初中数学变式教学实践[1]

　 初中数学变式教学的实践研究

　本课题的研究起源可追溯到笔者在高中求学时。当时，笔者最喜欢的功课就是数学，我们的数学老师在课堂上的常用语是“比如说……”。她在讲完一道题后，往往能再比如说出许多与之同类的数学考题，以提醒我们能触类旁通，举一反三，这样的数学教学方式使我们茅塞顿开，恍然大悟，学习效益大增。90年大学毕业后，笔者被分配进宁海县城关中学，初出茅庐，教书育人只凭一腔热情，大搞题海战术，尽管学生中考数学成绩名列前茅，但师生俱累得心神俱疲。从92年开始一直到2000年，笔者一直担任初三数学教师，并担任校数学竞赛总教练。八年来，笔者做了几乎能收集到的全国各地中考题和竞赛题，慢慢发现并总结出一些规律脉络。许多数学考题尽管历年都在不断变化发展，但无论怎样改革，都离不开历史数学题的继承.数学基础知识、基本技能、思想方法总是不变的，即“万变不离其宗”，只是在题目的立意、创设的情景、设问的角度中力求新颖和鲜活的变化.

　目前在教学一线的部分教师工作勤勤恳恳，一直以“熟能生巧”来鞭策自己，但事实给我们以极大的反差：许多我们认为让学生练熟的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的学生就无所适从。许多实例也表明，大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣，这正是“题海战术”的最大弊端。许多教师曾意识到此类问题，因此在课堂教学中频频提醒学生解题学习要触类旁通，懂一题会解一片。但究竟如何对数学问题进行举一反三，深入挖掘，充分演变，教师自己也很困惑。

　2002年，宁海县教育局组织了第八届县教坛新秀评比，笔者作为主要评委之一，参与了笔试部分的命题工作，其中有一教学设计题，选自初一教材“在直线t同侧有两点A、B，在直线t上找一点P，PA+PB最小，请你设计一教学方案，如何将此题向初三学生进行讲解，分析问题的引申、拓展与演变。”参与评比的青年教师均有较强的解题能力，但此题的得分较低，绝大部分教师无所适从，只能就题论题。这正反应出我们教师对数学知识的处理。比较单一，没能将问题进行引申和一般化，不能演变，不能在各种不同的情况下，识别出数学问题的本质，从而不能使学生在参与中展示知识发展的过程，不能将所学知识归纳入自己的知识系统，获得更深刻、更广阔的理解。

　2007年参加了省教育厅安排的“名师送教”活动，在台州玉环给全市数学教师主讲了《在美丽的变式中领略数学的魅力》学术报告，引起了全体教师的浓厚兴趣。2008年受宁波市数学教研员沃苏青老师推荐，在市新华书店报告厅主讲了变式教学教案《从二点间距离谈起》的报告，引起了与会者的强烈反响，受到了一致好评。同时，课题在笔者名师带徒活动中也进行了长达四年的研究和实施，已取得了良好的实际教学效果。

　本课题的研究与实践较以往的“变式教学研究”有更实在明显的教学效益。以往的变式教学更多地在理论上列举了一题多变、举一反三的教学与学习的优势，更多地立足于宏观教学理论上的探讨。本课题则立足于具体的教师课堂教学和学生解题训练的实际，具体研究了数学问题是如何演变和如何深入的途径，注重于数学问题演变的技术手段（1、图形内部结构的变式探究2、几何图形形状的变式探究3、对原题型的条件或结论的变式探究4、原题数量关系的变式探究5、因某一知识迁移的变式探究6、增加试题层次的变式探究7、转化设问方向的变式探究8、纵横交错、信息互换的变式探究）。

　2004年，我根据自己对数学变式教学的理解，写过两篇论文——《三角形相似判定定理（1）的教学实录》、《习题演变的常见策略》。文章得到了中国教育学会中学数学教学专业委员会的肯定，文章均在《中学数学教育》发表。特别是提供可供教师课堂教学与学生解题训练所用的经典变式问题。《数学变式百例精讲》是国内教学类书籍选题的首创（宁波出版社选题审题调研结论）。因此，本课题的研究成果具有更强的模仿性、可操作性、推广性。

　随着科技、信息的高速发展，迫切要求中学数学教学不应仅局限于知识的传授，更应教会学生会学数学、会用数学，培养学生善于创新的精神。为此，探索并采用有效的教学策略和教学方法，形成实用高效的课堂教学模式，已成为中学数学教学研究和改革的重要内容。但是，长期以来，受“应试教育”的影响，“掐头去尾烧中段”的“题海战术”不仅严重困扰着中学数学教学，而且已成为导致学生厌学，扼制学生学习主动性、针对性和探索创新精神的主要根源。如何解决这个问题？变式教学及其模式，也许是达到这一目的的一个有效途径。这种方法不但可应用于课堂教学，而且在数学课外活动中也具有更为广泛的价值，更是当前大力倡导的开展研究性学习的重要途径。变式教学以现代教育理论为指导，以精心设计问题、引导探索发现、展现形成过程、注重知识建构、摒弃题海战术、提高应变能力、优化思维品质、培养创新精神为基本要求，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，遵循目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新等教学原则，深入挖掘教材中蕴涵的变式创新因素，努力培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。

　1．皮亚杰的认知发展理论认为，学习是一种能动的建构过程。学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中伴随着同化和顺应的认知结构不断再建构的过程，是在新水平上对原有认知结构进修延伸、改组而形成的新系统。学生只有通过积极自觉的认知活动，来激活大脑中的原有认知结构，使具有逻辑意义的新知识与认知结构中的旧知识发生相互作用（同化与顺应），才能实现内化中的再建构。

　2．建构主义的数学教学观认为，学习是学习者主动的建构活动，而不是对知识的被动接受。真正的数学教学应具有如下几个特征：（1）在学习目标方面，表现为对知识的深层次的理解；（2）在学习过程方面，表现为高水平的思维；（3）在学习的情境方面，表现为师生、生生之间的充分沟通、合作。教师应成为学习活动的促进者，在肯定学生主体地位的前提下，教师又应在教学活动中起主导作用。教师需要就学习内容设计出有思考价值的、符合学生认知发展水平的、具有挑战性的问题，创设平等、自由、相互接纳的学习氛围，充分开展师生、生生之间的交流与合作学习，引导学生通过持续的概括、分析、讨论、探索、假设、检验等高水平的思维活动，建构对知识的理解。

　3．波利亚的数学教育思想源于两个基本观点：（1）数学具有二重性，即数学既有演绎科学，又是归纳科学。（2）人类的后代学习数学与人类的祖先认识数学的历史是相似的。据此，波利亚创立了“数学教与学的三条原则”和“数学解题理论”。波利亚认为：学习任何东西的最好途径是自己去发现，为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己去发现要学习的材料（主动学习原则）；学习材料的生动性和趣味性是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的愉快是这种活动的最好报偿，所有最佳学习动机是“学生应当对所学习的材料感兴趣，并且在学习活动中找到乐趣”（最佳动机原则）；学生必须学习有序，教师教学要有层次（阶段渐进原则）。

　随着新一轮课程改革的启动、新《数学课程标准》的颁布，新的教育理念也必将贯穿于教学实践，其中数学探究活动已成为贯穿整个初中数学课程始终的重要内容．数学探究活动能促进学生将原有知识和新知识有效地组合和沟通，使学生获得深切的感受与体验．数学变式的研究能帮助学生养成良好的质疑、多思的学习习惯，提高类比推理的思维能力，点燃创新思维的火花．而“变式教学”和“变式训练”，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通关节，建构有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔．用继承和发展的观点进行反思牞我们传统的教学确实存在着缺乏培养创新精神和探究能力的现象．现在，我国在校学生中不乏解题高手，我国选手历年参加国际奥林匹克数学竞赛，都取得了优异成绩，但在创造性地提出新问题、建立新理论方面都落后于国际平均水平．美籍华裔学者蔡金法先生曾对中美学生的数学能力做过一次调查．在第九届世界数学大会上，他介绍了自己的调研结果：中国学生的计算能力和解决简单问题的能力方面，比美国学生好；在比较复杂、过程或结论具有开放性的数学问题和创造性地提出问题方面，美国学生的平均成绩比中国学生好．在实际课堂教学中也是如此，在课上、课下敢于提出和能够提出较新的、有一定深度和广度的数学问题的学生寥寥无几．所以我国传统的教学方式较难培养学生潜在的创新意识与创新能力，学生大多只停留在解决理解前人留下的东西，解决前人留下的疑问，即为解题，从未想过“越雷池一步”，缺乏因旧问题的解决而激发新问题产生的能力，即问题的演变。其实，一种新的教学理论，只靠严谨的逻辑演绎是无法推导的，必须加上生动的思维再创造。数学理论发展的历史证明，人们的直觉和“灵光一闪”的顿悟，往往已经得出了整个新理论的百分之七十，剩下的百分之三十则是逻辑与验证。数学史上冠以某数学家名字的猜想、定理、法则，往往并无逻辑证明，逻辑推演是今人补做的，但人们仍把功劳归于提出新问题的首创者，英国富豪出百万美元悬赏“哥德巴赫猜想”的验证，仅仅是在已构造的理论大厦上添砖加瓦。

　（一）概念间界定变式教学是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变式形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式有多种形式，如“形式变式”、“内容变式”、“方法变式”等。变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径。变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。通过变式方式进行技能与思维的训练叫做变式训练；采用变式方式进行教学叫做变式教学。变式教学要求在课堂上通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程，因此，变式教学有利于培养学生探究问题的能力，是“三”基教学、思维训练和创新能力培养的重要途径

　（二）研究目标

　1、通过变式教学，解决如何优化学生教学思维素质的问题。

　2、通过变式教学，解决如何使学生贯通教学思想到问题。

　3、通过变式教学，解决如何培养学生学习兴趣，提高教学效益，真正达到“轻负高质”的问题。

　（三）研究的思路

　笔者从1998年就开始了对本课题的研究与实际开展工作，并且已经积累了丰富的教学经验和相应的教学理论素养。

　从2003年起在县教育局名师带徒中所带动徒弟中进行实践教学试点实验，先给徒弟们灌输变式教学的理论，传授笔者在实际中所积累的经验，并提供相应的教学资料，引导徒弟中积极开展变式教学课题的实施。从而在桃源中学数学组全面展开本课题的实施工作，边实践、边摸索，边总结，以期达到预期的研究目标。

　（四）研究的步骤

　1、研究的方法：

　⑴不同学校实验学生成绩对比分析法。

　⑵同校平行班成绩对比分析法。

　⑶个体调查法。

　2、研究的步骤：

　⑴准备阶段：1996年9月—1998年11月，查阅与之相关的资料，学习有关理论，确定研究方向，制订研究计划。

　⑵研究阶段：第一期1998年12月～2003年笔者执行研究计划。

　第二期2003年～2008年，桃源中学、西店中学、城关中学、跃龙中学各设两班试点执行研究计划。

　⑶总结阶段：2006年8月—2008年10月。分析积累的数据和资料，总结提炼完成课题，撰写报告。

　（一）、培养数学问题演变能力的策略

　著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”教师教授数学问题时，培养学生思考问题、解决问题的目的是培养探索解决问题途径的能力，探索新事物的学习精神，提出更一般的、更广阔的、更深刻的新问题和建立新理论。那么如何培养学生针对旧问题而提出新问题（问题演变）的能力？

　1、夯实基础，沟通联系

　数学基础知识，基本概念（定义、定理、性质、公式、法则）是解决数学问题，产生新问题的起点。从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程和来龙去脉，从学生认知的最近发展区来设计问题，不是将公式简单地告诉学生，而是通过设计开放性问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得结论进行论证。

　案例1.求证：顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

　变式1、求证：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形。

　变式2、求证：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形。

　变式3、求证：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形。

　变式4、顺次连结什么四边形中点得到平行四边形。

　变式5、顺次连结什么四边形中点得到矩形。

　变式6、顺次连结什么四边形中点得到菱形等。

　通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大拓展了学生解题思路，活跃思维，激发兴趣。

　案例2、圆台侧面积公式为π（R+r）l，当r=0时，即圆台体变形为圆锥体，即圆锥体侧面积公式为πRl；当R=r时，圆台体变形为圆柱体，圆柱体侧面积公式为2πRl。这样，我们用整体的观点，站在更高的层次上，分析与研究知识之间的纵横关系、因果关系、演变关系，沟通不同知识间的内在联系，以知识为经，方法为纬，编织一个“知识网”，为进行数学问题演变奠定坚实的知识基础。

　2 、推陈出新，发展思维

　丰富而扎实的基础知识是形成创新意识的前提，无“知”必无“能”，有“知”未必有“能”，要想知识和能力同步协调发展，教学中既要使学生掌握知识，更要使学生把握知识的产生“过程”，并从中吸取丰富的智力营养，尽力让学生体会到蕴藏在数学问题中的“生命”价值。具体在数学活动中，它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多层次、全方位去思考问题，寻求答案的优良思维品质，其基本特征是：流畅性——能在短时间内表达较多的概念，反应迅速；变通性——思维方向灵活多样举一反三，触类旁通，能提出超常的构想或新观点；独创性——对事物的处理或判断表现出独特的见解，推陈出新。

　3、掌握规律，建立技能

　 数学问题的演变是以基础问题为基本，并且要与学生的思维水平相适应，对学生的思维素质要求较高，但仍有一定的方法技巧可循，如何引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，通过正确的思维方式，把碰到的数学问题，转化为熟悉的或容易解决的数学问题，变中求解，解中求变，以下流程图是可行的：

　4、数学问题变式设计应注意的问题

　前面，我们举例说明了数学问题变式的方法，但应当指出，问题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式。其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用—理解—形成技能—培养能力”的认知过程。因此，数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的“度”。一般地，设计数学变式，应注意以下几个问题：

　1、差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异。对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。

　2、层次性。所谓的问题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。

　3、开阔性。一幅好画，境界开阔，就会令人回味无穷。同样，设计数学问题变式，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实。因此，所选范例必须具有典型性：一要注意知识的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性、深刻性。

　4、灵活性。根据教学内容和学生的实际情况，数学问题变式训练的方式要灵活多样，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。同时，根据数学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。

　1、概念课教学模式

　(1)、模式框架(2)、模式说明

　变式教学概念课的教学模式，是一个以学生为中心，以学生自主创新学习为基础，以学生创新精神和创新素质的全面发展为目标的教学过程。具体操作程序为：“问题情境→探究新知→形成概念→变式深化→变式训练→总结升华”六个环节。应当指出，上述六个环节可根据具体情况有所删减。

　1、问题情境

　新知来源于问题，所以创设问题情境应从概念的来源入手。根据概念的来源，概念大致可分为两类：一类是来源于生活、生产、科研等实际，也就是根据实际问题抽象出来的概念；一类是由已知概念得到的新概念。

　在“问题情境”环节中，教师活动主要体现在：根据概念类型、设计概念引入变式，将概念还原到客观实际(如实例、模型或已有经验、题组等)提出问题，为学生创设生动形象的教学情境，激发学生自主学习的内驱力。所提问题要适当，既要符合教学大纲和教材的要求，又要符合学生的“最近发展区”。学生活动主要表现在：激发自主创新学习的情感，积极进行发现性学习。学生在教师创设的特定情境中，从实践经验和原认知结构中提取与新知相关的旧知，发现新知、旧知间的联系。

　2、探究新知

　这是根据教师创设的问题情境，学生自主创新学习的过程。它包括学生个体自主探究、小组相互讨论、集体相互讨论、师生相互释疑等自主创新的方式。

　在“探究新知”环节中，教师活动体现在：(1)教师的主导性。当学生在自主探索过程中遇到困难时，教师应适当启发点拨，指导学生明确探究方向，充分挖掘学生自主创新的潜力。教师要创造性地引导学生“探究”，鼓励学生“质疑”，激励学生“超越”，调动学生“选择不，以促进学生创造思维的发展，并形成教师与学生相互协作的新型师生关系。(2)创设自主学习的氛围。在学生自主学习、小组讨论、集体交流的过程中，教师既要了解学生所掌握的知识，又要观察学生的心理变化，创设平等、和谐、民主、宽松、愉快的学习氛围，让学生大胆质疑，勇于求异，敢于争辩。学生活动体现在：(1)学生自主创新学习。展示学生寻找结论的过程，展示思维过程、探索过程的独特性、层次性和创造性。(2)个体自主探究。(3)小组相互探讨。(4)集体相互交流。

　3、形成概念

　这是在学生充分探究、讨论的基础上，学生自主归纳、概括、抽象形成概念的过程。在这一环节中，教师活动体现在：对学生实施积极的和适度的鼓励性评价。对抽象概念过程中出现差错的学生，要以宽容、谅解、和蔼的态度对待，允许再“想一想”，使学生获得成功的情感体验。学生活动体现在：(1)学生积极参与的状态。学生在课堂上热情饱满，注意力集中，与老师和谐互动、双向交流。(2)学生参与的广度。人人参与，自由发表意见，充分体会成就感。(3)自我评价与相互评价。

　4、变式深化

　在形成概念后，不应急于应用概念去解决问题，而应对概念作进一步的探讨，通过辨析变式和等价深化变式，使学生对概念有更加深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。

　在变式深化环节中，教师活动体现在：(1)设计概念辨析变式题组，引导学生讨论、探究。(2)设计概念等价深化变式，引导学生探索、发现。可采用诱导、点拨、适度评价等方法。学生活动体现在：(1)积极调动原有知识，与新学概念进行比较、分析，逐步形成新的知识结构与知识系统。(2)根据教师的引导，积极探索、发现新知。通过自主思考、小组讨论等形式，对概念进行更深层次上的认识和把握。

　5、变式训练

　根据学习目标和学生交流中所反馈的信息，教师精心选编题目，并通过变式得到一组变式训练题组，让学生在解答、变式、探索中，深化对概念的理解，促进认知结构的内化过程。在变式训练环节中，教师活动表现在：根据知识之间的综合联系设计有针对性的问题，鼓励学生探求变式、求异求新，拓宽学生的知识视野，促进其创造性思维品质的形成。学生活动表现在：(1)自我探索。针对训练题目，在多方位探求解法的基础上，通过探索题目变式及对变式问题的解决，理解新概念。(2)公开表述。通过小组讨论，集体交流，将个人学习成果贡献给大家，同时分享集体学习的成果，从中体验成功的快感，形成自主创新学习的动力。

　6、总结升华

　在完成上述各环节后，对课堂教学内容及方法作适当的总结，使学生对所学概念、方法的认识得以升华。一是建立新知识的内在联系，并纳入原有知识新系统，形成知识结构，实现内化过程中的再建构；二是对研究问题的方法进行回顾、反思，使学生逐步掌握自主创新学习的方式方法，培养科学、严谨的研究态度，从而全面完成教学目标，逐步形成创新能力。

　（1）、模式框架（2）、模式说明

　定理(公式)课教学模式的操作程序为：“问题情境→探究猜想→验证论证→获得定理→变式深化→变式训练→总结升华”。应当指出，上述七个环节可根据具体情况所有删减。

　1、问题情境

　与概念教学类似，在教授一个新的定理(公式)时，将其还原到客观实际之中，通过一些学生熟知的现实现象抽象、移植定理、公式的本质属性，或者通过题目变式，使学生在原有认知结构的基础上，循序渐进，促进旧知迁移形成新知。

　在问题情境这一环节中，教师的活动表现在：根据定理、公式特点，设计定理、公式的形成变式，为学生创设探索、猜想的学习环境。学生的活动体现在：激发自主创新学习的情感，积极进行发现性学习。

　2、探究猜想

　这是根据教师创设的问题情境，学生自主创新学习的过程。在这一过程中，教师活动主要体现在：(1)启发诱导。当学生在探究、发现、猜想过程中产生思维障碍时，教师要及时给予点拨、引导，为学生指明探究方向。(2)创设自主学习的氛围。引导学生敢于探索，大胆猜测，形成猜想。学生活动体现在：(1)从实践经验和原有知识结构中提取相关知识，主动进行个体自主探究，探求新知。(2)相互探讨和交流。(3)大胆猜测，形成猜想。

　3、验证论证

　猜想得到的结论不一定是可靠的，学生对它半信半疑。为了提高“猜想”的可信度，可以通过实验或演示等方法验证“猜想”，从而增强学生对新知的感性认识和进一步探索问题的积极性。在验证的基础上，再引导学生给出探索猜想所得结论的理论证明。

　在验证论证环节中，教师的活动体现在：(1)点拨验证的方法(如数学作图、数据验算、理化实验、教具或实物演示等)。(2)点拨论证的方法。启发诱导学生对“猜想”实施证法变式，鼓励学生求新求异。(3)适时作鼓励性评价。学生的活动体现在：(1)动脑动手，自主实验，验证猜想。(2)自主探究“猜想”的条件与讨论。(3)自主探索“猜想”的论证方法，给出完整的理论证明。(4)相互交流，共享成果。

　4、获得定理

　给出“猜想”的严格理论证明后，学生从感性认识上升为理性认识，已完成了一个认知过程。

　在获得定理环节中，教师的活动体现在：给予学生鼓励性评价，唤起其继续探究的信心。学生活动体现在：(1)锤炼定理表述。(2)对定理、公式主动识记。

　5、变式深化

　获得定理、公式后，不是急于应用定理、公式解决问题，而是对定理、公式作进一步探讨，通过语言变式、变形变式、逆向变式和推广变式，使学生对定理、公式有一个全方位的了角。

　在变式深化环节中，教师活动体现在：(1)引导学生对定理、公式进行语言变式。(2)设计定理、公式变形变式、逆向变式、推广变式，引导学生探索、发现。学生活动体现在：(1)对定理、公式作语言变式，进行文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言的转换。(2)主动探索定理、公式的变化形式和推广形式，对定理、公式有更加深入、全面的理解。

　6、变式训练

　根据学习目标和学生交流中所反馈的信息，教师精心选编题目，并通过变式得到变式训练题组，让学生在解答、变式、探索及题目编制过程中，深化对定理、公式的理解和运用，促进认知结构的内化过程。

　在变式训练环节中，教师活动体现在：(1)设计针对性强又能进行变式探索的题目。题目设计要注意定理、公式的正用、逆用和变式应用。(2)引导学生解答题目并进行题目变式。(3)引导学生应用定理、公式及其变式进行“编题”训练。(4)适时进行定理、公式的应用要点和技巧的点拨和鼓励性评价。学生活动体现在：(1)灵活应用定理、公式及其变式解决问题，注重探求多解。(2)主动探索题目变式，得到变式题组，扩大解题成果。(3)主动参与编题，进行创新活动，探索问题的源头。(4)在解决问题的过程中，注意总结定理、公式的应用要点和技巧。

　7、总结升华(参见概念课本环节说明)

　（1）模式框架(2)、模式说明

　例题(习题)课的教学程序为：“精选范例→解法变式→方法应用→题目变式→问题解决→总结升华”。应当指出，上述六个环节可根据具体情况有所删减。

　1、精选范例

　范例的来源可以是课本中的例题或习题，也可以是其它的题目，如选自辅导资料的题目或历年高考、中考题等。选取的范例应具有“四性”：针对性、基础性、灵活性和可变性。即对所学知识的训练有针对性；能用基本知识、基本方法加以解决；解法灵活多变；可以进行题目变式，联题成片。

　在精选范例环节中，教师活动体现在：选择符合上述要求的题目，为学生创设优良的探索氛围。学生活动体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式和主动探索、尝试发现作好情感准备。

　2、解法变式

　通过对范例实施解法变式，追求一题多解，解法优化，培养学生思维的广阔性和灵活性。

　在解法变式环节中，教师活动体现在：(1)引导点拨。当学生探索解法遇到困难时，及时给予启发、诱导、点拨。(2)评价鼓励。对学生探索得到的求解思路或方法，给予及时的鼓励性评价，以增强学生的探索信心和精神，激发探索欲。学生活动体现在：(1)自主探索解法，求得问题解决。(2)求新求异，多角度思考问题，多渠道寻求解决问题的方法。(3)相互交流，相互启发，扩大探索成果。(4)自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能。

　3、方法应用总结范例的解题规律、方法，并把它运用到其它题目的解决过程，使解题方法得到迁移，形成技能技巧。

　在方法应用环节中，教师活动体现在：(1)设计方法训练变式题组或引导学生通过对范例的变式而得到方法训练题组。(2)引导学生运用解决范例的方法解答变式训练题组，并对学生给予引导和点拨。学生活动体现在：自主解答变式训练题组，使方法得以迁移，形成技能技巧，提高解题能力。

　4、题目变式

　通过师生对范例的共同探索(包括变化条件、探求讨论、等价变化、逆向探索、图形变化、推广拓广等)，获得题目的一类或几类变式，从而培养、锻炼学生的探索创新能力。

　在探索变式环节中，教师活动体现在：(1)诱导启发，激发学生的探索创新个欲望。(2)适时引导、点拨，指引学生的探索方向。(3)及时评价，鼓励学生的探索精神和继续探索的勇气。学生活动体现在：(1)在教师的引导下，独立探索，挖掘题目变式。(2)小组相互探讨，通过相互交流，相互启发，点燃创新思维的火花。(3)人人参与，自由发言，充分体会成功感。

　5、问题解决

　对范例变式得到的数学问题，难易程度不同，应采取灵活多样的解决方式，如课上详解、略解，课下练习、书面作业，课下思考讨论等。

　在问题解决环节中，教师活动体现在：(1)对变式题的分类处理，确定哪些题目课上解决，哪些题目课下思考。(2)引导点拨，适时启发。引导学生的解题方向，点拨可面向全体，也可面向个体，注意因材施教。(3)适时作鼓励性评价。学生活动体现在：(1)自主探索，按教师要求，探求规定题目的求解策略与方法。(2)相互探讨，对不能自主解决的问题，同学之间、师生之间相互探讨。(3)注意解题规律、方法的积累与总结。

　6、总结升华

　师生共同完成总结。一是对解题方法、规律的总结升华，对课堂上所用知识、方法加以梳理、概括，纳入知识方法体系；二是对研究问题的方法加以总结，使学生掌握探究学习的方式方法。并逐步使之成为学生的自觉行为。

　1、模式框架2、模式说明

　复习课的教学程序是：“知识归析→精选范例→解法探究→探索变式→问题解决→总结升华”。应当指出，在一节复习课中，可以完成一个循环，也可以完成多个循环。对每一个循环，可以是完整的，也可以减少某些环节，这要根据具体情况，根据所选范例的特点而定。

　1、知识归析

　复习课的一个重要任务就是与学生一起回顾本专题的知识内容，使学生重温知识的内在联系，建立知识结构，为创新学习打下坚实的知识基础。

　在知识归析环节中，教师活动体现在：(1)设计针对性、启发性强的问题，激发学生回顾旧知识的兴趣。(2)引导学生建立知识结构。学生活动体现在：主动参与，积极回顾、探究所学知识的内在本质联系，建立明晰、稳固的知识体系，使所学知识在回顾与反思中得到进一步升华。

　2、精选范例

　复习课所选的范例应具有针对性(针对复习专题的内容和学生的实际情况而选，起点要低，要面向全体学生)、典型性(为巩固“三基”而选，对某个知识点、某种方法、某种思想的训练有代表性，能起到以点代面的作用)、灵活性(解法多样、题型易变、易于实施变式教学)、综合性(体现 所复习专题的知识、方法在本学科及其它学科中的应用)、层次性(即范例的选排、变式题的探索要有层次性，如由基础到技巧、由简单到复杂、由单一到综合等)。

　在精选范例环节中，教师活动体现在：选择符合上述要求的题目，为学生创设广阔的探索空间。学生活动体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式作好情感准备。

　3、解法探究

　具体操作请参考例题(习题)课教学模式说明2——“解法变式”。

　4、探索变式

　这里所说的“变式”，与前面例题课教学模式中所谈的“变式”相比，其特点是“新、深、广”，即变式题目新，知识渗透深，方法应用广。

　在探索变式环节中，教师活动体现在：(1)诱导启发，创设情境，激发学生的探索、创新欲望。(2)适时引导、点拨，指引学生的探索方向(如引导学生进行条件变式、结论变式、图形变式、等价变式、逆向变式、拓广变式等)。(3)及时评价，鼓励学生的探索精神和继续探索的勇气。学生活动体现在：通过独立探索、小组讨论、集体交流等方式，全员参与、积极思维，最大限度地探索题目的各种变式。

　5、问题解决

　具体操作请参考例题(习题)教学模式说明5——“问题解决”。

　6、总结升华

　具体操作请参考例题(习题)教学模式说明6——“总结升华”。

　1、模式框架2、模式说明

　讲评课是指在进行了单元考查、阶段考查或期末考查之后，对试卷进行评析的课型。数学讲评课的教学程序是：“总体评价——归类评析——变式训练——回顾全卷——总结升华”。

　1、总体评价

　总体评价包括对试题难度、信度、区分度的简要评价；对学生成绩(包括优秀人数、良好人数、及格人数等)的简要分析；对出错较多的题目、题型、知识点等“错点”的简要分析。通过这些分析，使学生了解自己的答题情况，正确评价自己的成绩，把握课堂学习重点。

　在总体评价环节中，教师活动体现在：(1)根据统计结果，通报试题的整体难度、信度、区分度，可能的情况下，可对重点题目或全部题目的难度、区分度予以通报。(2)分段通报学生成绩并与平行班级作简单比较。(3)点明出错较多的题目和知识点。学生活动体现在：(1)根据教师的分析正确评价自己的成绩。(2)找准自己的薄弱环节，把握课堂学习重点。

　2、归类评析

　归类评析又包括典型错例评析、同类题目归类(多题一解)评析、典型方法评析、重点知识评析等。在一份试卷的讲评中，可根据学生答题情况，有所侧重的选择1—2项重点评析。

　(1)错例评析

　选择典型的、有针对性的、能触类旁通且出错率较高的题目作范例，进行点拨、评析。在评析时，要注意引导学生深刻剖析出错的根源——是知识的欠缺，还是粗心大意？是方法有误还是缺乏毅力？是知识问题还是能力问题？在找到根源的基础上，引导学生探究正确的解题思路方法，进而培养学生严谨的学习态度和良好的学习习惯。

　·对于学生不会作而懂的题目，可以通过分析——讨论——试作——讲评四个环节完成。即教师先引导学生分析，然后交给学生讨论，在相互启发的基础上试作，最后教师讲评。

　·对于学生会作而错的题目，可以通过展示——找错——分析——解答四个环节完成。即由作错的学生展示错解，同学们帮助找出错点并进行错点分析，然后给出解答或简单变式后再练。

　·对于学生作错了而不知为什么错的题目，也可以通过展示——找错——分析——解答四个环节完成。但这里的“找错”与“分析”应在教师的协助下进行，解答可以在错解中进行补救或给出新的严密的解法。

　·对于学生会作而方法非优的题目，可以经过说法——验证——比较——提炼四个环节完成。即由解法不同的学生简单说明自己所用的解法，师生进行解法验证，比较各种解法的繁简，并从中选优，从而提炼出解决这一类题目的一般规律或方法。如某些选择题，不但可以用计算法，还可以用经验法、淘汰法、特殊值验证法等。

　在错例评析环节中，教师活动体现在：①选择典型范例；②引导分析错因；③点拨解题方法，引导学生给出范例的正确解答。学生活动体现在：①自主寻找错因；②积极参与，成果共享；③探求正确解题方法，完成范例解答。

　(2)同类题目归类评析

　一份试题，无论是从知识的角度分类，还是从方法的角度分类，总存在同类型的题目。在试卷讲评中，把这些同类型题目集中讲评，不仅可以加深学生对问题的理解，使之透过现象看本质，又可以举一反三，节约时间，收到事半功倍的效果。

　在同类题目归类评析环节中，教师活动体现在：①引导学生挖掘题目本质，按知识或方法寻求同类型题目；②引导学生确定同类型题目中的一个，深入探究，研深研细。学生活动体现在：①自主探索，将题目归类；②探求类题的优解，提高解题能力。

　(3)典型方法评析

　一份好的试题，必定用一定数量的题目考查一些主要的数学思想方法。对这些题目，不管学生是否作错，都应针对所考查的数学思想方法进行进一步的评析，以强化学生自觉运用数学思想方法解决数学问题的意识。

　在典型方法评析环节中，教师活动体现在：①引导学生提炼数学思想方法；②设计变式问题，强化数学思想方法的运用。学生活动体现在：自主参与，积极总结、提炼数学思想方法，并自觉用之解决有关问题。

　(4)重点知识评析

　重点知识重点考查是一份好试题的重要标志。在试卷讲评中，通过对有关题目的评析，引导学生进一步回顾、总结、归纳基础知识，深化知识体系，是讲评课的重要任务之一。

　在重点知识评析环节中，教师活动体现在：以题目带知识，引导学生反思。学生活动体现在：在教师的点拨下，自主回顾旧知，理清知识网络，重构知识体系。

　3、变式训练

　这里的变式是指对典型范例的变式，是针对学生出现的错误编拟的矫正练习、针对数学思想方法所设计的强化训练或一些典型范例的引申拓广。变式题既要照顾原题知识、方法的训练，又要有新意，能激发学生的解题积极性。通过对变式题的解答，使学生巩固知识，强化方法，训练能力。

　在变式训练环节中，教师活动体现在：①设计变式。可以由教师根据学生出现的错误而设计矫正练习，也可以引导学生对典型范例进行探索而得到拓广变式。②引导学生求解变式问题。学生活动体现在：在教师的指导、点拨下，设计、求解变式问题，矫正错误，建立准确无误的知识网络，形成明晰的数学思想方法，养成良好的思维和学习习惯。

　4、回顾全卷

　通过上述各环节的教学，学生试卷中反映的普遍问题得到解决，重点知识、重要思想方法得到强化。但因学生的个别差异，每个人存在的知识缺陷不同，解题中出现的错误也不尽相同。因此，必须留给学生一定的时间，让学生回顾试卷、改错、思考。同时，提供一些思考题让好学生思考、研究，体现分层教育、因材施教的原则。

　在回顾全卷环节中，教师活动体现在：个别辅导，答疑解惑，学生活动体现在：回顾全卷，改错、思考、讨论、解答，自主学习，查漏补缺。

　5、总结升华

　讲评课常采用激励小结法。即在讲评课中，教师以感情真挚、满怀期望和信心的语言，鼓励、教育学生，使学生养成在失败和挫折面前不灰心，在荣誉和胜利面前不骄傲的严谨的学习态度。对于成绩好的学生，教育他们胜不骄，继续努力，争取更好的成绩。对于成绩较差的学生，教育他们败不馁，帮助他们树立学习信心，找出差距及原因，并及时进行纠正。使学生感悟到老师的期望和信任，以较高的学习积极性、饱满的学习热情迎接后续知识的学习。

　（一）数学变式教学的实施，改变了学生对数学解题的恐惧心理，提升了学生对数学解题的浓厚兴趣，实现数学变式教学课题中提倡的“在无穷的变化中领略数学的魅力，在曼妙的演变中体会数学的快乐。”使学生心目中枯燥乏味的“死”数学演变成生机盈然的“活”数学。同时，经过学生自主学习的实践证明，通过对数学问题的变式，提供适当地知识铺垫，由于教师向学生展示了数学知识到发生，形成与发展的过程，使学生体验到知识是如何从已有知识中逐渐演变或发展而来的，从而真正理解知识到来龙去脉，形成一个知识网络，将这种有层次推进的变式用于概念形成、问题解决和构建活动经验系统，帮助学生自己融会贯通，构建起良好的知识结构，培养出解决问题的能力，又避免了反复的机械性训练，一言而撇之，而学生通过训练三十道习题，与其系列变式就可以就可以收到普通学生需做一百道习题的效果，真正达到了教育界说倡导的“高质轻负”，同时不让学生领略到数学的和谐，奇异与美妙，收到极好的学习效果，我们想用一系列的数据，来进一步说明数学变式教学对学生参加数学竞赛后数学成绩提高的巨大作用。其中全国数学竞赛一等奖获得者沈世民同学曾评论：在所有的数学辅导书中，最喜欢，最让人受益的是《数学变式百例精讲》。这本书让他明白了原料所有数学知识竞是如此紧密联系的，许多疑难问题均在一系列变式训练中得到了非常巧妙的解决。解决数学问题也会让人产生“三日绕梁不绝”的遐思，真是“题海无涯变为舟，书山有路乐为径”。

　二）数学变式教学的实施，极大提高了教师教学水平和解题视野，不必再沉浸于不断的“找题——解题——讲题”的题海战术，教师往往能充分开发利用课本例题，中考题、竞赛题，揭示其深刻性，领悟其奥妙性，并对其进行适当地剖析，深入研究，充分演变，以旧问题的解决来激活新问题的诞生，使教师能通过问题的表象看到问题的本质，并作进一步的思考，真正达到举一反三、触类旁通的教学效果。

　2004年，笔者根据自己对数学变式教学的理解，写了二篇论文——《相似三角形判定定理教学实录》《习题演变得常见策略》（见附件一、二），文章得到了中国教育学会中学数学教学专业委员会的肯定，均在《中学数学教育》杂志上发表。

　2006年，笔者积累了几十年的数学问题变式素材向宁波出版社投稿，宁波出版社选题审题小组经过调研，认为《数学变式百例精讲》是国内数学类书籍的首创，故而对其全额投资，于2006年6月正式出版（见附件三），并在06年7月31日在《宁波日报》“读书”专栏上作了专门介绍，题为《王伟的“数学变式教学”》（见附件四）。

　在宁海县教育局的组织下，笔者曾多次向全县数学老师作了专题报告，培训辅导了广大教师和学生，均受到良好反响，《宁海日报》曾对作者作了专访，《数学也可以愉快的学——记县名师王伟和他的“数学变式”教学》（见附件五），并于07年国庆节在宁海新华书店向广大市民作了《初三数学轻松学》讲座。2008年受宁波市数学教研员沃苏青老师推荐，在宁波市新华书店报告厅主讲了变式教学教例《从二点间距离谈起》的报告，引起了与会者的强烈反响，受到了一致好评

　2007年参加了省教育厅安排的“名师送教”活动，在台州玉环给全市数学教师主讲了《在美丽的变式中领略数学的魅力》学术报告（见附件），引起了全体教师的浓厚兴趣。

　在县教学设计评比中，课题组成员桃源中学汪君未的《立方根》获2007年度一等奖。桃源中学娄群姣的《应用问题解决》、童莹莹的《一次函数的应用》获2008年度一等奖（以上设计均以数学变式教学为主）。在县教学论文评比中，课题组成员共有3人次获县一等奖，6人次获县二等奖。

　2006年12月，课题组成员朱惠芳与笔者合作的论文《竞赛题的变式探究》在《初中数学教与学》杂志上发表（见附件七）。

　数学变式教学者宁海县初中数学教学中已有较大影响，在09年3月份县教研室组织的初三数学复习课评比中得到较好的验证，所参评的七位老师七节课，全部以数学变式教学为主线展开，课堂教学精彩纷呈，“变式教学”得到了教研室教研员、课题组顾问陈为研老师的高度评价。