2020年高考数学江苏卷必刷试卷五（带解析版）

江苏卷05-2020年高考数学必刷试卷（解析版）
数学试题I 一．填空题（共70分）
1.已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|0≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝________． 答案：{0，1} 解析：因为集合A＝(－2，2)，集合B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}． 2. 已知复数 z ＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点在实轴上，则a＝________． 答案：1 解析：因为z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，由条件，得a－1＝0，所以a＝1. 3. 设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则实数λ＝________． 答案：2 解析：因为λa＋b＝(λ＋2，2λ＋3)，由条件得－4(2λ＋3)＋7(λ＋2)＝0，所以λ＝2. 4. 如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为________. 答案：91 解析：平均分为＝91. 5.执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为________． 答案：{2，5，10} 解析：当S←1，I←1时，输出的S值为2；
当S←2，I←3时，输出的S值为5；
当S←5，I←5时，输出的S值为10. 6. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为________． 答案：
解析：因为5瓶饮料中随机取2瓶，共有10种情况，所取的2瓶中没有果汁的有3种情况，所以2瓶中至少有一瓶果汁的有7种情况，所以其概率为. 7. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D为棱AA1的中点．若AA1＝4, AB＝2，则四棱锥BACC1D的体积为________． 答案：2 解析：取AC的中点为O，连结BO，易得BO⊥平面ACC1D，所以四棱锥BACC1D的体积V＝S四边形ACC1D·h＝××2×＝2. 8. 已知圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线x＋my＋4＝0对称，则m＝________． 答案：－1 解析：由题意可得直线x＋my＋4＝0过圆C的圆心(－1，3)，所以－1＋3m＋4＝0，即m＝－1. 9. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为12，则＋＝________． 答案：3 解析：由已知条件得πr2h＝2　①，2πr2＋2πrh＝12　②，得＝3，即＋＝3. 10. 将25个数排成五行五列：
已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等．若a24＝4，a41＝－2，a43＝10，则a11a55的值为________． 答案：－11 解析：设每一列的公比为q，由a24＝4，a41＝－2，a43＝10，得a11＝＝，a13＝＝，a14＝＝.因为第一行成等差数列，所以－＝2×，解得q2＝4.当q＝2时，a11＝－，a13＝，所以a15＝，a55＝a15q4＝44，所以a11a55＝－11；
当q＝－2时，a11＝，a13＝－，所以a15＝－，a55＝a15q4＝－44，所以a11a55＝－11. 11. 已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，1) 解析：画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0<a<1. 12. 在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(1，2)两点绕定点P顺时针方向旋转θ角后，分别到A′(4，4)，B′(5，2)两点，则cos θ的值为________． 答案：－ 解析：由条件得AA′的中垂线方程为x＋y－4＝0，BB′的中垂线方程为x＝3，由解得所以点P(3，1)．又kPB＝－，kPB′＝，所以tan θ＝＝－，所以cos θ＝－. 13. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围是________． 答案：(－1，1) 解析：依题意及正弦定理，得＝ (点P不与F1F2共线)，即＝，∴ －1＝，∴ ＝＋1, ∴ a－c<PF2＝<a＋c，∴ a2－c2<2a2<(a＋c)2，解得 e>－1或e<－－1.又0<e<1，∴ －1<e<1. 14. 若函数f(x)＝x－1－aln x(a<0)对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是________． 答案：[－3，0) 解析：易知函数f(x)在定义域内为增函数，不妨设x1<x2，则f(x1)<f(x2)，∴ |f(x1)－f(x2)|≤4⇔f(x2)－f(x1)≤4⇔f(x2)＋≤f(x1)＋，令g(x)＝f(x)＋＝x－1－aln x＋，只要g′(x)＝1－－≤0在(0，1]上恒成立，即a≥x－在(0，1]上恒成立． ∵ x－在(0，1]上单调递增，∴ x－的最大值为－3，∴ －3≤a<0. 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知(2a－c)cos B＝bcos C. (1) 求角B的大小；

(2) 若b＝2，a＝1，求sin C的值． 解：(1) 由已知得2acos B＝ccos B＋bcos C， 由正弦定理，得2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)．(2分) 又B＋C＝π－A，所以2sin Acos B＝sin A. 又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos B＝. 又B∈(0，π)，所以B＝.(6分) (2) 由正弦定理，得＝，得sin A＝.(8分) 又a<b，所以A为锐角，则cos A＝＝.(11分) 又A＋B＋C＝π，得sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝.(14分) 16. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD中， 已知AB∥CD，AD＝DC＝PA＝a，AB＝2a. (1) 试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由；

(2) 若AD⊥AB，BC⊥PC，平面PAB⊥平面ABCD.求证：PA⊥BC. (1)解：点M为线段PB的中点时，CM∥平面PAD.(2分) 设线段AP的中点为E，连结ME，DE，CM，则ME∥AB，且ME＝AB. ∵ AB∥CD，DC＝a，AB＝2a， ∴ ME∥CD，且ME＝CD， ∴ 四边形MEDC是平行四边形，∴ CM∥DE.(4分) ∵ DE⊂平面PAD，CM⊄平面PAD， ∴ CM∥平面PAD.(6分) (2) 证明：连结AC，在底面ABCD中， ∵ AD⊥AB，AB∥CD，AD＝DC＝a，AB＝2a， ∴ AC＝a，BC＝a，∴ AC2＋BC2＝AB2， ∴ BC⊥AC.(10分) ∵ BC⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，∴ BC⊥平面PAC. ∵ PA⊂平面PAC，∴ PA⊥BC.(14分) 17. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是椭圆G：＋y2＝1的左、右顶点，P(2，t)(t∈R，且t≠0)为直线x＝2上的一个动点，过点P任意作一条直线l与椭圆G交于点C，D，直线PO分别与直线AC，AD交于点E，F. (1) 当直线l恰好经过椭圆G的右焦点和上顶点时，求t的值；

(2) 记直线AC，AD的斜率分别为k1，k2. ① 若t＝－1，求证：＋为定值；

② 求证：四边形AFBE为平行四边形． (1) 解：由题意知，上顶点C(0，1)，右焦点(，0)，所以直线l：y＝－x＋1，令x＝2，得t＝1－.(4分) (2) 证明：直线AC：y＝k1(x＋2)与＋y2＝1联立，得 C，(6分) 同理得D. 由C，D，P三点共线得kCP＝kDP，即＝， 化简得 4k1k2＝t(k1＋k2)．(10分) ① t＝－1时，＋＝－4(定值)．(11分) ② 要证四边形AFBE为平行四边形，只需证E，F的中点即点O， 由题可知，直线PO的方程为y＝x，由 得xE＝，同理得xF＝. 将t＝分别代入得xE＝＝，xF＝＝， 所以xE＋xF＝0，yE＋yF＝(xE＋xF)＝0，所以点O是EF的中点， 即四边形AFBE为平行四边形．(14分) 18. (本小题满分16分) 如图，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB＝10 m，CD＝3 m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固． (1) 如图1设两根钢管相距1 m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固(图中虚线所示)，则BE多长时所用钢丝绳最短？ (2) 如图2设两根钢管相距3 m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次拉直固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固(图中虚线所示)，则BE多长时所用钢丝绳最短？ 解：(1) 设钢丝绳长为y m，∠CFD＝θ，则 y＝＝＋，其中0<θ<θ0，tan θ0＝7.(3分) y′＝＋，易知y′＝＋在(0，θ0)上是增函数，且当tan θ＝时，y′＝0. 故y＝＋在(0，θ0)上先减后增， 所以当tan θ＝时，即BE＝4时，有ymin＝8.(6分) (2) 设钢丝绳长为y m，∠CFD＝θ，则 y＝(1＋cos θ＋sin θ)，其中0<θ<θ0，tan θ0＝＝.(10分) y′＝(＋)(1＋sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sinθ)．(12分) 令y′＝0得sin θ＝cos θ，当θ＝时，即BE＝6时，有ymin＝6(＋2)．(14分) 答：(1) BE＝4 m时，钢丝绳最短；
(2) BE＝6 m时，钢丝绳最短．(16分) 19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)＝2ln x＋x2－ax，a∈R. (1) 若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2) 若a＝e，解不等式：f(x)<2；

(3) 求证：当a>4时，函数y＝f(x)只有一个零点． (1) 解：函数的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝2ln x＋x2－ax，f′(x)＝＋2x－a. 由题意，对任意的x>0，都有f′(x)＝＋2x－a≥0，只要(＋2x)min≥a. 由基本不等式，得＋2x≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号， 所以a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]．(4分) (2) 解：当a＝e时，f(x)＝2ln x＋x2－ex，f′(x)＝＋2x－e＝>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为f(e)＝2ln e＋e2－e·e＝2，所以f(x)<2⇔f(x)<f(e)，所以0<x<e， 故不等式f(x)<2的解集为(0，e)．(9分) (3) 证明：f′(x)＝＋2x－a＝，x∈(0，＋∞)，令g(x)＝2x2－ax＋2， 当a>4时，因为Δ＝a2－16>0，所以g(x)＝2x2－ax＋2一定有两个零点． 设两零点分别为x1，x2(x1<x2)， 因为x1x2＝1，所以0<x1<1<x2， 则f(x)在区间(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．(12分) 因为g(x1)＝2x－ax1＋2＝0，所以f(x1)＝2ln x1＋x－ax1＝2ln x1－x－2. 因为0<x1<1，所以f(x1)＝2ln x1－x－2<2ln 1－x－2<0，所以f(x2)<f(x1)<0. 又f(x)＝2ln x＋x(x－a)，则f(a)＝2ln a>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．(16分) 20. (本小题满分16分) 已知正整数λ，μ为常数，且λ≠1，无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，且Sn＝λan－μ，n∈N*，记数列{an}中任意不同两项的和构成的集合为A. (1) 求证：数列{an}为等比数列，并求λ的值；

(2) 若2 015∈A，求μ的值；

(3) 已知n≥1，求集合Bn＝{x|3μ·2n－1<x<3μ·2n，x∈A}中元素的个数． (1) 证明：当n≥2时，Sn＝λan－μ，Sn－1＝λan－1－μ，所以an＝Sn－Sn－1＝λan－λan－1. 因为λ≠1，an>0，所以＝，所以数列{an}是以为公比的等比数列．(2分) 因为{an}为无穷数列且各项为正整数，所以＝1＋为正整数，λ为正整数， 所以λ＝2.(4分) (2) 解：由(1)知Sn＝2an－μ，则a1＝μ，故an＝μ2n－1， 所以A＝{μ(2i－1＋2j－1)，1≤i<j，i，j∈N*}． 因为2 015∈A，所以2 015＝μ2i－1(1＋2j－i)＝5×13×31.(6分) 因为j－i>0，所以1＋2j－i为不小于3的奇数． 因为2i－1为偶数时，上式不成立，所以2i－1＝1，μ(1＋2j－i)＝5×13×31. 而1＋2j－i＝13, 31, 5×31, 13×31, 5×13×31均不满足，所以1＋2j－i＝5, 5×13；
(8分) 当1＋2j－i＝5时，j－i＝2，μ·2i－1＝403，则i＝1，j＝3，μ＝403满足；

当1＋2j－i＝5×13＝65时，j－i＝6，μ2i－1＝31，则i＝1，j＝7，μ＝31满足． 综上，μ＝31或403.(10分)(注：少一解扣1分) (3) 解：因为Bn＝{x|3μ·2n－1<x<3μ·2n，x∈A}，即3μ·2n－1<μ(2i－1＋2j－1)<3μ·2n，i<j，i，j∈N*，集合Bn中元素等价于满足3·2n<2i＋2j<3·2n＋1的不同解(i，j)，i<j，i，j∈N*， 若j>n＋2，则2i＋2j≥2i＋2n＋3＝2i＋4·2n＋1>3·2n＋1，矛盾；

若j<n＋2，则2i＋2j≤2i＋2n＋1≤2n＋2n＋1＝3·2n，矛盾；

所以j＝n＋2.(14分) 因为21＋2n＋2－3·2n＝2＋2n>0， 所以3·2n<21＋2n＋2<22＋2n＋2<…<2n＋2n＋2<2n＋1＋2n＋2＝3·2n＋1， 即i＝1，2，…，n时，共有n个不同的解(i，j)，n≥1，故共有n个不同的x∈Bn.(16分) 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵A＝，其中a∈R.若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－1)，求矩阵A的两个特征值． 解：＝＝，所以a＋1＝－1，即a＝－2；
(4分) 令特征多项式＝(λ－1)2－2＝0，因此λ＝1±.(10分) B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知点P是曲线C：(θ为参数，π≤θ≤2π)上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，求点P的直角坐标． 解：由题意得曲线C的普通方程为＋＝1　①，(4分) 因为π≤θ≤2π⇒sin θ≤0⇒y≤0，直线OP的方程为y＝x　②. 联立①②得(舍)或所以点P的坐标为.(10分) C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值． 解：由柯西不等式可知≤[()2＋()2＋12](2x2＋3y2＋z2)， 所以2x2＋3y2＋z2≥＝，当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号．(10分) 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会． (1) 记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；

(2) 设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1) 由已知有P(A)＝＝，所以事件A发生的概率为.(3分) (2) 随机变量X的所有可能取值为0，1，2.(4分) P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，(6分) 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P (8分) 数学期望E(X)＝1.(10分) 23．（本小题满分10分）
(1) 设(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，求a2，a3；

(2) 设x＝(25＋2)20＋(25＋2)17，求x的整数部分的个位数字． 解：(1) 因为(1＋x＋x2)3＝[(1＋x)＋x2]3＝C(1＋x)3＋C(1＋x)2x2＋C(1＋x)x4＋Cx6， 所以a2＝C＋C＝6，(2分) a3＝C＋CC＝7.(4分) (2) 令y＝(25－2)20＋(25－2)17， x＋y＝(25＋2)20＋(25＋2)17＋(25－2)20＋(25－2)17 ＝[(25＋2)20＋(25－2)20]＋[(25＋2)17＋(25－2)17] ＝2(2520＋C2518620＋…＋C62010)＋2(2517＋C2515620＋…＋C2516208. 已知x＋y为整数且个位数为0，(8分) 而0<25－2＝<＝0.2， 所以0<(25－2)20＋(25－2)17<0.220＋0.217<1， 故x的个位数字为9.(10分) 以下内容为“高中数学该怎么有效学习？” 首先要做到以下两点：
1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）
然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）
       其次，先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

   做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

 主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

  积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

  精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

  配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；
老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

  合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间， 注意事项 我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

​ 数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。