小学奥数1-2-2-2,整数裂项．教师版

整数裂项 知识点拨 整数裂项基本公式 (1) (2) 例题精讲 【例 1】 =_________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。

设S＝ 1×2×3＝1×2×3 2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4…… 49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S＝49×50×51÷3＝41650 【答案】 【巩固】 ________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：
， 所以原式 另解：由于，所以 原式 采用此种方法也可以得到这一结论． 【答案】 【例 2】 =_________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S＝ 1×4×9＝1×4×7＋1×4×2 4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10 …………. 49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52 9S＝49×52×55＋1×4×2 S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572 【答案】 【例 3】 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ，所以， 原式 从中还可以看出， 【答案】 【例 4】 计算：
． 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 可以进行整数裂项． ， ， ， 所以原式 也可适用公式． 原式 而 ， ，所以原式． 【答案】 【巩固】 计算：
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 可进行整数裂项：
原式 【答案】 【巩固】 计算：
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算． 记原式为，再设， 则 ， 现在知道与的和了，如果能再求出与的差，那么、的值就都可以求出来了． 所以，． 【答案】 【例 5】 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 其中也可以直接根据公式得出 【答案】 【例 6】 【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 观察发现， ，…… ， 可见，原式 【答案】 【例 7】 计算：
【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算 【解析】 设原式= 【答案】