数 k 的取值范围是 9] 1012    （ ， （ ，）

　. 【点睛】

　本题主要考查根据复合命题的真假求参数的范围，需要先根据命题为真求出参数范围，再由条件判断命题的真假，进而可求出参数的范围，属于基础题型. 15．（1）不存在实数 m ，使 x P  是 x S  的充要条件 （2）当实数 0 m 时， x P  是 x S  的必要条件

　 答案第 9 页，总 13 页 【分析】

　（1）解不等式23 2 0 x x   得到集合 P ；再由 x P  是 x S  的充要条件，可得 P S  ，进而可得出结果； （2）要使 x P  是 x S  的必要条件，则 S

　

　P ，然后讨论 S  和 S  两种情况，即可得出结果. 【详解】

　（1）

　   23 2 0 1 2 P x x x x x        . 要使 x P  是 x S  的充要条件，则 P S  ，即1 1,1 2,mm    此方程组无解， 则不存在实数 m ，使 x P  是 x S  的充要条件；

　（2）要使 x P  是 x S  的必要条件，则 S

　

　P ， 当 S  时， 1 1 m m    ，解得 0 m ；

　当 S  时， 1 1 m m    ，解得 0 m

　要使 S

　

　P ，则有1 1,1+ 2mm  ，解得 0 m ，所以 0 m ， 综上可得，当实数 0 m 时， x P  是 x S  的必要条件． 【点睛】

　本题主要考查集合之间的关系，以及充分条件和必要条件，根据题中条件，确定集合之间的关系，即可求解，属于基础题型. 16．（1）

　1 m （2）162m m 或   

　【分析】

　(1)由命题 q 为真，可知2, 2 2 1 0 x R mx mx m       成立，讨论 0 m 和 0 m ，即可得出结果; (2)由 pq 为真，p 为真可知：

　p 为假， q 为真，进而可求出结果. 【详解】

　（1）

　命题 q 为真， 当 0 m 时，  20 4 2 1 0 1 m m m       ， 0 1 m    ； 当 0 m 时，不等式恒成立.

　 答案第 10 页，总 13 页 综上知， 1 m . （2）若 p 为真，则6 07 0 6 76 7mm mm m         且12m 

　若 pq 为真，p 为真，p 为假， q 为真. 116 72mm m m     或 或 162m m     或 . 【点睛】

　本题主要考查复合命题的真假，其中常涉及一元二次不等式成立或恒成立的问题，需要结合题意认真分析，避免失误即可，属于基础题型. 17．（1）

　012c   ；（2）

　c 的取值范围是  10 1,2   ， . 【解析】

　分析：（1）根据命题的否定的改写方法即可，非 q 为真，即存在实数 x

　x , 使得不等式22 0 x x c   成立.故 0  即可；（2）此题是由命题的真假求参数的题目，可先求出每个命题为真时的参数的取值范围，再根据命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，判断出两个命题的真假关系，从而确定出实数 c 的取值范围 详解：

　（1）命题 q

　的否定是：存在实数 x

　x , 使得不等式22 0 x x c   成立.

　非 q 为真时， 22 4 0 c      ，即12c  ，又 0 c 且 1 c  ， 所以102c   . （2）若命题 p 为真，则 0 1 c   ， 若命题 q 为真，则112c   或 1 c  ，

　因为命题 " " p q  为真命题， " " p q  为假命题，

　 答案第 11 页，总 13 页 所以命题 p 和 q 一真一假，若 p 真 q 假，则0 1102cc   

　所以102c   ，

　若 p 假 q 真，则111 12cc c 或，所以 1 c  .

　综上：

　c 的取值范围是  10 1,2，    点睛：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是理解“命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题”，进行正确转化，求出实数 c 的取值范围，解答过程中能正确对两个命题中 c 的范围正确求解也很关键，本题涉及到了指数的单调性，一元二次不等式的解的情况，或命题，且命题等，综合性较强 18．（1）

　  22 M m m m     或 ；（2）

　4 a 或 2 a 

　【解析】

　分析：

　（1）由二次方程有解可得 0   ，从而可得解； （2）由 x∈N 是 x∈M 的充分条件，可得 N M  ，从而可得解. 详解：

　(1) 命题 p ：方程21 0 x mx   有两个不相等的实根， 24 0 m    ，解得 2 m ，或 2 m ． M={m| 2 m ，或 2 m }． (2) 因为 x∈N 是 x∈M 的充分条件，所以 N M 

　N= { | 2} x a x a   

　2 2, a  

　2, a 

　综上， 4, a   或 2 a 

　点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求

　 答案第 12 页，总 13 页 解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 19．（1）

　  1,4  （2）

　  2,3

　【解析】

　试题分析：（1）通过解不等式得到 p ：

　3 3 a x a     ， q ：

　1 6 x    ，求两个不等式的交集即可； （2）若 p 是 q 成立的充分不必要条件，则 A B  ，列式求解即可. 试题解析：

　p ：3 x a   等价于：

　3 3 x a     即 3 3 a x a     ； q ：代数式  1 lg 6 x x    有意义等价于：1 06 0xx   ，即 1 6 x   

　（1）

　1 a 时， p 即为 2 4 x   

　若“ pq ”为真命题，则2 41 6xx     ，得：

　1 4 x   

　故 1 a 时，使“ pq ”为真命题的实数 x 的取值范围是 [ 1  ， 4)

　（2）记集合 { | 3 3} A x a x a      ， { | 1 6} B x x    

　若 p 是 q 成立的充分不必要条件，则 A B  ， 因此：3 13 6aa    ， 

　2 3 a   ，故实数 a 的取值范围是   2,3 ． 20．（1）

　  1,4  （2）

　  2,3

　【解析】

　试题分析：（1）通过解不等式得到 p ：

　3 3 a x a     ， q ：

　1 6 x    ，求两个不等式的交集即可； （2）若 p 是 q 成立的充分不必要条件，则 A B  ，列式求解即可. 试题解析：

　p ：3 x a   等价于：

　3 3 x a     即 3 3 a x a     ； q ：代数式  1 lg 6 x x    有意义等价于：1 06 0xx   ，即 1 6 x   

　 答案第 13 页，总 13 页 （1）

　1 a 时， p 即为 2 4 x   

　若“ pq ”为真命题，则2 41 6xx     ，得：

　1 4 x   

　故 1 a 时，使“ pq ”为真命题的实数 x 的取值范围是 [ 1  ， 4)

　（2）记集合 { | 3 3} A x a x a      ， { | 1 6} B x x    

　若 p 是 q 成立的充分不必要条件，则 A B  ， 因此：3 13 6aa    ， 

　2 3 a   ，故实数 a 的取值范围是   2,3 ．