专题05,数学思想问题（精讲）-中考数学高频考点突破（解析版）

【课标解读】 初中数学《新课程标准》中指出:教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

新课程把数学思想和方法作为基础知识的重要组成部分，在《新课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

【解题策略】 初中数字中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等 【考点深剖】 ★考点一 整体思想 整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，特征，把一组数或一个代数式看作一 个整体， 从而使问题得到解决。

【典例1】（2018•岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为　 　． 【分析】利用整体思想代入计算即可；

【解答】解：∵a2+2a=1， ∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5， 故答案为5． ★考点二 转化思想问题 转化思想转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决.转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题. 【典例2】（2018•连云港）解方程：﹣=0． 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案． ★考点三 数形结合思想 数形结合思想，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的，初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式，数形结合思想的实质是将抽象的数学语言“数”)与直观的图象(“形“)结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化，数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，“数无形时不直观，形无数时难入微.” 【典例3】（2018•威海）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案 【解答】解：解不等式①，得x＞﹣4， 解不等式②，得x≤2， 把不等式①②的解集在数轴上表示如图 ， 原不等式组的解集为﹣4＜x≤2． ★考点四 分类讨论思想 分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类.分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解诀数学问题. 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得 解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则: (1) 分类中的每一部分是相互独立的; (2) 一饮分类按-一个标准; (3) 分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏. 【典例4】（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数． （1）请你解答以上的变式题． （2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；

（2）分两种情况：①90≤x＜180；
②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可． （2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角， ∴∠B的度数只有一个；

②当0＜x＜90时， 若∠A为顶角，则∠B=（）°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°． 当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x， 即x≠60时，∠B有三个不同的度数． 综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．学科&网 ★考点五 函数与方程思想 函数与方程思想，函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解诀问题.函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映.函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解诀.如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解诀，这就是方程思想. 【典例5】2018•天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系． （1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；

（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；

（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？ 【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b， ∵经过点（0，168）与（180，60）， ∴，解得：， ∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；

（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元， ①当0≤x≤50时，W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+， ∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；

②当50＜x＜130时，W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840， ∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；

③当130≤x≤180时，W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415， ∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680． 因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元． ★考点六 类比思想 类比思想是数学创造型思维中很重要的一种思想方法，它可以帮助学习者建立新旧知识联系的桥梁，实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移到陌生的问题中，进而使问题得到解决.具体的策略是分析问题有深度→借助新旧知识的关联→合理进行知识迁移→运用类比的思想→轻松解决疑难问题 【典例6】（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为　 　；

②方程x2﹣3x+2=0的解为　 　；

③方程x2﹣4x+3=0的解为　 　；

… （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为　 　；
[来 ②关于x的方程　 　的解为x1=1，x2=n．[ （3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．[ 【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；

（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；
②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积． （3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确． （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；

②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n． （3）x2﹣9x=﹣8， x2﹣9x+=﹣8+ （x﹣）2= x﹣=±， 所以x1=1，x2=8；

所以猜想正确． 故答案为x1=x2=1；
x1=1，x2=2；
x1=1，x2=3；
x2﹣（1+n）x+n=0；

　【讲透练活】 变式1：（2018•玉林）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=　　． 【分析】将ab=a+b+1代入原式=ab﹣a﹣b+1合并即可得． 【解答】解：当ab=a+b+1时， 原式=ab﹣a﹣b+1 =a+b+1﹣a﹣b+1 =2， 故答案为：2．学科&网 变式2：（2018•随州）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=　5　． 【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题；

【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解， ∴，解得， ∴a+b=5， 故答案为5． 变式3：（2018•常德）分式方程﹣=0的解为x=　 　． 变式4：（2018•枣庄）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；

（3）直接写出不等式kx+b≤的解集． 【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；

（2）联立解析式，可求交点坐标；

（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系． 把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12 （2）当﹣=﹣2x+12时，解得 x1=10，x2=﹣4 当x=10时，y=﹣8 ∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA= （3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0 变式5：（2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为　 　．w 【分析】分两种情况；
①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 变式6：（2017贵州安顺）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；
若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）． 【解答】解：
（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B（3，0），C（0，3）， 把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1）， 设M（2，t），且C（0，3）， ∴MC==，MP=|t+1|，PC==2， ∵△CPM为等腰三角形， ∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， ①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；

②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D， 变式7：（2017内蒙古赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点． （1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；

（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；
若不成立，请加以说明． （3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数． 【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；

（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；

（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．21教育名师原创作品。学科&网 ∵∠AEP=∠BEF， ∴△APE≌△BFE， ∴PE=EF， ∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点， ∴EP=EQ；

（2）成立， 证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点， ∴CE∥OB，CE=OB， ∴∠DOC=∠ECA， ∵点D是Rt△OQB斜边中点， ∴DQ=OB， ∴CE=DQ， 同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE， ∴∠ECA=∠BDE， ∵∠PCE=∠EDQ， ∴△EPC≌△QED， ∴EP=EQ；