浅谈辅助线添加方法与技巧教学

　浅谈辅助线添加方法与技巧的教学

　北京市丰台区长辛店学校 刘改琴

　辅助线是沟通题目中的已知条件和所求结论的一座桥梁,有了这座桥梁我们就可以比较顺利的解决问题,没有这座桥梁我们将无法到达胜利的彼岸。辅助线的添加是数学解题教学中的一个难点问题，原因在于它需要学生自己根据题意去判断是否需要添加辅助线,在此基础上还能合理选择适当的辅助线，要求学生有一定的解题方法和技巧的积累。

　实践证明，大多数学生在辅助线添加问题上的解题障碍主要表现在以下三个方面：不知道在什么情况下需要添加辅助线、怎么添加辅助线和怎么应用添加的辅助线。针对学生存在的障碍，教师在解题教学过程中应该注重那些教学策略才能有效地帮助学生解决困难？下面我以《相似三角形》这一章为例来谈一谈我对辅助线教学的一些认识：

　归纳基本图形训练学生的识图能力。

　在探求结论是等积式(或比例式)的几何问题时,学生经常会遇到困难, 不能有效建立已知条件和所求结论之间的关系；学生若能根据题设条件和图形特征,恰当添加辅助线,巧构相似三角形,往往会使得某些看似困难的几何题目迅速找到解题途径。

　相似三角形的证明中辅助线的添加主要有两类：一是通过作平行线构造相似三角形；二是通过作相等角来构造相似三角形。首先在相似三角形的教学过程中要注重对基本图形的提炼，并让学生了解各个图形的特征。相似三角形的基本图形“A”型图、“X”型图，通过一组平行线来构造相似三角形；“”图形及其变形形式，通过作相等的角来构造相似三角形，从而利用平行线分线段成比例定理或相似三角形三边对应成比例来求解。对于题目本身存在的基本图形学生能熟练应用，而对于需要添加辅助线构造基本图形的题目，则要引导学生从图形和结论出发去分析问题，提高学生的识图能力。

　二、揭示思维过程

　 思维的过程包括分析、综合、比较、分类、抽象、概括、具体化、系统化等。1大多数学生对于此类题目存在不知是否需要添加辅助线，如何添加辅助线的问题，所以在解题教学过程中要注重解题思维过程的揭示，教给学生思考的方式和方法。

　（一）展示学生的思维过程，揭示学生的思维缺陷。

　多数学生对于需要添加辅助线的证明题没有解题思路，感觉无从下手，即使部分学生知道需要添加辅助线，也不知在什么位置添加什么辅助线。针对学生存在的问题教师在解题教学过程中要尽可能的展示学生的思维过程，发现学生在思维的那个环节出现了问题，以便及时调节自己的教学进度和教学方法。下面以具体实例说明:

　问题1如图，△ABC,D为AB上一点，E为AC上一点，连接DE交BC延长线于点F,且BD=CE。

　求证：

　问题1是相似三角形中典型的等积式证明题，题目给出后由学生去读题、标图、分析已知条件和结论。

　等积式

　比例式

　找相似三角形

　找相似三角形

　存在 不存在

　存在 构造

　存在

　通过学生分析解题思路：“从等积式入手，先把等积式化成比例式，然后找相似三角形，可我没有找到相似三角形。”发现学生的问题在于不会添加辅助线来构造相似三角形，此时可以给学生一定的时间让学生去尝试添加辅助线，少部分学生会得到启发，而多数同学仍不知添什么？怎么添？接下来则由学生来展示他们的解题思路，追问他是怎样想到的？为什么这么做？而不只是简单的解法介绍。若学生还是没有解题思路，则要引导学生去观察所求比例式的特点（两条线段在同一直线上），“A”型图和“X”型图的特征，发现由它们可以直接得出在同一直线上的两条线段的比，从而让学生自发的去构造在同一直线上的两条线段的比。

　因为学生比较习惯于在三角形的内部添加辅助线，所以学生解法如下：

　解法一：过D点作DG∥AC ，构造两个“A”型图，等量代换去证明。

　∴,

　∵ BD=CE

　∴

　∴

　∴

　解法二：过D点作DM∥BF则构造了一个“A”型图和一个“X”型图。

　∴, ，

　∵ BD=CE

　∴，

　∴

　∴

　∴

　解法三：分析比例式的左边和右边，发现它们没有分布在两个三角形中，所以只能通过构造两对相似三角形，利用等量代换来证明。

　过点E作EN∥AB（构造两个“A”型图）

　∴,

　∴

　∵ BD=CE

　∴

　∴

　∴

　解法四：过点E作EN∥BC（构造两个“A”型图）

　∴

　∴

　∵ BD=CE

　∴

　∴

　∴

　（二）教师合理设置问题，激发学生的思维。

　 数学家乔治·波利亚在《怎样解题》中提出：中学数学教育的根本宗旨是“教会学生思考”然而学生在解题过程中由于思维受阻，经常遇到困难，这时就需要教师要善于捕捉学生思维的分界点，合理设置问题给予学生必要的引导，逐层升入分析问题，要点在临界点，拨在关键处。

　问题2 已知：△ABC，AD为BC边上的中线，过△ABC的顶点C任作一直线CF分别交AD、AB于点E和F，求证：AE: ED=2AF：FB

　题目给出后首先由学生来分析解题思路:标图、由已知想可知？看结论，找关系。带着问题去分析：习题与例题的相同点？不同之处？能否消除两者的差异？通过与问题1的对比，学生找出两者的相同点和不同点：相同点都是证明等积式（比例式），已知条件中都有相等线段；不同点问题2中多了一个系数2，相等线段变为同一直线上（中点）。如何引导学生从平行线和中点性质出发去消除差异，即将两个问题转化为一个问题来解决，并体会转化思想在数学中的应用是关键。所以教师在问题提出后给予学生充分的时间和空间来思考问题，学生在思考的过程中出现迷惑的目光，这就是学生思维的迷茫之际，即思维的临界点。教师可以从两个方面来突破：（1）利用中点性质能否出现2倍关系？（2）还利用什么知识可以出现2倍关系？根据学生已有的知识学生会比较容易想到平行线。然后由学生来尝试不同解法并展示：

　解法一：过点D作DG∥FC交AB于G. （构造两个“A”型图）

　∴，

　∵AD为BC边上的中线

　∴BD=DC

　∴BG=GF

　∴

　∴AE: ED=2AF：FB

　解法二：过点D作DH∥AB交FC于H. （构造一个“A”型图和一个“X”型图）

　∴,

　∴HD=

　∴AE: ED=2AF：FB

　此时教师启发学生还有没有其他的辅助线的添加方法，已知条件中的相等线段变成了中点，利用中点又可以得到那些结论？利用中点可以构造全等三角形，利用全等可以得什么结论？可不可以在三角形的外部来添加平行线？比如过A点作平行线可以作平行线吗？学生尝试添加辅助线，发现过A点可以做两条平行线分别构造了两个“X”型图和两个“A”型图，通过两个基本图形的等量代换就能证明结论。

　解法三：过点A作AG∥BC交CF延长线于点G. （构造两个“X”型图）

　∴，

　∵ D为BC中点

　∴BC=2BD=2CD

　∴

　∴

　解法四：过点A作AH∥FC交BC延长线于点H.（构造两个“A”型图）

　∴，

　∵ D为BC中点

　∴BC=2BD=2CD

　∴

　∴

　此时学生的思维活动达到最高峰，创新的欲望会促使学生再去尝试过B、C、E、F分别去作平行线：

　过B点作平行线

　过C点作平行线

　过E点作平行线

　过F点作平行线

　 学生通过观察、思考和解答发现，过E和F点做平行线不能有效的利用已知条件进行等量代换，不能顺利解答。此时为学生思维活动的另一临界点，学生迷惑于过每个点都可以做平行线，解法很多为什么有些点可以解答有些点却不能解答呢？教师要引导学生去观察并总结多种解法的共性，从而总结出解题的方法和辅助线的添加原则。

　三、善于总结解题规律，透析问题的实质。

　 通过一题多解，可以有效地发展学生的思维能力，通过对多种解法的对比有利于学生找到多种解法的共性，以便学生更好地了解题目的本质，掌握解题的关键和原则。所以教师在教学的过程中还要注重总结解题的方法和原则，总结的过程是学生所学知识的内化过程，是在学生原有基础上的一个升华，只有掌握了问题的本质学生才能做到以不变应万变。

　（一）一题多解，多题归一。

　 通过问题1和问题2的解决让学生通过观察对比多种解法，找出多种解法的共性，分析并总结出证明等积式的通法，使多种解法最终呈现出一个通法；通过问题2中过E和F两点的反例启发学生总结出辅助线的添加原则和一般的技巧。

　解题方法：

　（1）先把等积式化成比例式，然后找相似三角形。

　（2）没有相似三角形，则需添加平行线构造相似三角形。

　 辅助线添加的原则和技巧：

　等积式中的线段都是基本图形中的比例线段。

　构造平行线后，BD和CE 能作为基本图形中的比例线段。

　一般情况下构造比例式中在同一直线上的两条线段的比。

　（二）变中找同，同中求异。

　在解相似三角形问题时，要关注相似三角形的基本图形，相似三角形的基本图形除了“A”和“X”型外，还有双垂直图形。学生除了能利用已知条件合理选择添加平行线外，还要善于将复杂图形进行分解，分解出相似的基本图形去求解，从而简化解题过程。比如下面一道例题：

　 问题3 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F， OE⊥OB交AD边于点E．

　（1）求证： △ABF ～△COE；

　（2）当O为AC边中点， 时，如图2，求 的值；

　第一问学生利用相似三角形的判定较容易证明，第二问的难度较大，首先图形本身比较复杂，再加上它并非象前两道题目那样直接给出所要求证的等积式或比例式，而是需要学生通过猜想以后再去证明。

　首先由第一问的结论可以提示学生从相似的角度去考虑问题，让学生观察图形并找出图形中相似的基本图形，逐步引导学生去分析和猜想已知与所求之间可能存在的关系。即将问题转化为证明比例式的问题。通过对图形的分析，从复杂图形中分解出双垂直的基本图形，化繁为简，把问题转化为前面的添加平行线构造相似基本图形的问题。

　根据前面学生总结的辅助线添加方法和原则学生有以下解法：

　在转化思想应用的过程中，教师应侧重于引导学生去观察两者的差异性，把难点放在如何消除差异上，同时还应关注特性，本题的特点是本身就存在相似的基本图形双垂直图形，在此图形中除了平行线可以构造相似三角形外，通过作垂线构造相等角也能出现相似三角形，从而得出适合于本题的特解。

　问题4 AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB边上，记为点P.

　(1)如图（1），当点P是AB的中点时，求证：

　(2)如图（2），当点P不是AB的中点时，结论 是否成立？若成立，请给出证明。

　此题是问题3特解的变形，即通过构造相等的角来构造相似三角形，若学生按通法做平行线的方法很难得到结论，从图形中两个互余角入手构造双垂直图形的变式，问题解决起来比较简单，所以在解题教学过程中除了要注重总结解题规律找到解决此类问题的通性通法以外，更要关注差异，找到适合于具体题目的特法，这样才有助于学生掌握问题的实质，而不是遇到问题后简单的套公式或方法。

　辅助线作法如下：

　四、关注学生差异，发展学生思维能力

　现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。

　添加辅助线解决相关问题，是学生学习中的一个难点，也是对学生创新思维培养的一个关键点。教师分析和研究它的形成过程，就可以很好的引导学生掌握它的通性通法，同时又可以在多种添加方式的基础上渗透了转化的数学思想，培养了学生思维的灵活性和创新性。

　兼顾差异，在例题和问题的设置上要有梯度。

　由于不同的辅助线添加方法带来解题的难易程度不同，关注学生差异，让基础比较薄弱的学生只需掌握三角形内部辅助线的添加方法，而对于基础较好的同学则需掌握通性通法，这样有助于发展学生的思维能力。问题1和问题2在问题设置上教师兼顾各类学生，考虑学生的实际情况进行实时恰当的引导；问题3和问题4则设计两小问，通过第一问给学生以方法的引导或提示，降低题目本身的难度，还有通过分离复杂图形化难为易。

　善于调动学生内在的思维能力。

　1.教师精心设计学生活动，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，指导学生运用已学的数学知识和方法来解决实际问题。

　2.分散难点，让学生乐于思维。对于较难的问题或教学内容，教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思维鼓励创新，让学生独立思维。

　3.鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质；鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展。

　三角形辅助线的添加方式它的价值已远远超过了知识本身，对学生综合能力的培养意义深远，学生在体验的过程中可以完善自己的思维品质。让我们一起共同研究，在思维的共享中提高我们的解题技巧和能力的教学，使我们的工作充满创新和研究的意识，同时变得更有成效。

　展望：

　通过辅助线添加方法和技巧的教学研究，尤其对相似三角形中辅助线的添加方法和技巧的研究，试图找到一个点，过该点作平行线一定能解决问题。很遗憾我没有找到这个点，由于每个题目的已知条件和结论都在发生变化，那么理想的点的位置也在发生变化，希望在今后的教学研究中能有新的突破。

　参考文献

　1.王雁.普通心理学 .95页.人民教育出版社.2003

　2.欧阳维诚.初中数学解题方法研究 .80-83 .湖南教育出版社 2005

　3.袁晓东.浅谈几何辅助线.北京师范大学出版社.2006年．

　4.严济慈．几何证题法．高等教育出版社.2007年．

　5.刘海玉.初中数学解题教学要着眼于通性通法.中学数学教学参考.2010.10.30