5.2,平行线及其判定(基础训练)(解析版)

　 5. 2 平行线及其判定

　一、单选题 1．如图，下列能判断 AB∥CD 的条件有 （

　 ）

　 ①∠B+∠BCD=180°

　 ②∠1 = ∠2

　③∠3 =∠4

　④∠B = ∠5 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】

　判断平行的条件有：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，依次判断各选项是否符合． 【详解】

　①∠B+∠BCD=180°，则同旁内角互补，可判断 AB∥CD； ②∠1 = ∠2，内错角相等，可判断 AD∥BC，不可判断 AB∥CD； ③∠3 =∠4，内错角相等，可判断 AB∥CD； ④∠B = ∠5，同位角相等，可判断 AB∥CD 故选：C 【点睛】

　本题考查平行的证明，注意②中，∠1 和∠2 虽然是内错角关系，但对应的不是 AB 与 CD 这两条直线，故是错误的．

　 2．在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系是( )． A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行、相交或垂直 【答案】C 【解析】

　在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系是平行或者相交．故选 C 3．下列说法错误的是(

　) A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 B．在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】A 【分析】

　分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案． 【详解】

　A、如果两条直线平行时，被第三条直线所截时，内错角才会是相等，故 A 选项错误，符合题意； B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意； D、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意； 故选 A． 【点睛】

　考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确把握相关定义是解题关键． 4．下列图形中，由∠1=∠2 能得到 AB∥CD 的是（

　）

　 A． B．

　C．

　D．

　【答案】B 【分析】

　根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】

　解：A、∠1=∠2 不能判定任何直线平行，故本选项错误； B、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，符合平行线的判定定理，故本选项正确； C、∵∠1=∠2，∴AC∥BD，故本选项错误； D、∠1=∠2 不能判定任何直线平行，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】

　本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 5．如图，下列说法错误的是(

　 )

　A．若 a∥b，b∥c，则 a∥c B．若∠1＝∠2，则 a∥c

　C．若∠3＝∠2，则 b∥c D．若∠3＋∠5＝180°，则 a∥c 【答案】C 【解析】

　 试题分析：根据平行线的判定进行判断即可． 解：A、若 a∥b，b∥c，则 a∥c，利用了平行公理，正确； B、若∠1=∠2，则 a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确； C、∠3=∠2，不能判断 b∥c，错误； D、若∠3+∠5=180°，则 a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确； 故选 C． 考点：平行线的判定． 6．在同一平面内，互不重合的三条直线公共点的个数是(

　 ) A．只可能是 0 个、1 个或 3 个 B．只可能是 0 个、1 个或 2 个 C．只可能是 0 个、2 个或 3 个 D．0 个、1 个、2 个或 3 个都有可能 【答案】D 【解析】

　【分析】

　分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论． 【详解】

　因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：

　①三条直线互相平行，有 0 个交点； ②一条直线与两平行线相交，有 2 个交点； ③三条直线都不平行，有 1 个或 3 个交点； 所以交点个数可能是 0、1、2、3．

　 故选：D． 【点睛】

　考查了直线的交点个数问题．此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面． 7．如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 a∥b（

　）

　A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3 【答案】D 【解析】

　【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】由∠2=∠4 或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得 a∥b； 由∠1=∠3，不能得到 a∥b， 故选 D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键. 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力． 8．如图，给出下列条件：①∠3=∠4;②∠1=∠2；③EF∥CD,且∠D=∠4；④∠3+∠5=180°．其中，能推出AD∥BC 的条件为 （ ）

　A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】

　①∵∠3=∠4，∴AD∥BC，正确； ②∵∠1=∠2，∴AB∥DC，（内错角相等，两直线平行），错误； ③∵EF∥CD，∴∠D=∠3，∵∠D=∠4，∴∠3=∠4，由同位角相等，两直线平行可得 AD∥BC 正确； ④∵∠3+∠5=180°，∠4+∠5=180°∴∠3=∠4，由同位角相等，两直线平行可得 AD∥BC 正确； 故能推出 AB∥DC 的条件为①③④． 故选 C． 9．如图，直线 l 1 、l 2 被直线 l 3 、l 4 所截，下列条件中，不能判断直线 l 1 ∥l 2 的是（

　）

　A．∠1=∠3

　B．∠5=∠4

　C．∠5+∠3=180°

　D．∠4+∠2=180° 【答案】B 【解析】

　试题分析：依据平行线的判定定理即可判断． 解：A、已知∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可以判断，故命题正确； B、不能判断； C、同旁内角互补，两直线平行，可以判断，故命题正确； D、同旁内角互补，两直线平行，可以判断，故命题正确． 故选 B． 点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 10．过一点画已知直线的平行线，则(

　 ) A．有且只有一条

　B．有两条

　C．不存在

　D．不存在或只有一条 【答案】D 【解析】

　本题主要考查了平行线. 根据分点在直线上和点在直线外两种情况解答． 若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；

　 若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行． 故选 D． 11．如图，能判定 EB∥AC 的条件是（

　）

　A．∠C=∠1 B．∠A=∠2 C．∠C=∠3 D．∠A=∠1 【答案】D 【分析】

　直接根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】

　解：A、∠C=∠1 不能判定任何直线平行，故本选项错误； B、∠A=∠2 不能判定任何直线平行，故本选项错误； C、∠C=∠3 不能判定任何直线平行，故本选项错误； D、∵∠A=∠1，∴EB∥AC，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】

　本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行． 12．下列说法：①有理数的绝对值一定是正数；②两点之间的所有连线中，线段最短；③相等的角是对顶角；④过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；⑤不相交的两条直线叫做平行线，其中正确的有（

　）

　A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

　 【答案】A 【解析】

　【分析】

　根据绝对值的意义，以及对顶角的性质，垂线的性质即可作出判断． 【详解】

　①0 的绝对值是 0，不是正数，也不是负数，命题错误； ②正确； ③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，命题错误； ④在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，命题错误； ⑤在同一平面内，不相交的直线叫做平行线，命题错误． 故选 A． 【点睛】

　本题考查了绝对值的性质，对顶角的性质，垂线的性质，理解性质是关键．

　二、填空题 13．如图，点 E 是 AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使 BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）

　【答案】∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB 或∠C=∠ CDE 【解析】

　分析：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断．

　 详解：若 180 A ABC     ，则 BC∥AD； 若∠C+∠ADC=180°，则 BC∥AD； 若∠CBD=∠ADB，则 BC∥AD； 若∠C=∠CDE，则 BC∥AD； 故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB 或∠C=∠CDE．（答案不唯一）

　点睛：本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 14．如图，请写出能判定 CE∥AB 的一个条件________

　【答案】∠DCE=∠A 或∠BCE=∠B 或∠ACE+∠A=180º 【分析】

　根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行添加条件即可. 【详解】

　∵∠DCE=∠A 或∠BCE=∠B 或∠ACE+∠A=180º ∴CE∥AB. 故答案为∠DCE=∠A 或∠BCE=∠B 或∠ACE+∠A=180º. 【点睛】

　本题考查了平行线的判定，平行线的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.

　 15．小红与小明是一墙之隔的邻居，现要知道他们的写字桌的边缘是否平行，应采取____________________________________________的方法． 【答案】判断两写字桌的边缘是否都与墙壁平行 【解析】

　【分析】

　把墙壁看在一条直线，由平行公理推论进行判断. 【详解】

　若把墙壁看在一条直线，若小红的写字桌的边缘与墙壁平行，小明的写字桌的边缘与墙壁平行，根据平行公理推论可得：小红的写字桌的边缘平行墙壁平行小明的写字桌的边缘,反之不平行，则它们不平行. 故答案是：判断两写字桌的边缘是否都与墙壁平行. 【点睛】

　考查了平行公理推论，解题关键是灵活运用平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 16．如图是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：

　AB________BC；AB________EF；AB________CD． 【答案】⊥

　∥

　∥

　 【解析】

　【分析】

　利用立体图形分别得出各线段之间的位置关系； 【详解】

　 ∵长方体的底面四边形 ABCD 是矩形， ∴AB⊥BC,AB//CD; ∵长方体的面四边形 ABEF 是矩形， ∴AB//EF; 故答案是：⊥,//,//. 【点睛】

　考查了同一平面内，两条直线的位置关系. 17．如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2 的度数等于 __________．

　【答案】180° 【详解】

　解：∵AB∥CD ∴∠1=∠EFD ∵∠2+∠EFC=∠3 ∠EFD=180°-∠EFC ∴∠1+∠3—∠2=180° 故答案为：180° 18．如图是一个风车，当风车的一片叶子 AB 旋转到与地面 MN 平行时，叶子 CD 与地面 MN__________(填“平行”或“不平行”)，理由是_______________________________________________________________．

　【答案】不平行

　经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

　 【解析】

　【分析】

　根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】

　AB 与 CD 有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得 AB 不能同时与地面 EF平行． 故答案是：不平行, 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 【点睛】

　考查的是平行线的判定与性质，熟知平行公理是解答此题的关键．

　三、解答题 19．在如图所示的方格纸中，经过点 C 画与线段 AB 互相平行的直线 l 1 .

　【答案】见解析 【解析】

　【分析】

　 根据平行线的画法，过点 C 画与线段 AB 互相平行的直线 l 1 ． 【详解】

　如图所示：

　【点睛】

　考查的是平行线的画法，熟知平行线的定义是解答此题的关键． 20．如图，∠1=∠3，∠1=∠2，那么 DE 与 BC 有怎样的位置关系；为什么．

　【答案】证明见解析． 【解析】

　【详解】

　解：DE∥BC．

　∵∠1=∠3，∠1=∠2， ∴∠2=∠3（等量代换）

　∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行) 21．如图，根据要求填空．

　(1)过 A 作 AE∥BC，交______于点 E； (2)过 B 作 BF∥AD，交______于点 F； (3)过 C 作 CG∥AD，交__________于点 G； (4)过 D 作 DH∥BC，交 BA 的__________于点 H. 【答案】

　(1)DC；(2)DC；(3)AB；(4)延长线. 【解析】

　【分析】

　根据要求，直接进行作图就可以解决． 【详解】

　（1）过 A 作 AE∥BC，交 DC 于点 E；

　（2）过 B 作 BF∥AD，交 DC 于点 F； （3）过 C 作 CG∥AD，交 AB 的延长线于点 G； （4）过 D 作 DH∥BC，交 BA 的延长线于点 H． 【点睛】

　本题主要考查平行线的作法以及几何语言的准确性． 22．如图,一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,∠2=50°,∠3=130°,找出图中的平行线,并说明理由.

　【答案】证明见解析. 【解析】

　试题分析：根据已知可得∠1=∠2，∠2+∠3=180°，由同位角相等，两直线平行即可得 OB∥AC，由同旁内角互补，两直线平行可得 OA∥BC． 试题解析：

　OA∥BC，OB∥AC,理由如下：

　∵∠1=50°，∠2=50°， ∴∠1=∠2， ∴OB∥AC， ∵∠2=50°，∠3=130°， ∴∠2+∠3=180°， ∴OA∥BC． 考点：平行线的判定. 23．如图， MF NF  于 F ， MF 交 AB 于点 E ， NF 交 CD 于点 G ， 1 140    ， 2 50   ，试判断 AB和 CD 的位置关系，并说明理由．

　 【答案】

　AB CD ∥

　【详解】

　试题分析：延长 MF 交 CD 于点 H，利用平行线的判定和性质，结合垂直的定义加以证明． 试题解析：过点 F 作 HF AB ∥ ． ∵ FH AB ∥

　∴ 2 3    （两直线平行，同位角相等）． ∵ 2 50    （已知）， ∴ 3 50    （等量代换）． ∵ MF NF  （已知）， ∴ 90 EFG    （垂直的定义）， ∴ 4 90 3 40      ． ∵ 1 140   

　∴ 1 4 180     ， ∴ FH CD （同旁内角互补，两直线平行）， ∴ AB CD ∥ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）．